Sarà mica matematica, le soluzioni
Puntata 0
Puntata 1: LA DIFFERENZA È NEL TRIANGOLO
Puntata 2: A PERFECT TEA and A PERFECT T
Puntata 3: QUATTRO VOLTE 4
Puntata 4: LE FACCE DEL NASTRO
Puntata 5: I FIAMMIFERI
Puntata 6: LE DATE DATE
Puntata 7: NON C’È CONNESSIONE
Puntata 8: DA 1 A 9, UGUALE 100
Puntata 0
VINCITORI E VINTI
Per questa settimana, proclamo ufficialmente vincitrice
Lucia C. (complimenti!).
Posso concedere al massimo una menzione d'onore per
A. Monsurro (detto Alessandro), il quale ha dato la risposta giusta ma senza spiegazione.
La concederei anche ad Anonimo se non fosse così anonimo.
Matteo C è arrivato troppo tardi, mi spiace (ritenta, sarai più fortunato).
Nessuna menzione ma molta confusione per
Arthur Antunes Coimbra, detto Zico (caro L.G.,ti ho già beccato).
Un messaggio per
R.Avella: so la risposta ma non te la dico. Se tutti si mettono a proporre quesiti, qui è finita! :D
LA SOLUZIONE
Come ho detto nel suggerimento, ogni riga va costruita “leggendo” quella sopra. Per essere più precisi vanno lette quali e quante cifre.
Se cominciamo dalla seconda riga, dovremo chiederci “cosa c’è nella riga sopra?”.
Nella prima riga c’è “una cifra 1”, cioè “un 1”.
“Un 1” si può scrivere come 1 1. Così abbiamo costruito la seconda riga.
Adesso cosa c’è nella seconda riga? Ci sono due cifre 1, cioè “due 1”. Lo scriviamo come 2 1 e abbiamo costruito la terza riga.
21 si può leggere come “un 2, un 1”, cioè 1211
1211 si può leggere come “un 1, un 2, due 1”, cioè 111221
111221 si può leggere come “tre 1, due 2, un 1”, cioè 312211
QUINDI la sequenza continua così:
“un 3, un 1, due 2, due 1”, cioè 13112221
“un 1, un 3, due 1, tre 2, un 1”, cioè 1113213211
E così via.
Si tratta di un gioco chiamato “decadimento audio attivo”, che porta a sequenze di cifre, dette sequenze “guarda e parla” (“look and say” per gli anglofoni). Il matematico inglese John Conway ha studiato a fondo queste sequenze e ne ha ricavato il “teorema cosmologico di Conway”. Se volete tentare di capire qualcosa del teorema, piuttosto complesso, potete provare a questo link: http://it.wikipedia.org/wiki/Decadimento_audioattivo .
Per finire in bellezza, butto sul tavolo una domanda.
Qualcuno avrà notato che la prima riga (1) non è stata “costruita” in alcun modo. In effetti la riga di partenza è arbitraria, cioè si può scegliere una riga qualunque: da quella seguono tutte le righe successive.
Se, ad esempio, si comincia con la riga 33, si avrà:
33
23
1213
11121113
…
Ora, ecco la domanda:
cosa succede se si comincia con la riga 22?
Dopo lunghe e indegne fatiche, vengono proclamati i vincitori di questa puntata di "Sarà mica matematica". Dal momento che stamattina abbiamo sprecato... volevo dire
dedicato 3 minuti di lezione a discutere del giuochino e sono praticamente riuscito a dare la soluzione, i vincitori di questa puntata saranno
vincitori-si-fa-per-dire.
Primo-si-fa-per-dire: Soldi n., il quale vince i miei complimenti ma niente soldin (chiedo scusa per la battuta penosa);
Secondo-si-fa-per-dire: A.Monsurro. Anche per lui niente soldi ma complimenti per l'onestà;
Terzo-si-fa-per-dire: Zio Paperone, il quale non vince soldi, tanto ne ha già troppi.
