giovedì 25 febbraio 2016

Due a settimana..._15, le nostre soluzioni

Bene, signori, la campanella è suonata.
Prendete posizione, cominciamo. Anche tu là in fondo all'ultimo banco... ecco, bravo, grazie.
L'argomento di oggi è: le soluzioni ai giochi matematici proposti dalla prof Giovanna nell'ultima puntata di Due a settimana....
Solo un attimo, compilo il registro e possiamo cominciare con le nostre risposte ai quesiti.

IL PRIMO

Sembra giusto dare la precedenza a Daniele, gradito ospite.
(Ho pensato e ripensato ai miei allievi attuali, nessun Daniele. Ho pensato ai miei ex-alunni, nessun Daniele da diversi anni. Ho riletto il commento che mi ha inviato: sembra proprio scritto da una ragazzo, non da un fisico nucleare in pensione. Mi viene il dubbio che Daniele sia un alunno della prof Giovanna. Può essere? O forse è uno che semplicemente si guarda in giro e fa lavorare le proprie sinapsi? Comunque sia, bravo Daniele!)
Ecco la sua risposta, copiata alla lettera, ho solo aggiunto l'unità di misura finale per uno slancio di pignoleria.

La risposta di Daniele è... 
100 perché i raggi dei cerchi coincidenti con parti del perimetro del rettangolo piccolo sono 12, quindi ho diviso 60 per 12 e mi è venuto 5. Poi ho contato i raggi coincidenti con il perimetro del rettangolo grande (20) e, moltiplicando 20 per 5, ho ottenuto 100 cm.

Stefano P risponde in maniera simile ma ragiona con i diametri:
per calcolare il perimetro del rettangolo grande devo prendere l'altro perimetro e dividerlo in 6 segmenti da 10 cm e dato che ogni segmento è pari a un diametro, posso ricavare il perimetro del rettangolone che è fatto da 10 diametri interi, quindi 100 cm.
 
Aggiungerei anche la risposta di Naomi R. Il suo ragionamento è lo stesso di Daniele, con l'aggiunta di un disegno in Geogebra (ad essere pignoli anche qui, si potevano nascondere alcuni punti e alcune linee... ma apprezzo comunque).

Conoscendo il perimetro del rettangolo piccolo posso trovare la misura del raggio facendo 60cm:12=5cm (12 perché è la somma dei raggi che compongono il perimetro del rettangolino).
Dopodiché trovo la misura del lato EH, che è uguale al lato FG, facendo il numero dei raggi che compongono il lato grande x 5cm= 4x5cm=20cm.
Trovo EF=HG=6X5cm=30cm.
Infine trovo il perimetro facendo 2pEFGH=20cmx2+30cmx2=100cm.


Ha inviato una mail anche Mattia C, il quale trova la risposta corretta, anche se parla ad esempio di "ipotizzare che nel rettangolo interno il lato corto sia 1/2 del lato lungo" mentre non si tratta di ipotizzare, si tratta di osservare (uno è formato da due raggi e l'altro è formato da quattro raggi...).

Le altre risposte corrette, arrivate per via cartacea, sono di Francesco A, Ismaele M, Mattia C, Moris N, Nelson R, Pietro B. Anche Iman B scrive un suo ragionamento in cui si intuisce che ha intuito. Però la risposta finale... manca. E anche la chiarezza dell'esposizione potrebbe migliorare, diciamo così. :-)


IL SECONDO

Si trattava di leggere con attenzione le cinque affermazioni e lavorare di logica per decidere se sono vere o false.

Diamo di nuovo la precedenza a Daniele:
Risposta falsa: 3. La prima è giusta perché sommando 4 numeri dispari si ottiene sempre un numero pari; la seconda è giusta perché ad esempio 5+7+9+11 fa 32, un multiplo di 16; la terza è sbagliata perché 1+3+5+7 fa 16, che è un quadrato; la quarta è giusta perché 13+15+17+19 fa 64, il cubo di quattro; la quinta è giusta perché la somma dei primi quattro numeri dispari consecutivi (1+3+5+7) è 16.

