giovedì 9 marzo 2017

Due a settimana..._19

Sostiene la prof Giovanna che lei ed io fingiamo di essere in ritardo per concedere più tempo di riposo tra una puntata e l'altra.

Bella idea!

Mi piace tanto che ormai io ritardo non solo con le soluzioni ma perfino con i nuovi giochi: già da lunedì la prof ha pubblicato la nuova puntata di Due a settimana... e solo ora io arrivo con questo post di rimando.

Ecco qui un paio di immagini che, appunto, vi rimandano all'articolo originale.


http://matematicamedie.blogspot.it/2017/03/due-settimana-19.html
http://matematicamedie.blogspot.it/2017/03/due-settimana-19.html
Come al solito non sto a ripetere qui le domande. Cliccate sopra una qualunque delle due immagini e potrete leggere (con attenzione, mi raccomando!) le parole della prof stessa.

Aggiungo solo tre precisazioni:

  1. i quesiti sono belli e difficili il giusto, chi non prova a risolverli e un vero babbano;
  2. leggete BENE le domande, curate le spiegazioni, prestate attenzione al linguaggio che usate, quello matematico e quello italiano;
  3. le risposte vanno consegnate (via mail, via foglio cartaceo, via strillèttera, vedete voi) entro lunedì 20 marzo 2017.
Buoni ragionamenti a tutti e GRAZIE! alla prof Giovanna.


domenica 5 marzo 2017

Sarà mica matematica 43, le soluzioni

Da una settimana cerco una buona frase per iniziare questo post. Un incipit che catturi il lettore e lo invogli a continuare a leggere.
Ma morire se mi viene in mente qualcosa di valido. Quindi ci rinuncio, lascio le ciance e passo subito alle risposte, che è quello che ci interessa qui.
Le domande a cui rispondiamo sono quelle di Sarà mica matematica 43.
I quesiti erano tre (anzi quattro).

IL PRIMO

Le soluzioni possibili sono parecchie, vediamo quelle che sono arrivate, in ordine sparso.
Si tratta di risposte con poche parole - spesso nessuna - e tante immagini. Non male quelle un po' sbilenche, evidentemente costruite con sistemi artigianali, per così dire.

Stefano P invia la figura qui sotto e precisa che "si può anche ruotare la figura ottenendo altre 3 combinazioni più altre 4 speculari."



Naomi R propone altre due soluzioni, che in effetti sono una sola cui è stata applicata una riflessione.



Rachele C. Bello l'effetto artistico dato dall'irregolarità di cerchi e linee: un po' come un incrocio tra un'opera di Mirò e una di Mondrian, con un'interessante suggestione di mal di mare. :-D


Nicole M. Come non apprezzare lo sfondo rosso e i dischetti litici ed ellittici con tanto di ombreggiatura?


Andrea G. Anche qui, apprezzabili i dischetti a forma di quadrato smangiato. La disposizione "a freccia" è stata quella più gettonata in assoluto.


Giada A è stata la prima a inviare una soluzione valida.

Le soluzioni buone sono ancora di più. Per dare un'idea delle possibilità ne pubblico almeno una scelta tra quelle arrivate su carta.

Quella di Nelson R.


Gli altri che hanno consegnato soluzioni su carta sono: Alice D, Alunno Ignoto (almeno uno c'è sempre), Alunno Ignoto (un altro!), Alessia P, Anes K, Christian L, Daniele S, Dennis A, Edoardo D & Christian G, Edoardo O, Gaia B, Giorgia M, Irene T, Lisa S, Leonardo R, Lorenzo Z, Matilde e Paolo D, Mattia G, Michele P (il quale azzarda anche alcuni ragionamenti generali: bene così, Michele, anche se le tue affermazioni non sono del tutto corrette), Nihad K, Noemi N, Rebecca T, Simone S che trova ben otto soluzioni! (anche se a ben vedere sono due diverse, con rotazioni di 90°).


IL SECONDO

Cominciamo con una sequenza di risposte dei primini.