LA SOLUZIONE
Non che ci sia più molto da dire ma, insomma, eccola:
5
4 9
7 11 2
8 1 12 10
6 14 15 3 13
Puntata 2: A PERFECT TEA and A PERFECT T
I VINCITORI
Ricordo bene i primi commenti, quando ho descritto il gioco alla classe: "facile!". Però, alla resa dei conti, solo 3 o 4 (su 24) sono riusciti a trovare una soluzione:
Matteo (detto Zio Paperone), Giada. e Manuel R.. Una citazione anche per Benjamin, che ha risolto il puzzle con l'aiuto di un amico. Naturalmente consideriamo vincitori anche Paola Garbini e A.Monsurro, che hanno dichiarato on line di aver scoperto una soluzione. Complimenti a tutti.
LA SOLUZIONE
Se così pochi l'hanno trovata, significa che la soluzione non era poi tanto facile come sembrava.
Eccola. Per comodità, numeriamo i pezzi in questo modo:
Ciò detto, l'immagine qui sotto rappresenta, nell'ordine: la T "normale", la T cicciotta e la T storta.
Va detto che, per la T cicciotta e per quella storta, il pezzo numero 4 va rovesciato, fatto che aumenta ancora di più la difficoltà. Infatti la versione classica del gioco richiede solo la costruzione della T "normale" ("a perfect T").
Ma cos'è che rende così difficile un puzzle di soli 4 pezzi?
- è largo come gli altri, il che induce a cercare di usarlo come braccio o come gamba della T, tentativo che funziona solo per la T storta;
- il nostro senso dell'ordine ci spinge a cercare di far sparire quell'angolo retto incastrandoci un altro pezzo, espediente che, di nuovo, può funzionare solo per la T storta;
- va sistemato in obliquo, il che rende asimmetrica la disposizione dei pezzi della T. E questo non va d'accordo con il nostro senso della simmetria.
Ecco, tutti noi abbiamo un senso dell'ordine, anche se può essere difficile crederlo, guardando certi banchi e certe aule scolastiche (e la mia scrivania, devo ammettere).
Per finire, tra le tante T sbilenche e irregolari che ho visto, ce n'è una che, per quanto asimmetrica, mi sembra degna di nota: la potete vedere nell'immagine qui sotto. L'ha scoperta S.Zambello, al quale va una menzione d'onore. Complimenti a lui e a tutti quelli che ci hanno provato (chissà quanti di loro si erano anche accorti di esercitarsi con i poligoni equiscomponibili?).
Puntata 3: QUATTRO VOLTE 4
VINCITORI E QUASI VINCITORI
In perfetta linea con il gioco dei quattro 4, quattro persone mi hanno fatto avere la soluzione completa (…o quasi).
Ero indeciso se citarle in ordine di tempo (chi ha dato la risposta prima viene citato prima) o in ordine alfabetico. Poi mi sono accorto che il risultato non cambia: i primi in ordine alfabetico sono anche quelli che hanno “consegnato” prima. Si tratta di Lucia C., Matteo C., Matteo N. e Michela F.. I primi due hanno risposto via blog, gli altri hanno preferito il buon vecchio bigliettino di carta.
Credo di poterli considerare tutti vincitori, a tutti e quattro vanno i miei complimenti. Avrei assegnato volentieri la lode a Matteo N.: è stato l’unico che,oltre a dare una soluzione giusta, ha cercato di renderla elegante usando le parentesi solo dove erano necessarie. È un vero peccato che abbia dimenticato il numero zero!
Una nota di merito va anche ai tre che hanno dato risposte parziali. Qui in ordine alfabetico: Beniamino A., Michael C. e Rebecca A..
Una profusione di ringraziamenti, congratulazioni, elogi e salamelecchi a tutti.
LE SOLUZIONI
Qui il plurale è d’obbligo: non c’è un’unica soluzione e non è detto che ce ne sia una migliore delle altre. Si tratterebbe ora di vedere quali soluzioni hanno trovato i ragazzi. Si tratterebbe di dare i numeri. Pensavo di trascrivere tutte le soluzioni che mi sono state consegnate. Poi ho capito che sarebbe stata una sofferenza per me e per chi legge: tutti quei numeri farebbero dare i numeri, se mi passate l’infimo gioco di parole.
Così ho deciso di scegliere una o due soluzioni per ognuno degli 11 numeri in questione. Quelle che mi sono piaciute di più, diciamo. Può andare?
0)4 + 4 – 4 – 4 = 0 (Lucia); 4 x 4 – 4 x 4 = 0 (Matteo C.)