Seguo con rigore l'ordine temporale con cui le risposte mi sono arrivate e cedo la parola a Stefano P:
ho provato con varie sequenze di numeri dispari consecutivi, partendo da 1 + 3 + 5 + 7. I risultati sono: 16, 24, 32, 40, ecc. che sono i numeri della tabellina dell'8, ma partendo da 8 x 2.
Quindi la 1 è vera, la 2 è vera perché c'è ad esempio il 32, la 4 è vera perché c'è il 64, la 5 è vera perché si parte da 16 e solo la 3 è falsa perché 16 è un quadrato perfetto.


Tocca a Naomi R, la quale argomenta bene, esaminando frase per frase:
1. S è pari.
Giusta perché il risultato minimo che puoi ottenere con quattro numeri interi dispari positivi è 16 (che viene da 1+3+5+7) il secondo risultato minimo che puoi ottenere con quattro numeri interi dispari positivi è 24 (dato da 3+5+7+9) la differenza che c’è tra i due risultati è di 8 quindi se vado avanti avanzerò sempre di 8 il che vuol dire che il risultato sarà sempre pari.


4 numeri interi dispari positiviTabellina dell’8
1+3+5+7=168x2=16
3+5+7+9=248x3=24
5+7+9+11=328x4=32
7+9+11+13=408x5=40
9+11+13+15=488x6=48

Inoltre seguendo il suggerimento della prof di considerare n come un numero dispari, posso scrivere che:
S = n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) = 4n + 12. Ho provato poi a fare degli esempi:
se n = 1 => S = 4x1+12 = 16
se n = 3 => S = 4x3+12 = 24
se n = 5 => S = 4x5+12 = 32


2. S può essere multiplo di 16.
Giusta perché 13+15+17+19 = 64

3.S non è mai un quadrato perfetto
Sbagliata perché 1+3+5+7=16. 4 al quadrato = 16

4. S può essere un cubo perfetto
Giusta perché 13+15+17+19=64. 4 al cubo = 64

5. S è sempre maggiore o uguale a 16

Giusta perché il risultato minimo che si può ottenere con i numeri interi positivi dispari consecutivi è 1+3+5+7 = 16.


Hanno risposto bene anche Francesco A (risponde giusto ma non spiega), Ismaele M (ma attenzione, per mostrare che la prima risposta è vera non può bastare fare degli esempi, serve un ragionamento generale, una dimostrazione oserei dire), Pietro B (B come Bravo, buona risposta).


IL TERZO

Anche qui la parola va al misterioso Daniele, che risponde bene e con bella sintesi. Forse stavolta eccede un pochino con la sintesi:
La risposta è 1u2 perché il triangolo BFC è congruente a ADE e il triangolo DHC lo è di ABE.

Qui è bene avere sotto occhio la figura. Eccola, copiata direttamente dal blog della prof Giovanna.
Altrettanto sintetico è Stefano P, il quale però aggiunge un paio di paroline che rendono il tutto più chiaro:
Per trovare l'area del quadrato sposto BFC su AED che sono congruenti così come DCH su ABE. A questo punto si capisce che l'area del quadrato è uguale alla parte blu cioè 1u2.

Nessuno dei due però ha spiegato perché possiamo dire che i triangoli citati sono congruenti. Questione non da poco.
Ma era proprio necessario usare la congruenza? In fondo non è strettamente necessario che i triangoli siano sovrapponibili, basta che siano equivalenti. In altre parole ci interessa che abbiano la stessa area.

È proprio ciò che mostra Naomi R. Vediamo cosa scrive.
Osservando la parte colorata, ho visto che AB misura quanto DC e che le altezze di entrambi i triangoli ABE e DCH sono uguali e quindi l’area del triangolo ABE è uguale all’area del triangolo DCH.
Poi ho notato che l’area del triangolo ADE è uguale all’area del triangolo BCF poiché AD misura come BC e anche le due altezze coincidono.

Infine la parte colorata che rimane è quella compresa nel quadrato.
Quindi l’area del quadrato ABCD sarà uguale all’area della parte colorata e cioè 1 u al quadrato.