Ecco quella di Andrea G, ad esempio.

l triangolo BCE è un triangolo isoscele, quindi l'angolo CEB è uguale a CBE che è uguale a 70°.
L'angolo BCE è uguale a 180°- (70°+70°) = 40°.
Tutti gli angoli di un quadrato sono di 90°.
BCE=ECG=90°
DCE è uguale ha 360° meno la somma degli angoli BCD,ECG,BCE.
DCE=360°- (90°+90°+40°) = 140°


Oppure la risposta sintetica ma abbastanza chiara di Rachele C.

L’angolo DCG misura 140°.
Sono riuscita a calcolarlo trovando prima l’angolo BCE che misura 40° (180°-70°-70°=40°).
Sapendo che gli angoli DCB e GCE misurano ognuno 90° ho calcolato DCG facendo 360°-90°-90°-40°=140°

Oppure ancora quella di Giada A.

L' angolo DCG misura 140° perché l'angolo BCE misura 40° (spiegazione un po' incompleta, preciso io). Gli angoli GCE e DCB misurano tutti e due 90° perché la misura complessiva degli angoli dei quadrati è 360° (e i quattro angoli sono congruenti, aggiungo io). Quindi 40° + 90°+ 90° fa 220° . Se si sottrae 220° da 360° (la misura dell'angolo C) fa 140°.

Più articolata, ma identica nella sostanza, la risposta di Serena G (sempre di prima B):

L'angolo DCG misura 140° perché, sapendo che [gli angoli interni di] un triangolo misura[no] in totale 180° e l'angolo CBE misura 70°, l'angolo CEB è congruente all'angolo CBE (perciò misura anche lui 70°), quindi l'angolo BCE misura 40°.
Ora, sapendo che ogni angolo del quadrato misura 90°, bisogna sommare l'angolo BCE, l'angolo DCB e l'angolo GCE, cioè 220° in totale.
Sapendo anche che l'angolo giro misura 360°, facendo 360°-220°, si ottiene 140°, cioè la misura dell'angolo DCG.

Passiamo al secondino Mattia C, che scrive:

Sapendo che l' angolo B è 70 gradi, l'angolo E è 70 gradi. Calcolando che la somma degli angoli interni è 180 gradi, l'angolo C interno misurerà 40 gradi, infatti (180-70 x 2)= 40.
Visto che la somma degli angoli opposti adiacenti è 180, l'angolo DCG si ottiene facendo (180-40)=140
Quindi DCG è uguale a 140 gradi.

Chiudo tutti gli occhi che ho a disposizione sulla terminologia (angoli opposti adiacenti?), sulla mancanza quasi assoluta di unità di misura, sulla scarsa precisione nell'indicazione degli angoli (qual è l'angolo C, ad esempio?)... Mi accontento del fatto che il ragionamento si capisce e sta in piedi.

Concludo la rassegna delle risposte arrivate via mail con un paio di terzini. Tutto sommato mi resta la sensazione che tre anni di insistenza lascino qualche buona traccia. A volte.

Naomi R imposta e risolve il problema come se fosse... un vero problema, con tanto di dati e passaggi risolutivi

Angolo CBE= 70°
Angolo DCG=?

Angolo DCB=90°
Angolo DCB+Angolo GCE+BCE+DCG=360°
Angolo BCE=180°- (Angolo CBE X 2)= 180°-(70° X 2)= 40°
Angolo DCG=360°- (GCE+DCB+BCE)=360°- (90°+90°+40°)=140°

Stefano P sceglie un'impostazione più narrativa ma riesce ad essere ugualmente preciso e rigoroso. 

Se l'angolo CBE è 70° anche l'angolo CEB è 70° perché il triangolo BEC è isoscele dato che due lati sono anche lati di due quadrati congruenti, quindi l'angolo BCE è 40° (180° - 70° - 70° = 40°). Adesso posso calcolare l'angolo DCG togliendo all'angolo giro in C i due angoli dei quadrati e l'angolo BCE (360° - 90° - 90° - 40° = 140°). L'angolo DCG misura quindi 140°.

