lunedì 25 marzo 2013

Sarà mica matematica 21

Eccoci qui, cari telespettatori, per una nuova puntata di Sarà mica mate!
D'accordo, basta applausi, grazie.
Cominciamo subito con i due quesiti di questa settimana.

Il primo

A causa di una nevicata, oggi in classe sono presenti solo 2 ragazze e 5 ragazzi. (Ogni riferimento a persone o fatti realmente accaduti è puramente voluto.) Eccoli.


I ragazzi salutano solo gli altri ragazzi (sempre un po' buzzurri, questi maschi!) e lo fanno con un cenno della testa seguito da un suono un po' gutturale che potremmo definire un EHI!.
Le ragazze (più gentili!) salutano tutti, maschi e femmine, con un CIAO.

In totale, ci saranno più EHI! oppure più CIAO?

Spiegare la risposta, eh.


Il secondo

Disegna un rettangolo di dimensioni 2 e 1 (scegli pure l'unità di misura che preferisci). In altre parole: un rettangolo formato da due quadratini affiancati, come nella figura qui sotto.
Ora taglialo (come vuoi, tutte le volte che vuoi) in maniera tale che con i pezzi ottenuti si possa costruire un quadrato.
Il problema ha più di una soluzione: una mi pare piuttosto semplice. Riesci a trovarne due?

Per i secondini e i terzini oserei chiedere anche: se il rettangolo misura 2 cm x 1 cm, quanto misurerà il lato del quadrato che ne risulta? O è troppo?


Ecco, cari telespettatori, anche per questa puntata il tempo a nostra disposizione sta per terminare. Resta solo qualche secondo per ricordare che tra un paio di giorni iniziano le vacanze pasquali (c'è qualcuno che non se ne ricordava?). E siccome le vacanze sono vacanze, stavolta non daremo una settimana di tempo per risolvere i quesiti: ne daremo ben due!  La scadenza è per sabato 6 aprile (ma poi, se arriva qualche risposta nella mattinata di domenica 7, va bene lo stesso, stiamo mica lì a spaccare il capello).
 

domenica 24 marzo 2013

Due a settimana_1, le nostre soluzioni



È stato un fine settimana denso. L’ho occupato tra l’altro con la mostra Homo sapiens a Novara e con il film I Croods: un bel contrasto tra rigore scientifico e fantasia, entrambi affascinanti. L’ho occupato anche con tre pacchi di verifiche da correggere, ma questo è un altro discorso.



Altro discorso sono anche i quesiti proposti dalla prof Giovanna la settimana scorsa. Della mostra e del film magari parleremo un’altra volta (c’è materiale per un bel post). Qui facciamo il nostro tentativo di dare qualche risposta ai quesiti in questione.



Quesito 1



È stata dura, stavolta. Dura per i ragazzi trovare una strada verso la risposta e dura per me tentare di interpretare i loro ragionamenti. Tanto che non sono del tutto sicuro di aver compreso bene alcune spiegazioni. 


Siamo arrivati alla risposta, questo è certo: le ragazze sono 6. Riusciamo anche a stabilire che i CD sono 12 in totale. 

Qualcuno ci è arrivato per tentativi, qualcuno ha tentato una spiegazione ma senza grande successo.

Nel frattempo la prof Giovanna ha pubblicato le soluzioni su Matematicamedie. Rimando tutti a quel post, dove scopriremo tra l’altro perché un numero divisibile per tre numeri consecutivi è divisibile per 6. Interessante. Per tutti ma soprattutto per i primini: in fondo siamo proprio alle prese con divisori, multipli e compagnia.


A proposito: solo i primini hanno consegnato risposte. Si tratta di Ismaele M., Matteo C., Sarah T., Sophia Z. e Valentina V.

Complimenti a loro. Peccato per tutti gli altri.



Quesito 2



Lunedì nevicava. Questo (e forse un po’ anche la programmata verifica di geometria?) ha costretto (…costretto?!) a casa una buona metà dei terzini. Saltata la verifica, con la classe dimezzata, cosa fare? Divisi in piccoli gruppi, abbiamo ragionato su alcuni problemi. Uno era proprio questo quesito. E almeno tre gruppi, che significa 9 o 10 persone, non solo erano arrivati a una soluzione ma avevano messo insieme alcuni buoni pezzi di dimostrazione. Purtroppo non posso fare i nomi perché nessuno di loro mi ha poi consegnato una risposta scritta. Latitanti anche i secondini, ci affideremo alle giovani e capaci menti dei primini. Ecco cosa hanno trovato:




La figura è di fatto già scomposta in poligoni: oltre al quadrato centrale ci sono 4 triangoli e altrettanti trapezi. Ruotando i quattro triangoli rettangoli di 180° si formano 5 quadrati congruenti, compreso quello di cui bisogna trovare l’area.