Rispondono anche Francesco A (il quale per la verità consegna un disegno da cui, con uno sforzo di fantasia, si intuisce la risposta; forse una qualche frase avrebbe aiutato!), Ismaele M (anche lui ragiona bene con le aree, però poi scrive "quindi posso sovrapporre il triangolo...". Occhio: se due triangoli sono equivalenti - area uguale - non è detto che siano congruenti - cioè sovrapponibili -).

E infine Pietro B il quale individua triangoli congruenti diversi da quelli usati dagli altri. Il disegno che ha consegnato è fatto a mano su un foglio protocollo. Siccome mi piacciono i colori faccio lo sforzo immane di fare perfino una scansione del disegno. Se poi Pietro volesse sfruttare le tante risorse informatiche a disposizione delle nuove generazioni io gliene sarei tanto grato :-)

Sono già molto grato alla prof Giovanna per averci regalato un'altra occasione per far funzionare i nostri ingranaggi mentali.
Non sono molti quelli che l'hanno sfruttata, devo dire e...
Starei per iniziare il solito predicozzo sulla necessità di impegnarsi eccetera eccetera ma suona la campanella! L'ora è finita, tutti schizzano in piedi, nei corridoi già si sente il vociare delle altre classi che stanno uscendo.
Vorrei fare i complimenti a tutti quelli che ci hanno messo un po' di impegno ma quasi nessuno sta più ascoltando.
Devo alzare la voce per dare l'appuntamento a... vediamo, a quando? Al più presto, può andar bene?
Alzo la voce ancora di un tono: appena avrò preparato i nuovi questi di Sarà Mica Matematica!
Ma ormai tutti sono già alla porta.
Usciamo, non vorrei che lo scuolabus partisse senza di noi.

AGGIORNAMENTO: Nella mia borsa si sono accumulati alcuni pacchi di verifiche, alcune corrette, altre ancora da correggere... nella mia testa si accumula la stessa confusione!
Sarà per questo che ho dimenticato la mail di Mattia C, che era stato proprio il primo a rispondere?
Ad ogni modo, per stavolta sono riuscito a rimediare e ho inserito la risposta di Mattia.

domenica 14 febbraio 2016

Due a settimana... quindici

Questo post è come un bigliettino appicciato al frigorifero, per ricordarsi qualcosa.
Questo post è un post-it, in altre parole.

Cosa c'è da ricordare? I nuovi quesiti di Due a settimana...! La prof Giovanna li ha pubblicati lunedì scorso. Una settimana è già bella che passata, ormai; ne resta un'altra per dare le risposte.
Ma non preoccupatevi, una settimana basta e avanza. E perdipiù vi fornisco (gratis!) una ricetta perfetta per raggiungere l'obiettivo.

INGREDIENTI
  • 1 bel po' di pensiero
  • tempo q. b. (quanto basta);
  • 1 matita (in mancanza di matite, potete sostituirla con una penna);
  • 1 righello (utile ma facoltativo);
  • Fogli di carta (quantità a piacere, secondo il vostro gusto. Alcuni preferiscono una lavagna e dei gessetti):
  • Conoscenze di matematica di base (solo un pizzico, per insaporire).
PROCEDIMENTO
Leggere bene i quesiti.
Rileggerli, è meglio.
Se resta qualche dubbio, anche mezzo, leggere una terza volta.
Prendere i fogli di carta (o la lavagna) e cominciare a rimuginare sui quesiti: fare qualche disegno, tracciare qualche riga in più (qui può tornare utile il righello), spostare un triangolo, aggiungere un numerino, magari una letterina.
Perché la ricetta funzioni è fondamentale amalgamare bene pensiero e conoscenze matematiche di base.
Impastate il tutto finché i grumi saranno ben stemperati.
Portare a cottura applicando l'impasto sui fogli di carta per un tempo sufficiente. Se la ricetta è ben riuscita dovreste riconoscere con facilità il momento in cui la cottura è ottimale.
Prima di portare in tavola è bene leggere i quesiti un'ultima volta, per controllare.

http://matematicamedie.blogspot.it/2016/02/due-settimana15.html

Ecco fatto. Non mi resta che invitarvi a cliccare sull'immagine qui sopra e augurarvi buon appetito.

domenica 7 febbraio 2016

Sarà mica matematica 38, le soluzioni



Questo è  un post in presa diretta.
Ho qui davanti una manciata di mail e un pugno di fogli. Non ne ho ancora letto nessuno, cominciamo a spulciarli insieme e vedremo. Confido che contengano delle buone risposte ai quesiti dell’ultima puntata di Sarà mica matematica.
Siete pronti? Cominciamo. 