Hanno consegnato fogli di carta con soluzioni accettabili (alcune decisamente buona, altre meno): Alessia P, Alice D, Alunno Ignoto (uno dei due di cui sopra ma non so più quale), Anes K, Edoardo O, Edoardo D & Christian G (che però potrebbero fare lo sforzo di scrivere la risposta oltre a fare il disegno), Gaia B, Giorgia M, Irene T, Matilde e Paolo D, Mattia G, Nelson R (che per la verità sbaglia l’ordine dei termini e arriverebbe a uno strano angolo ampio -140°), Nihad K, Noemi N.


IL TERZO

Stefano P (di terza B) è stato l'unico a scoprire sia l'area che il perimetro complessivo delle parti rosse. Ecco cosa scrive: Ho diviso il rettangolo ABCD in 40 rettangolini uguali passando per i vertici delle figure.
Con questo si capisce che il lato corto dei parallelogrammi colorati è metà del lato lungo perché il lato corto è metà della diagonale dei rettangolini mentre il lato lungo è uguale alla diagonale intera. Si capisce anche che la figura evidenziata in giallo è un rombo, perché ha i lati uguali (sono tutti diagonali di rettangolini uguali) e paralleli a due a due. I 3 parallelogrammi rossi sono metà dei rombi (come quello in giallo) perché li tagliano a metà di due lati opposti. L'area rossa rimanente è uguale a 1 parallelogrammo rosso perché nella prima figura rossa a sinistra manca il triangolo rosso a destra per completare un altro parallelogrammo.

Per trovare l'area delle parti in rosso inizio a calcolare l'area di un rombo,trovando prima le due diagonali. La diagonale minore è uguale a due lati corti dei rettangolini, che misurano AB : 8 = 5cm. 
La diagonale minore è lunga quindi 5cm X 2 = 10cm. Se divido BC in 5 parti trovo metà della diagonale maggiore 60cm : 5 = 12cm; la diagonale maggiore misura quindi 12cm X 2 = 24cm. Adesso trovo l'area di un rombo facendo il prodotto delle due diagonali diviso 2 (10cm X 24cm) : 2 = 120cm2.

L'area dei quattro parallelogrammi rossi è uguale a 4 mezzi rombi oppure a due rombi interi, cioè 120cm2 X 2 = 240cm2.

Adesso trovo il perimetro delle parti colorate in rosso.
Per trovare il lato lungo del parallelogrammo rosso uso il teorema di Pitagora applicato alle semi diagonali del rombo: radice quadrata di 12cm al quadrato X 5cm al quadrato = radice quadrata di 144cm2 + 25cm2 = 13cm. Il lato corto dei parallelogrammi è 13cm : 2 = 6,5cm. Il perimetro di un parallelogrammo rosso è quindi 13cm x 2 + 6,5cm x 2 = 39cm. Il perimetro del quadrilatero rosso a sinistra è 12cm + 13 cm + 6,5cm + 6,5cm = 38cm, mentre quella del triangolo rosso a destra è 6,5cm + 6,5cm + 12cm = 25cm.


Il perimetro delle parti colorate in rosso è 3 x 39cm + 38cm + 25cm = 180cm.

Alcuni altri fanno tutto per bene con l'area e arrivano a un passo dal perimetro. Ma i poligoni all'estrema sinistra e all'estrema destra hanno un tratto di contorno in più, che va calcolato nel perimetro e molti se ne dimenticano.

Così, ad esempio Naomi R (di terza B):
Quelli con lo stesso numero sono i pezzi da abbinare per fare un rombo.
$$A_{rettangolo}=AB\cdot BC=40cm\cdot60cm=2400cm^2$$
$$A_{rombo}=A_{rettangolo}:n°rombi=2400cm^2:20=120cm^2$$
$$A_{rosso}=A_{rombo}:2=120cm^2:2=60cm^2$$
$$A_{tot rosso}=A_{rosso}\cdot n°rossi=60cm^2\cdot4=240cm^2$$

$$AO=AB:4=40cm:4=10cm$$
$$OZ=AD:2,5(2 diagonali+metà diagonale)=60cm:2,5=24cm$$
$$OX=\sqrt{CX^2+OC^2}=\sqrt{(5cm)^2+(12cm)^2}=\sqrt{169cm^2}=13cm$$
$$XP=OX:2=13cm:2=6,5cm$$
$$2p_{rosso}=[(OX+XP)\cdot 2]\cdot 4(3 rombi interi+1da comporre)=$$
$$=[(13cm+6,5cm)\cdot 2]\cdot 4=156cm$$

(Spero che Naomi apprezzi il mio sforzo di trascrivere tutto in LaTex).