Il fatto che i triangoli si incastrino con i trapezi a formare proprio dei quadrati non è proprio scontato. Tantomeno che i quadrati siano congruenti. Infatti qualcuno, con mia soddisfazione, abbozza qualche giustificazione. Nota ad esempio Sarah che il lato del triangolo e quello del trapezio possono combaciare per ché entrambi sono “la metà del lato del quadratone”.



A questo punto si può dividere per  5 l’area del quadratone, trovando così l’area di ognuno dei quadratini, che è poi quello che cercavamo:

(15 cm)2 : 5 = 225 cm2: 5 = 45 cm2



Non mi resta che complimentarmi con tutti quelli che ci hanno provato. Intendo proprio tutti: quelli che non sono riusciti a trovare la soluzione e quelli che ci sono riusciti: Ismaele M., Sarah T. e Sophia Z. (Valentina V. ha fatto tutto il ragionamento corretto ma ha sbagliato i calcoli!).



Al prossimo turno tocca a noi: domani (o forse dopodomani) pubblicherò un paio di nuovi quesiti.

Sì, lo so che settimana prossima cominciano le vacanze pasquali. E le vacanze sono vacanze. So anche che qui sembrano tutti stanchi stanchissimi (non esclusi i prof, devo dire). Quindi niente paura: buttiamo lì i quesiti ma poi daremo ben due settimane per ragionarci su.

domenica 17 marzo 2013

Sarà mica matematica 20, le soluzioni


Nella puntata 20 di Sarà mica matematica ho proposto due quesiti. Vediamo le risposte ai quesiti

Il primo

Scrive Sophia Z.: facendo la somma solo della pagina di sinistra si ottiene un numero pari oppure un numero dispari, in base alla parità o disparità delle cifre.
Ad esempio, aggiungo: se apro a pagina 116, otterrò il numero 8 (pari); se apro a pagina 106, otterrò 7 (dispari).

A questo punto esamino la pagina di destra. Come nota Sarah T., se una pagina è pari, quella consecutiva sarà dispari. Questo vale, preciso io, sia se considero il numero di pagina sia se ne sommo le cifre.

In  conclusione, se avessi sommato le cifre di entrambe le pagine, avrei ottenuto sicuramente un numero dispari (parola di Ismaele M.), infatti, come scrive Carolina D.M.: se sommo un pari e un dispari esce sempre dispari! :-P (anche l’emoticon fa parte della citazione).

Hanno dato una risposta valida (anche se qualcuno poteva precisare un po’ meglio…): Carolina D.M., Ismaele M., Sarah T., Sophia Z.  (prima B) e Pietro G. (seconda B).

Il secondo

Scrivevo tempo fa che sbagliando si insegna. Naturalmente, come qualcuno non ha mancato di farmi notare, il detto giusto sarebbe sbagliando s’impara. E in effetti io dovrei aver imparato qualcosa. Ad esempio: nel formulare i quesiti bisogna pensarci bene, evitare la fretta, cercare di prevedere le risposte.
Tutte cautele che in questo caso non ho avuto. Così nel quesito mi sono scappate due sviste due. E sono cose che si pagano, ahimè.

Pietro G. (seconda B) sfrutta la mia prima svista. Nota che due dei segmenti tracciati nel quadrato ABCD congiungono proprio i punti medi dei lati. Perciò metà lato del quadrato corrisponde al lato lungo di due rettangoli (quelli con perimetro 14 cm e 16 cm). Trovato un lato del rettangolo basta togliere al perimetro la somma dei due lati uguali che conosco e poi dividere per due: trovo cosí il lato che non conosco. Ripetendo l'operazione con l' altro rettangolo, trovo il semiperimetro del rettangolo che mi interessa, lo moltiplico per 2 e trovo il perimetro del rettangolo colorato

Io cosa posso ribattere a questo punto? Che Pietro ha sfruttato un caso particolare e bisognava invece considerare il caso generale? Gliela do buona e ciao! :-)

La seconda svista è figlia della prima: nel quesito scrivo “si formano così nove rettangoli”. Nella fretta non ho notato che due di questi rettangoli (quelli il cui perimetro è rispettivamente 12cm e 8 cm) erano in realtà quadrati (ovverosia rettangoli con tutti i lati congruenti). Questo permette a Valentina V. (prima  B) di notare che se il perimetro del quadrato è 8 cm, un suo lato misurerà 2 cm e se il perimetro è 12 cm, un lato misurerà 3 cm. Dato che i lati così trovati formano proprio il rettangolo colorato, si avrà

Perimetro rettangolo colorato = 2 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 10 cm

La stessa soluzione, oltre che da Valentina, è stata individuata anche dai primini Ismaele M., Sarah T.,  e Sophia Z.