IL PRIMO 
Partiamo dalla posta elettronica, in rigoroso ordine di tempo.
Il primo a inviare una mail è stato Stefano P. Vediamo cosa dice: 
Chi nasce nel 2001 avrà 01 anni nel 2002, chi nasce nel 2002 avrà 02 anni nel 2004 e così via.
Per trovare l'anno di nascita posso quindi dividere per due le ultime due cifre dell'anno in cui età = ultime due cifre dell'anno di nascita. Se però una persona è nata oltre l'anno 50, supera il secolo e allora devo prima sommare 100.
Paolone è nato nel 1958 perché 116 : 2 = 58, infatti 1958 + 58 = 2016.
Paolino è nato nel 2008 perché 16 : 2 = 08, infatti 2008 + 8 = 2016.
Il Prof. Bortolas è nato nel 1969 perché 138 : 2 = 69, infatti 1969 + 69 = 2038. 

Sotto con la seconda mail, quella di Naomi R, la quale anche stavolta si lancia nel vasto mondo delle equazioni. 
Ho risolto questo quesito applicando una piccola equazione per trovare l'età del padre. Uso X per indicare le ultime due cifre dell'anno di nascita e ho scartato gli anni dal 2000 al 2016 perché l'unica combinazione possibile sarebbe quella del 2008, ma sarebbe la stessa età del figlio. Perciò considero che sia nato nel '900 (escludendo gli anni precedenti). L'eta' di Paolone e':
2016 - (1900 + x) = 2016 - 1900 - x = 116 - x
Poi, sapendo che l'età  di Paolone deve essere uguale alle ultime due cifre del suo anno di nascita, ho fatto questa espressione x = 116 - x.
Percio': x = 116 :2 = 58.
Quindi la data di nascita di Paolone e' il 1958.
Con lo stesso ragionamento ho trovato quella del figlio (per il quale ho preso in considerazione gli anni del 2000 perchè deve  essere più giovane del padre) e dell'amico (per il quale ho cambiato 16 con 38 dato che sarà nel 2038 l'anno in cui le ultime due cifre del suo anno di nascita combaceranno con quelle della sua età.
Quindi:
padre = 1958
figlio = 2008
amico = 1969 

Michael P, arriva subito al punto: 
Paolino é nato nel 2008 e infatti nel 2016 ha 8 anni.
Paolone é nato nel 1958 e nel 2016 ha 58 anni.
"Io"sono nato nel 1969 e nel 2038 avrò 69  anni. 
A parte il fatto che porta benissimo i suoi anni – quando entra in aula al mattino sembra un ragazzino! – Michael ama la sintesi più estrema. Il che non sarebbe affatto male se avesse fornito una qualche spiegazione di come ha trovato la risposta.

La quarta mail è di Sara C. Idem con patate: risposta giusta, niente spiegazione.
Quinta mail: Mattia C. C’è un tentativo di spiegazione (yeah!!). Dunque, vediamo… dal 2016 si indietregga di 2 unità alla volta… mhm… dal 2038 si indietreggia di 2 unità alla volta fino al 1970 poi si scala di una sola unità… mhmm… non sono sicuro di capire, sembra un po’ un procedere per tentativi. Ad ogni modo apprezzo il tentativo di raccontare il proprio ragionamento.
Un’altra mail, l’ultima. È di Christian G… è vuota! Niente testo, niente allegati. Mah! :-)

Passiamo al cartaceo e, come al solito, diamo un’accelerata: passiamo alla modalità “elenco con eventuale commento breve”.
Rispondono bene con spiegazione ragionevole: Luca N, Irene T, Mirko G (per tentativi ma con criterio), Mirko P (il quale mi chiama Paoletto, ma non mi sono offeso), Paolo M.
Rispondono giusto ma senza spiegare (oppure dando una spiegazione che non spiega): Alberto C, Alice D, Giorgia M.
Danno una risposta giusta nella sostanza ma poco attenta al dettaglio (era chiesto l’anno di nascita, non l’età!): Moris N, Martina P. 