Anche Edoardo OGiorgia M, entrambi di seconda B, seguono nella sostanza la strada percorsa da Naomi. Compreso l'ultimo passo mancante.

Allo stesso modo Nicole M, ancora di seconda B, calcola bene l'area e prova con il perimetro ma pasticcia un po', arriva a un risultato corretto ma per sentieri sbagliati. Copio e incollo la sua risposta per l'area, con piccole correzioni grammaticali.
E anche in questo caso faccio uno sforzo immane e scrivo le formule in LaTEx!

Calcolo inizialmente la misura di ABCD, faccio quindi 
$$AB\cdot BC= 40cm\cdot 60cm=2400 cm^2$$Conto ora quanti rombi ci sono totalmente; sono 20, per trovare quindi l'area di un rombo faccio 
$$A_{rombo}=2400cm^2:20=120cm^2$$
Per trovare invece uno dei due parallelepipedi che formano il rombo faccio
$$120cm^2:2=60cm^2$$
Le parti rosse sono quattro, faccio quindi 
$$A_{rossa}=60cm^2\cdot4=240cm^2$$

Tutti gli altri che si sono cimentati con il quesito non sono andati oltre il calcolo dell'area. Si tratta di Anes K, Gaia B, Irene T, Mattia G, Noemi N, Nelson R, Nihad K, Rachele C (che però non mi convince quando parla di "dividere l'area totale del rettangolo per il numero di colori") e Simone S.


Per concludere ci sarebbe da fare un lungo e serio discorso sul senso di questi giochi matematici e sulla scarsa lungimiranza del copiare le risposte, nonché sulla sua scorrettezza. Soprattutto tra i secondini (e le secondine). Ma ne abbiamo già parlato in classe e ancora ne parleremo.

Qui preferisco fare i complimenti a tutti quelli che hanno ben usato le proprie giovani sinapsi. Si sente l'enfasi sulla parola proprie?

Dopodiché lascio la parola alla prof Giovanna che prossimamente pubblicherà una nuova puntata di Due a settimana....

Sono certo che lei troverà anche una buona frase per iniziare.

sabato 11 febbraio 2017

Sarà mica matematica 43

In quattro e quattr'otto - anzi, in 4 e 3, 43 -  butto lì quattro quesiti, anzi tre.

IL PRIMO

Avete una griglia 4 x 4, quindi con 16 caselle.

Avete anche 10 dischetti colorati.

Dovete disporre tutti i 10 dischetti, uno in ciascuna casella della griglia, in modo che lungo ogni riga, ogni colonna e anche lungo le due diagonali maggiori della griglia ci sia un numero pari di dischetti.

Sembra facile ma non è difficile!

Per correttezza vi dirò che ho tratto il gioco da un libro del 1956.
Chi va a sbirciare è bocciato (...fin quando è possibile, bisogna approfittarne)!
E comunque il gioco l'ho anche modificato. Cicca cicca!

IL SECONDO

Assomiglia molto al quesito 2b proposto la volta scorsa dalla prof Giovanna, così ci serve per rinforzare e consolidare la buona esperienza. Poi secondo me questo è più facile, quindi non dovrebbero esserci troppi problemi.
I due quadrati arancioni sono uguali. O vogliamo dire congruenti?
Se l'angolo CBE misura 70°, quanto misura l'angolo DCG?

Avete trenta secondi per dare la risposta!
Troppo poco tempo? Va be', allora aumentiamo un po': due settimane possono bastare?


IL TERZO

Un paio di settimane fa sono stato ad Alba. All'inizio ero attratto dalla fabbrica della Nutella, poi ho scoperto che alla Fondazione Ferrero c'era una mostra dal titolo FuturBalla. Così mi sono dimenticato la crema di nocciole e sono entrato a guardare i quadri di Giacomo Balla, il famoso pittore.
Non è che non mi piacciano i dolci, è che l'arte mi piace di più.
Poi l'ingresso era gratuito, ehm.