Io cosa posso ribattere a questo punto? Che hanno sfruttato un caso particolare e bisognava invece considerare il caso generale? Gliela do buona e ciao! :-)


Resta da raccontare la “mia” soluzione, quella più generale. Come spesso succede, è più facile da capire che da spiegare. Si tratta di notare che, per come sono stati  costruiti, i rettangoli di perimetro noto hanno lati a due a due congruenti con alcuni dei segmenti che costituiscono il quadrato ABCD.
Nel disegno qui sotto il contorno del quadrato ABCD è diviso in segmenti colorati. Segmenti di uguale colore hanno uguale lunghezza.

Ciascuno dei rettangoli di perimetro noto ha quattro lati, dei quali uno costituisce un lato del rettangolo colorato. Gli altri tre possono essere usati per comporre il quadrato  ABCD.
In questo modo si ha:
Somma dei perimetri dei rettangoli noti = 12 cm + 8 cm + 16 cm + 14 cm = 50 cm
Perimetro del quadrato ABCD = 4 x 10 cm = 40 cm
Perimetro rettangolo colorato = somma perimetri rettangoli – perimetro ABCD = 50 cm – 40 cm = 10 cm

Ecco qui. In un modo o nell'altro, abbiamo portato a casa anche questi due quesiti.
Per quelli di settimana prossima la palla passa alla prof Giovanna. Ci vediamo da lei.

domenica 10 marzo 2013

Sarà mica matematica 20



Eccoci qui, di ritorno da Matematicamedie e dai quesiti della prof Giovanna. Questa settimana tocca di nuovo a noi proporre un paio di giochi. Allora pronti, via!

Il primo

C’è stato un tempo in cui sedevo dall’altra parte della cattedra. Ci sono mattine in cui, entrando in aula, ho ancora la sensazione di dover prendere posto dietro a un banco, meglio se uno dell’ultima fila. Dei molti ricordi di quegli anni, uno è ben chiaro: prima di un’interrogazione scendeva il silenzio. Un silenzio teso, mentre l’insegnante scorreva il registro per scegliere il condannato candidato. Tutti incrociavano le dita, si nascondevano dietro ai libri. I volontari – quelli che si facevano interrogare - erano ben rari, delle mosche bianche. O delle pecore nere, a seconda di come si vuol vedere il mondo.
E il mondo è cambiato, almeno nelle mie classi. Oggi, alla domanda “c’è qualcuno che si vuole fare interrogare?” si alza una selva di mani.  C’è perfino chi si arrabbia perché non viene interrogato. Io ne sono ben contento, intendiamoci, ma per me resta uno dei grandi misteri della vita.

Ad ogni modo le cose stanno così, bisogna organizzarsi. Quando si tratta di scegliere tra due volontari io mi affido alla sorte, per non commettere ingiustizie: dichiaro “ se esce pari interrogo Vincenzo, se esce dispari interrogo Tecla”. Dopodiché apro il libro a caso, leggo il numero della pagina di sinistra e faccio la somma delle sue cifre: se è un numero pari vince Vincenzo, se è dispari tocca a Tecla.

Ora (occhio che arriva la domanda): l’altro giorno qualcuno in prima B ha proposto: “prof, tanto per cambiare, perché stavolta non fa la somma delle cifre di entrambe le pagine invece che solo di quella di sinistra?”.

Io ci ho pensato un attimo poi non ho accettato la proposta. La domanda è: perché non l’ho accettata?

PS: La storia raccontata qui sopra è tratta da vicende realmente accadute. Solo i nomi dei protagonisti sono di fantasia: non ho nessun alunno di nome Vincenzo. E sono certo di non aver mai avuto alunne di nome Tecla.

Il secondo

Il quadrato ABCD, nella figura qui sotto, ha lato 10 cm.

Traccio quattro segmenti, a due a due paralleli ai lati del quadrato. Si formano così nove rettangoli.
All’interno di alcuni rettangoli è indicato il loro perimetro.

Quanto è il perimetro del rettangolo colorato?


Come sempre le risposte (per entrambi i quesiti) vanno spiegate, giustificate, dettagliate, eccetera.

La scadenza? Facciamo sabato prossimo, d’accordo?

sabato 9 marzo 2013

"Due a settimana", le nostre soluzioni



La prof Giovanna ha proposto un paio di quesiti. Vediamo quali risposte siamo riusciti a dare.