IL SECONDO 
Riprendiamo le mail e l’ordine cronologico. 
Stefano P: 
PRIMO MOSAICO
Se il perimetro della figura è 16 cm, un lato è 4 cm (16 cm : 4 = 4 cm) quindi i due quadrati bianchi grandi hanno il lato di 2 cm (4 cm : 2 = 2 cm) e quindi la loro area è di 4 cm2 ciascuno (2 cm x 2 cm = 4 cm2). Per trovare l' area del quadrato bianco piccolo lo divido in 4 parti seguendo le diagonali.



Si ottengono 4 triangoli uguali ai 4 triangoli marroni e tutti insieme coprono l'area di uno grande bianco. L' area dei quadratini bianchi è quindi la metà di quelli grandi. (2 x 2) : 2 = 2 cm2. Quindi l' area totale della parte bianca è 4 cm2 x 2 + 2 cm2 x 2 = 12 cm2. 
Secondo me la lastra bianca iniziale iniziale intera poteva avere questa forma, che è fatta con i quadrati bianchi grandi affiancati a quelli piccoli.
 


Siccome l' area del quadrato piccolo è 2 cm2, il suo lato è la radice quadrata di 2 cioè circa 1,41. Le dimensioni della lastra bianca iniziale sono quindi 4 cm (2 + 2) e 3,41 cm (2 + 1,41). 

SECONDO MOSAICO

Per trovare la lunghezza delle linee nere devo dividere il lato per 4 (10 : 4 = 2,5). Ho diviso poi le linee nere in segmenti da 2,5 cm (1/4 di lato).



Siccome ci sono 24 segmenti da 2,5 cm, la lunghezza complessiva delle linee è 24 x 2,5 = 60 cm.

Avanti con la mail di Naomi R. Si comincia con un immagine Geogebra (per la verità Naomi ha messo tutto in Geogebra, testo compreso... tutto in maiuscolo!, obbligandomi a una rielaborazione lunga e noiosa. Grrrr!).
PRIMO MOSAICO



Trovo il lato del quadrato facendo: 2p : 4 = 16cm : 4 = 4cm.
A questo punto trovo il lato di B e D facendo: l : 2 = 4 : 2 = 2cm.
Ora, sapendo i lati di B e D, posso trovare l'area complessiva di B + D = (2 x 2) + (2 x 2) = 8cm2.
Ora trovo l'area di C+E usando la formula per trovare l'area del rombo. Sapendo che le diagonali misurano entrambe 2cm, l'area di C+E = 2 x 2 : 2+ 2 x 2 : 2 = 4cm2.
Per finire sommo tutte le aree: (B+D) + (C+E) = 8cm2 + 4cm2 = 12cm2.



Avendo risolto il problema di prima ho trovato la misura dei lati dei quadrati B e D. Ora trovo i lati di C e D sapendo che, poiché' hanno le diagonali uguali, sono dei quadrati. Quindi il lato e' la radice quadrata dell'area: l = √2 = 1,41cm.
Ora disegno una lastra che contenga i 4 quadrati per ottenere le misure minime di ciascun lato della lastra che sono di 2 + 2 = 4cm e 2 + 1.41= 3.41cm.
La lastra quindi dovrà essere un rettangolo con almeno un lato  di 4cm e l'altro di  3.41cm.

Qui devo proprio inserire un breve stacco pubblicitario! In realtà è un Post Scriptum perché, confesso, l'ho scritto dopo aver letto tutte le soluzioni arrivate.
Voglio fare la pubblicità alle radici. Proprio quelle che si fanno in matematica... radici quadrate e compagnia... Ecco, quelle. Solo Stefano e Naomi hanno risposto al quesito "riservato" ai più grandi. Complimenti a loro. MA entrambi calcolano la radice di 2 eper qualche ragione entrambi la arrotondano alla seconda cifra decimale. Ecco, speravo che qualcuno dei secondini (i terzini no, devono essere in silenzio stampa) usasse la radice di 2 con un pizzico di lucidità in più. Calcolare una radice significa per forza ottenere un risultato approssimato. Qua e là, a lezione, ho lanciato molto più di un suggerimento: la radice di 2 si può tranquillamente lasciare indicata come √2, senza calcolare (e introdurre quindi un'imprecisione).
La lunghezza del lato del rettangolo si poteva ben indicare come (2+√2 )cm.
Fine della pubblicità. Riprendiamo le regolari trasmissioni.