Non mi metterò a discutere dei quadri in mostra (ma quelli non troppo futuristi mi sono piaciuti molto, se può interessare).Qui si tratta di quesiti di matematica ricreativa, mica di critica d'arte.
Allora guardo un dipinto, in realtà uno studio a matita e acquarello: Compenetrazione iridescente.


Poi ne ritaglio una parte, sfruttando i vertici dei rombi (...o dei parallelogrammi?):

Poi, siccome voglio ricavarne un quesito di geometria, ne faccio una ricostruzione con Geogebra.
L'originale, anche se è solo uno studio preparatorio, è moolto più bello. Però la versione geogebra è più precisa, e ci serve così.
Ecco la domanda, anzi le domande.

Per tutti: se il lato AB misura 40 cm e il lato BC misura 60 cm, qual è l'area totale delle parti colorate di rosso?

Per secondini e terzini: qual è il perimetro totale delle parti colorate di rosso?


Ecco, ho buttato lì i tre quesiti, anzi quattro.
Come sono venuti non so, lo scopriremo solo vivendo (oh, ma quante citazioni colte faccio!?).

In particolare, lo scopriremo dopo la data di scadenza, che direi potrebbe essere... vediamo... fine febbraio... diciamo il 26? Va bene: domenica 26 febbraio 2017, ore 24.00? Fuso orario di Roma, eh!

mercoledì 8 febbraio 2017

Due a settimana..._18, le nostre soluzioni

Se ci fosse una sfida a chi pubblica prima le soluzioni, la prof Giovanna avrebbe stravinto.
Domenica sera aveva già pubblicato le risposte!

Io invece accompagno le terze alle prove alla Scala, partecipo a corsi di Edu Designer, seguo il montaggio di video per la radio della scuola, tento di organizzare la costruzione di modelli in scala del sistema solare...
Insomma: c'è chi lavora e chi si diverte :-)

La terza B sta tentando di realizzare un modello in scala del Sistema Solare: per ora c'e il Sole, solo...
Per fortuna la sfida lanciata in Due a settimana..._18 era rivolta ai ragazzi e riguardava la soluzione dei giochi proposti.
In Sardegna se la sono cavata niente male. Qui la quantità di fogli e mail di risposta è abbondante (certo: non tutte sono spontanee...). La qualità... non so ancora. Vediamo se riusciamo almeno a strappare un pareggio.

C'erano quattro quesiti.


IL PRIMO (ovvero 1a)

Cominciamo con Giada A, che è stata la prima a rispondere. Secondo lei la coppia che manca è formata dai numeri 24 e 19 perchè "la differenza tra i numeri maggiori e minori è sempre 5; e perché nella riga superiore ogni volta che si va verso destra i numeri diminuiscono di 2 come quelli sottostanti."

Stefano P scrive: "guardando le coppie di numeri ho notato che:
1) I numeri diminuiscono di coppia in coppia di 2 (la prima coppia 30-25 diminuisce di 2 e diventa 28-23)
2) Il numero sopra la freccia è maggiore di 5 rispetto a quello sotto (30 = 25+5)
3) Tra il numero della fila superiore e quello successivo della fila inferiore c'è una differenza di 7 (30-7=23).
Quindi l'ultima coppia è 24 19.
"
A ben vedere, l'ultima osservazione è una conseguenza dei primi due punti. Ma una precisazione in più non fa mai male

Naomi R è altrettanto chiara e aggiunge un'immagine.
"Partendo da 30 e andando verso destra si diminuisce di 2, la stessa cosa partendo da 25 e muovendosi sempre verso destra. Inoltre 25+5=30, 23+5=28 e 21+5=26; perciò per trovare il risultato basterà fare: 21-2=19 e 26-2=24. Verifico che sia giusto calcolando anche che la differenza tra i due numeri sia 5 e cioè: 19+5=24"

Lo stesso fa Andrea G, il quale però è più spiccio e non dice niente della differenza di 5 tra i due numeri (che peraltro non sembra necessaria per trovare la risposta): "è 24 e 19 perché  se faccio 30 meno due fa 28 e 28 meno due fa 26 e quindi 26 meno due fa 24. La stessa cosa con il 19."