Quesito 1

Si è rivelato il più ostico, come si poteva prevedere.
Qualcuno (Lucrezia I., Valentina V. …) ha continuato la sequenza fino alla 15° riga e ha calcolato la somma. Il risultato, giusto, è 3375.
Però la prof aveva detto che si trattava di scoprire la regolarità, qualcosa che permetta di trovare la somma della riga 15 ma anche, in maniera rapida, anche della riga 100, ad esempio.
Dove cercare questa regolarità? Proviamo a calcolare le somme dei numeri delle righe date. Lo schemino usato da Sarah T. (prima B) mi sembra piuttosto chiaro:

1
3 + 5 = 8
7 + 9 + 11 = 27
13 + 15 + 17+ 19 = 64
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125

A questo punto entra in gioco quel po’ di occhio (o orecchio, o naso, scegliete voi) che si acquisisce con l’esperienza. Quando hai giocato per qualche anno con certi numeri li riconosci come qualcosa di familiare. Altrimenti farai più fatica. Infatti i primini hanno cominciato a maneggiare i numeri con gli strumenti per loro più consueti: divisori, multipli, scomposizione in fattori primi… Altri hanno fatto la scoperta per via più diretta.
La scoperta è:  1 = 13;  8 = 23;  27 = 33;  64 = 43;  125 = 53
Quindi, completando lo schema:

1 = 13
3 + 5 = 8 = 23
7 + 9 + 11 = 27 = 33
13 + 15 + 17+ 19 = 64 = 43
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 53

Cioè, per usare le parole di Pietro G. (seconda B): la somma di ogni riga è uguale al cubo del numero della riga. 
Perciò per la riga 15 si avrà 153 = 3375

Sono arrivati a questa conclusione:
Ismaele M., Sarah T. e Sophia Z., (prima B); Pietro G. e Federica S. (seconda B).

Matteo C. e Matteo N., di terza B, hanno dato una risposta diversa.
Copio e incollo le parole di Matteo N.:

mi sono accorto che la differenza tra il primo numero di ogni fila è un multiplo di 2 ( tra la prima fila e la seconda 2, tra la seconda e la terza 4 etc.). Per essere pignoli è dovuto al fatto che tra il primo numero di una fila e il primo numero della successiva c'è una differenza di 2 [moltiplicato per la quantità di] numeri della fila stessa.
A questo punto ho fatto questo "schemino" (ogni numero scritto è il primo numero di una fila):
1+2=3
3+4=7
7+6=13
13+8=21
21+10=31 etc...

continuando con questi calcoli sono arrivato a scoprire che il primo numero della quindicesima fila era 211. [Ho notato che la riga 15 deve essere composta da 15 numeri e,] aggiungendo progressivamente 2 ho scoperto che i numeri della quindicesima fila erano:

211, 213,  215, 217, 219, 221, 223, 225, 227, 229, 231, 233, 235, 237, 239 la cui somma è 3375.

Certo, è meno elegante dell’altra soluzione, è un po’ macchinosa ma, insomma.
  
Quesito 2

Le soluzioni sono state più numerose e hanno seguito parecchie strade differenti. Nel tentativo di riassumere direi che possiamo individuare due scuole di pensiero: c’è chi ha diviso il quadrato grande in quadratini uguali più piccoli e c’è chi ha diviso il quadratone in triangolini.

Cominciamo dalla seconda. Completiamo le diagonali del quadrato e uniamo i punti medi dei lati come nella figura qui sotto.

Si nota che il quadrato colorato è formato da due triangolini uguali (congruenti) tra loro.


Area di ciascun triangolino = metà area del quadrato colorato = 2 cm2 : 2 = 1 cm2

Il quadratone è formato da 16 triangolini. Quindi
area quadratone = 16cm2

Hanno seguito questa strada (o qualcosa di molto simile): Ismaele M., Nicolas A., Sarah T., Sophia Z. e Valentina V. (che però poi sbaglia i conti! Aaargh!), di prima B; Federica S. e Pietro G. di seconda B; Matteo C. e Matteo N. di terza B. 

Ismaele M., si è (giustamente) preoccupato di dimostrare che i triangolini sono davvero tutti uguali (congruenti) tra loro. Non riporto la sua spiegazione perché si farebbe troppo lunga ma credo si meriti una piccola menzione d’onore.

Lucrezia I. (prima B) propone la soluzione con i quadratini. Non è poi molto diversa, si tratta ancora di dividere il quadratone sfruttando diagonali e punti medi; stavolta ne risulta la figura qui sotto. Con una rotazione dei triangoli verdi si costruiscono i quadratini.

Sono 8 quadratini, tutti uguali a quello colorato, di partenza.
L’area del quadratone è allora 8 x 2 cm2 = 16 cm2.


Ecco. Questo è quel che siamo riusciti a fare. I miei complimenti, come sempre, a tutti quelli che ci hanno provato. I vostri neuroni (e anche i miei) ringraziano per l’allenamento: si sono fatti più robusti.

Io invece ringrazio la prof Giovanna e i suoi allievi. Chissà come se la sono cavata? :-)

Nei prossimi giorni ci riproviamo qui da noi con la prossima puntata di Sarà mica matematica.