SECONDO MOSAICO



Per risolvere questo quesito, siccome A e' al centro del quadrato, i segmenti B-C-D-E misurano per forza 5cm, mentre i segmenti F-G-H-I sono la metà' di 5cm e quindi 2,5cm. L-M-N-O sono la somma di 5 e 2,5cm quindi 7,5cm.
A questo punto ho tutti i dati che mi servono per trovare la risposta. Infatti mi basta fare 5cm x 4 + 2,5cm x 4 + 7,5cm x 4 = 60cm

Michael P spara di nuovo le risposte giuste ma secche secche.
Sara C stavolta invece tenta una spiegazione, ci sono anche delle figure (che rielaboro solo un pochino). Bene, vediamo.
PRIMO MOSAICO
La soluzione di questo quesito è Area=12cm²  , perché partendo da 16cm (perimetro complessivo) e togliendone  4cm² si arriva  a 12cm² il procedimento è il seguente: partendo dalla figura iniziale immagino di piegare un quadratino rosso fino a trovare il quadrato interno che aggiungo alla figura di partenza in questo modo.


Idea interessante ma spiegazione non proprio chiarissima, con una certa confusione tra area e perimetro. Non so voi, io sono riuscito a capire il ragionamento grazie alle mie note doti medianiche :-)

SECONDO MOSAICO
Sono giunta alla  soluzione che i segmenti misurano 60cm, perché dividendo la piastrella in 4 parti uguali si calcola in ognuna di essa lo stesso numero di segmenti, cioè 5cm.



Mattia C sbaglia la prima risposta ma ci azzecca con la seconda (io aggiugno solo le unità di misura): Ipotizzando che i due segmenti che formano una croce nel mezzo dell'area  del quadrato e le sue derivazioni misurino come la metà del lato del quadrato,
10cm : 2 = 5cm misura di un segmento
10cm x 6 = 30cm totale misura segmenti centrali.
Calcolando che i segmenti laterali della spirale sono lunghi 3/4 il lato del quadrato:
10cm x 3/4 = 7,5cm
7,5cm x 4 = 30cm totale segmenti più lunghi.
30cm + 30cm = 60cm totale misura spirale.

Un'altra occhiata alla mail di Christian per controllare di non essermi perso qualcosa... no, è proprio vuota. E allora torniamo ai fogli di carta. E inseriamo di nuovo la modalità "elenco con commento dove necessario".

Al quesito del primo mosaico (area del marmo bianco) rispondono bene: Giorgia M (anche lei, proprio come Sara, fa un po' doi confusione tra area e perimetro...), Martina P, Mirko G, Mirko P (che risponde bene anche alla seconda parte del quesito, quella per secondini e terzini), Nelson R, Paolo M.
Al quesito del secondo mosaico (lunghezza della spirale) rispondono bene: Giorgia M, Irene T, Mirko G (che costruisce la figura e in scala e misura. Aaagh!), Mirko P (la sua spiegazione sembra originale e interessante ma giuro che non l'ho capita! Dovrò farmela spiegare a parole).


Bene, mi dicono dalla regia che la puntata sta per terminare. Mi voglio complimentare con tutti quelli che ci hanno provato, specialmente se hanno evitato di farsi aiutare troppo dallo zio che fa il fisico nucleare o dalla mamma che insegna matematica alla Sorbona.
Possiamo concludere la puntata. La archiviamo - non senza una certa delusione - come quella con il minimo storico di risposte tentate e guardiamo avanti, Ché se oggi piove (e qui piove davvero) domani potrebbe tornare il sole.
Allora ci vediamo domani dalla prof Giovanna! D'accordo, forse non proprio domani, facciamo nei prossimi giorni, dai.