Hanno dato una risposta valida anche Edoardo O, Mattia C (che però non spiega niente...), Nicole M (la quale invia un file in formato .pages che mi obbliga a una fatica immane per visualizzarlo...), Rachele C, Serena G.
Su carta hanno risposto più o meno bene (qualcuno ha notato la differenza di 5, qualcuno no): Alberto C, Alessandro P, Alessia V, Anes K, Daniele S, Edoardo D e Christian G, Filippo S, Giacomo B, Giorgia M, Giulia DM, Iman B, Irene T, Lisa S, Lorenzo Z, Martina D, Martina F, Martina P, Matteo M, Moris N, Michele P (senza spiegazioni...!), Nelson R, Pietro B, Pietro DR (senza spiegazioni...!!), Paolo e Matilde D, Noemi N, Paolo M, Rebecca T, Riccardo B, Simone S.


IL SECONDO (ovvero 1b)

Riporto l'immagine che riassume il quesito, tanto per rinfrescare la memoria. Poi do la parola ai solutori.
Stefano P: "osservando le prime due terne mi sono accorto che se sottrai al numero in alto quello in basso e il risultato lo moltiplichi per 2 si ottiene il numero al centro di ogni terna. Nella terza terna quindi il numero che manca è 16, (22-14=8   8x2=16)."

Naomi R: "La relazione comune che ho trovato per scoprire il numero centrale di ciascuna terna è quella di sottrarre il primo numero al secondo e poi moltiplicare il risultato per 2.
Nella prima terna: (20-14) x 2 = 6 x 2 = 12.
Nella seconda terna: (12-10) x 2 = 2 x 2 = 4.
Nella terza terna sarà di conseguenza: (22-14) x 2 = 8 x 2 = 16 "

Serena G, della prima B, scrive: "il numero che va inserito è 16, perché addizionando la metà del numero, che si trova a metà della terna, si trova il primo numero della terna."
Non so se mi sono capito... :-D

Giada A (di nuovo della prima B) ragiona bene e arriverebbe alla risposta giusta. Purtroppo 22 meno 14 non è uguale a 6... d'accordo: ripeto spesso che il ragionamento è più importante del risultato, però non sarebbe male fare le sottrazioni con cura ;-)

Andrea G (un altro di prima B) fa il ragionamento e anche i calcoli giusti (bravo). Però scrive il tutto con un uso degli "uguali" che non riporto qui perché mi fa venire l'orticaria :-)
Bisognerà (ri)parlarne in classe.

Nicole M, di seconda B, se la cava (piuttosto bene) descrivendo la sequenza di operazioni a parole: "il numero centrale è la sottrazione dell'ultimo al primo, successivamente (il risultato) moltiplicato per due."
Poi aggiunge (ancora meglio): "facciamo perciò (22-14) x 2… il risultato è quindi 16."
Hanno consegnato fogli con risposte corrette: Alberto C, Alessandro P, Alessia V, Alice D, Anes K, Filippo S, Giacomo B, Giorgia M, Iman B, Martina D, Noemi N, Pietro DR (ma mancano ancora le spiegazioni!), Rebecca T (ma mancano spiegazioni!!).
Più di uno ha dato una risposta diversa da quella ufficialmente giusta e ha cercato di argomentarla. Molto bene, dico io! Questo è esattamente l'approccio da usare, e sono pronto a scommettere che a lungo andare, porterà buoni risultati. Anche se la risposta è sbagliata.

In effetti, quasi sempre le relazioni trovate sono un po' forzate o un po' zoppicanti, c'è qualche pezzetto che non si incastra bene con gli altri, il quadro complessivo è un tantino sfuocato. Insomma, ditelo come volete ma scommetto che quando avete scoperto la risposta giusta avete pensato: ah, certo, è facile. Questo è il criterio migliore per capire se siete arrivati alla soluzione: improvvisamente i pezzi vanno a posto, tutti.
È una bella sensazione!