1) (4 + 4) : (4 + 4) =1 (Michel); 4 : 4 + 4 – 4 = 1 (Matteo N.)
2) 4 : 4 + 4 : 4 = 2 (Matteo C. e Matteo N.); 4 x 4 : (4 + 4) = 2 (Michael)
3) (4 + 4 + 4) : 4 = 3 (Matteo N. e Michael); (4 x 4 - 4) : 4 = 3 (Michela)
4) (4 – 4) x 4 + 4 = 4 (Michela); (4 – 4) : 4 + 4 = 4 (Lucia)
5) (4 x 4 + 4) : 4 = 5 (Matteo N., Michela e Michael)
6) (4 + 4) : 4 + 4 = 6 (Lucia, Matteo C., Matteo N., Michela e Michael)
7) 44 : 4 – 4 = 7 (Lucia); 4 + 4 – 4 : 4 = 7 (Matteo N.)
8) 4 x 4 – (4 + 4) = 8 (Matteo C.); 4 + 4 + 4 – 4 = 8 (Beniamino e Matteo N.);
9) 4 + 4 + 4 : 4 = 9 (Matteo C.); 4 : 4 + 4 + 4 = 9 (Matteo N. e Michael)
10) (44 – 4) : 4 = 10 (Lucia, Matteo C., Matteo N. e Michela)
Noto che tutti quelli che hanno trovato la soluzione per il 6 e per il 10 hanno dato la stessa risposta. Chissà se ce n’è qualche altra?
Per concludere: ringraziamenti, congratulazioni, elogi e salamelecchi a tutti. L’ho già detto? Lo ripeto.
Puntata 4: LE FACCE DEL NASTRO
I vincitori
Purtroppo venerdì non c’è stato il tempo, in classe, per discutere bene le risposte. Sono (quasi) certo che qualcuno aveva osservazioni utili ma non ha avuto modo di raccontarle. Tanto che sono rimasto in dubbio se prorogare di qualche giorno la scadenza del gioco. Ma qualcuno reclama già il gioco nuovo, così mi sono deciso.
Tra le soluzioni che mi sono arrivate, mi sembrano più complete quelle di Matteo C. e di Rebecca A., la quale però non ha detto niente riguardo al sesto passo, cioè cosa succede al secondo taglio.
Complimenti a loro due ma anche a tutti gli altri che hanno partecipato.
La soluzione
Una superficie, di solito, ha due facce distinte, separate da bordi. Immaginate una formica su un foglio: può camminare solo su una faccia del foglio, per passare dall’altra parte deve attraversare un bordo. Lo stesso si può dire per la striscia di carta (il “primo passo”) e per l’anello a cilindro (il “secondo passo”). Se invece immaginiamo una sfera (un pallone, ad esempio), possiamo pensare a un “dentro” e un “fuori”. Se una povera formica è dentro il pallone, può camminare finché vuole ma non potrà mai passare sulla faccia esterna. Cioè: la sfera ha due facce e zero bordi.
Il terzo passo: su questo nastro torto a 180°, una formica può percorrere tutta la superficie senza mai attraversare alcun bordo. In mancanza di una formica disposta a collaborare, si può provare con una matita: se si comincia a colorare una faccia del nastro e si prosegue, si finisce per colorare tutta la superficie. Quindi c’è una sola faccia.
Lo stesso vale per il bordo: con un po’ di attenzione ci si accorge che c’è un solo bordo.
State controllando? Ecco: quel nastro di carta che avete tra le mani è un oggetto matematico molto famoso: un nastro di Möbius. August Ferdinand Möbius fu un matematico tedesco che a metà ‘800 scoprì che non esistono solo superfici con due facce (il foglio, il pallone…) ma anche superfici con una sola faccia. Per la verità, poco prima di lui se ne era accorto anche un altro tedesco — J. B. Listing — ma non stiamo a sottilizzare. 
Torniamo un attimo alla formica: un centinaio di anni dopo Möbius, un artista olandese –M. C. Escher — realizzò un paio di incisioni, anche quelle piuttosto famose, che hanno per soggetto proprio le formiche che camminano su un nastro di Möbius.