Per inciso: è proprio quello che è capitato a me: ho letto il quesito e ho cominciato ad arrovellarmi. Vedevo tante strade: numeri che si ripetevano, somme, differenze, prodotti, quozienti... possibili soluzioni che poi dovevo scartare... quando, all'improvviso... la prof Giovanna mi ha mandato la soluzione. E tutto è diventato chiaro e semplice!

Ma quello che conta davvero è che nel frattempo il mio cervellino ha lavorato per un po'.

E a questo punto ci sta bene un esempio di qualcuno che ha fatto lavorare il cervello ed è riuscito a trovare una spiegazione alternativa che mi pare accettabile.
Sto parlando di Edoardo O, della seconda B, il quale scrive: "secondo me, per trovare il numero in mezzo alla terza colonna devo fare la somma del numero della prima colonna con le unità del numero della seconda colonna.
Esempi:

20+2=22

12+4=16

14+0=14


Il bello è che il risultato finale è ancora 16! Ma, se il mio cervellino sta lavorando bene, è un puro caso.


IL TERZO (ovvero 2a)

Questo quesito si è rivelato più difficile del previsto.
La grande maggioranza non ha saputo trovare una risposta accettabile. Molti non sono proprio riusciti a costruire dei triangoli che rispettassero le richieste (parallelismo e distanza). Più di uno è riuscito a individuare solo due triangoli possibili, "quello interno e quello esterno" (forse non ci hanno pensato abbastanza?). Qualcuno ne trova sette, qualcuno quattordici (forse il ragionamento era buono ma non hanno eliminato le ripetizioni?).
La grandissima maggioranza disegna dei triangoli che non oso mostrare alla prof di tecnologia, non vorrei causarle un malore.

Ma la buona notizia è che qualcuno ce l'ha fatta!
Non solo a trovare la soluzione, perfino a disegnare delle linee parallele! Perfino a disegnarle con Geogebra!! 
(Nella colonna sonora del post, qui bisogna aggiungere una musica festosa - tipo circo - il suono di qualche fuoco d'artificio in lontananza e un sospiro di soddisfazione, il mio.)

Vince il premio speciale della Giuria (io, in altre parole) come migliore risposta... Naomi R, della terza B!
Poche parole ("la risposta è 8.") ma un buon allegato Geogebra. Apro il file e vedo gli otto possibili casi ben chiari. Rivelo gli oggetti nascosti e compare una selva di linee di costruzione: rette parallele, punti su circonferenze di raggio 1...
È proprio quello che speravo
Per le solite questioni di sfondo trasparente, do una passata veloce a Photoshop ed ecco qui l'immagine di Naomi con gli otto casi possibili. Il triangolo originale è quello arancione (...bel colore), i triangoli di nuova costruzione sono quelli con contorno blu (che magari si vede poco ma c'è).

Per niente male (vogliamo assegnare un premio ex aequo?) anche la risposta di Stefano P, il quale però non allega il file geogebra. Questo mi impedisce di controllare la costruzione.

Stefano procede comunque con bell'ordine: 
Maurizio può disegnare il secondo triangolo in 4 modi (8 triangoli).

1) Disegnandolo con due lati interni e uno esterno (3 triangoli);

2) Disegnandolo con due lati esterni e uno interno (3 triangoli);

3) Disegnando tutto il triangolo all'interno;
4) Disegnando tutto il triangolo all'esterno.




Menzione d'onore per Simone S (di prima B!) il quale dà una risposta chiara e pulita. Però non ne vuole sapere di Geogebra, preferisce disegnare a mano. Ne vengono fuori dei triangoli poco equilateri e dei parallelismi un po' così...
Ma il ragionamento è proprio quello buono. Bravo, Simone.

E poi... basta, nessun altro!


IL QUARTO (ovvero 2b)

Nessuno ha inviato un buon disegno via mail.
Inserisco qui la figura originale per aiutarci a capire le risposte.

Poi via: una carrellata in ordine rigorosamente sparso delle mail con risposte buone.

Edoardo O (di seconda B) dice tutto quello che serve: "per trovare la misura dell’angolo ABE dobbiamo considerare che il triangolo BCE è isoscele perché i lati BC e EC sono congruenti. Perciò i due angoli alla base sono congruenti.
L’angolo BCE è 80 + 60 (angolo di un triangolo equilatero) = 140°
Posso ora trovare l’angolo CBE che è uguale a BEC, perché appartengono a un triangolo isoscele. Quindi bisogna fare (180°-140°) : 2 = 20°
Per trovare ABE dovrò fare la differenza tra l’angolo ABC (appartenente al triangolo equilatero, per cui misura 60°) e l’angolo EBC. 60°-20°=40°"

Stefano P, discorsivo ma chiaro ed essenziale: i triangoli equilateri hanno tutti gli angoli uguali e dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, ogni angolo è di 60° (180° : 3 = 60°). 
Posso quindi calcolare la misura dell'angolo BCE che è di 80° + 60° =  140°.
Il triangolo ECB è un triangolo isoscele perché due dei suoi lati sono formati da due triangoli equilateri congruenti, ed essendo l'angolo BCE di 140°, gli angoli EBC e BEC sono entrambi (180°-140°):2=20°.
A questo punto si può calcolare l'angolo ABE che è 60°-20° = 40°.

Andrea G è più stringato, forse un filo troppo. Considerato che Andrea è in prima B, mi pare una risposta di buona qualità: è 40° perché:
angolo ABE = ABC-EBC
angolo ABC = 60°
angolo BCE = 80° + 60° = 140°
angolo EBC = (180°- BCE) : 2 = (180°-140°) : 2 = 20°
angolo ABE = 60°-20° = 40°

Naomi R (terza B) è ancora più stringata:angolo ACB=180° : 3 =60°
angolo BCE = 80° + 60° = 140°
angolo CBE = angolo BEC = 180°-140°):2=20°

angoloABE = angoloABC - angolo CBE = 60°- 20° = 40°

Nicole M dichiara di aver fatto un disegno con Geogebra che però non ha saputo esportare. Poi si lancia in un'articolata spiegazione a parole. Il risultato è corretto ma io ho esaurito tutte le mie energie per aprire il suo file .pages e non ho la forza di interpretare le sue frasi. Le credo sulla fiducia.

Passiamo alle risposte arrivate via carta e penna.

Alberto C, Alessia V, Alice D, Anes K, Giorgia M, Giulia DM, Moris N, Riccardo B riescono a costruire una "dimostrazione" ragionevole.
Qualcun altro (ad esempio, Paolo M, Lorenzo Z, Simone S) arriva alla soluzione esatta ma qualche passaggio del loro ragionamento non è ben giustificato, quindi non si può accettare. Cercheremo di chiarire meglio in classe.

Ecco.
Arrivato in fondo, ho la sensazione spiacevole di aver dimenticato qualcosa, qualcuno.
Ma ormai è proprio ora di pubblicare le nostre risposte. Se qualcuno è rimasto tagliato fuori non si arrabbi troppo, basta farmelo notare e vedrò di integrare il post. Prometto.

Ma c'è un'altra questione che rimane in sospeso.
La sfida. L'abbiamo vinta o persa?
Difficile dirlo, magari possiamo puntare a un buon compromesso e sostenere che hanno vinto tutti quelli che ci hanno provato con impegno vero.
Sono sicuro che anche la prof Giovanna sarebbe d'accordo nel dire che ha vinto perfino chi ci ha provato (con impegno vero, insisto) e non è riuscito a trovare una soluzione valida.

A proposito: GRAZIE alla prof Giovanna per averci offerto un'altra occasione per pensare (con impegno vero, l'ho già detto?).

Il guaio è che adesso tocca a me proporre qualche nuovo gioco. E al momento non ho idea di cosa fare!
Ma tant'è, appena avrò messo insieme dei quesiti decenti li pubblicherò. E... sarà mica matematica 43.

venerdì 3 febbraio 2017

(Ec)citazione: chi è sciocco



Non è sciocco chi non sa quanto piuttosto chi non vuole sapere..
Grigorij Skovoroda

Ho trovato questa frase su un manuale di scacchi (un manuale per ragazzi, adatto proprio al mio livello...). Mi è sembrata perfetta. Non solo per gli scacchi.