Se tagliate un nastro di Möbius lungo la linea mediana (quinto passo), non avrete due nastri separati, come viene spontaneo pensare: si formerà un solo nastro. Confesso che la cosa non smette di stupirmi e, se non lo avessi visto coi miei occhi, farei fatica a crederci. Ancora più sorprendente è il fatto che questo nuovo nastro non ha più una torsione di 180° ma di 360°. Questo significa che la nostra formica sarebbe di nuovo costretta a camminare su una faccia sola: il nastro ha due facce distinte. E due bordi altrettanto distinti.
Se tagliate ancora questo nuovo nastro (sesto passo), otterrete… (rullo di tamburi…) due nastri con una torsione di 360° (ognuno con due facce e due bordi). Il bello è che i due nastri saranno concatenati tra loro.
A questo punto io ho bisogno di riposare un momento per evitare di fondermi il cervello a forza di torsioni e concatenamenti.
Se qualcuno però ha ancora voglia di stupirsi, può provare a prendere ancora un nastro di Möbius e tagliarlo. Stavolta non lungo la linea mediana (a metà della larghezza del nastro) ma a un terzo della larghezza. Cosa viene fuori? Non è sorprendente?
Puntata 5: I FIAMMIFERI
(Il post con il gioco è a
questo indirizzo)
I fiammiferi hanno raccolto parecchia partecipazione, spero di non dimenticare nessuno.
Cominciamo con
LE SOLUZIONI
Martin Gardner, nel suo colossal book of short puzzles, dava una soluzione, in cui si formano 4 quadrati, tutti di uguali dimensioni. Eccola:
In effetti esiste almeno un’altra possibilità. La richiesta era: “spostate 2 fiammiferi in modo da avere 4 quadrati”. Non si diceva niente sulle dimensioni dei quadrati né sulla reciproca posizione. Con queste premesse, è accettabile anche una disposizione che formi un quadrato “grande” — con i lati formati da due fiammiferi — che contiene un quadrato più piccolo, con i lati di un fiammifero. Si possono ottenere più disposizioni di questo tipo. Ad esempio:
I VINCITORI
Hanno trovato la prima soluzione i signori: Nicholas S., Matteo C., Michela F., Alessandro M..
Hanno trovato la seconda soluzione (in due forme diverse) il signor Nicholas S. e la signorina Lory R..
Vista la mia prodigiosa capacità di perdere i pezzi, potrei davvero aver dimenticato qualcuno. Nel caso, fatemi sapere: sistemerò e correggerò.
1) FARE I CONTI CON LE DATE DATE
I SOLUTORI
Il problema, partorito dalla mia mente, si è rivelato troppo contorto e nessuno è riuscito a dare una soluzione.
Una menzione d’onore va senz’altro a Matteo N., il quale, dotato di una mente ancora più contorta della mia, ha notato che l’espressione “2 marzo + 4 dicembre” è composta da 16 simboli (numeri, lettere e segni di operazione). Esattamente come 16 sono i simboli che compongono l’espressione “6 aprile – 5 ottobre”. Quindi 16 simboli = 16 simboli.
LA SOLUZIONE
La mia idea invece si basa sul fatto che, come ho fatto notare nel secondo “aiutino”, le date si possono scrivere in una forma che ricorda le frazioni: 4 dicembre si scrive anche 4/12, che si può leggere anche “quattro dodicesimi”.
Quindi:
Cioè:
2 marzo + 4 dicembre = 1 = 6 aprile – 5 ottobre
2) ALLENARSI ALL’INVALSI
I SOLUTORI
Qualcuno in più (ma solo uno della terza B!) ha dato la soluzione al quesito simil-Invalsi. Più di uno ha anche saputo usare un buon linguaggio matematico.
Se non sto dimenticando qualcuno, i complimenti vanno a (in ordine alfabetico ma anche in ordine di tempo): Matteo C., Michela F., Rebecca A., Samuele L.P. e Simone Z.
LA SOLUZIONE
Il triangolo ABC è isoscele perciò, dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°, si ha:
Ora, DAE è congruente a CAB perché angoli opposti al vertice, quindi DAE = 66°. Per inciso, questo è il passaggio che nessuno ha risolto fino in fondo: tutti hanno dato per scontato che i due angoli fossero uguali, senza dare una spiegazione.
Infine, siccome anche nel triangolo ADE la somma degli angoli interni è 180°, si ha:
