sabato 29 aprile 2017

Sarà mica matematica 44, le soluzioni

La fine è vicina.
Ma non c'è da aver paura: è solo la fine dell'anno scolastico.

Direte: è una buona notizia! Sì, non tento nemmeno di negarlo ma sono pronto a scommettere che ogni insegnante vi dirà anche che c'è ancora molto da fare per poter chiudere l'annata in serenità. Molto, molto da fare!
Dunque non perdiamo tempo e vediamo le soluzioni ai giochi di Sarà mica matematica 44. Poi bisognerà dedicarsi a verifiche, voti e tutta quella roba lì.


1. CONTARE FINO A ZERO

Due persone sono riuscite a dare una soluzione corretta e chiara, sono Stefano P e Naomi R, entrambi di terza B.
Stefano P scrive: il risultato ha due zeri perché è un numero moltiplicato per 100. Scomponendo in fattori primi il risultato si ha: $$2^{8}\cdot3^{4}\cdot5^{2}\cdot7$$quindi posso scriverlo come $$2^{6}\cdot3^{4}\cdot7\cdot2^{2}\cdot5^{2}$$
ma gli ultimi $$2^{2}\cdot5^{2}$$
sono $$2\cdot5\cdot2\cdot5$$
cioè $$10\cdot10$$
cioè $$100.$$

Se moltiplico ancora per 5 il numero risultante, formerò un'altra coppia di fattori 2 x 5 con uno degli altri 2 e quindi il numero sarà moltiplicato ancora per 10 e avrà uno zero in più.

Naomi R invece dice: parto da $$1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10$$
Scomponendo in fattori primi ottengo:
$$2^{8}\cdot3^{4}\cdot5^{2}\cdot7$$
Poiché so che i risultati delle potenze di 10 si ottengono scrivendo dopo l’unità tanti 0 quanti ne indica l’esponente e qui devo capire quanti zeri avrà il mio risultato, cerco di vedere quante potenze di 10 posso ottenere:
$$(5\cdot2)^{2}\cdot2^{6}\cdot3^{4}\cdot7 = 10^{2}\cdot2^{6}\cdot3^{4}\cdot7 = …$$
con 2 zeri finali.

Se moltiplico per un altro 5 avrò: 
$$2^{8}\cdot3^{4}\cdot5^{3}\cdot7$$
quindi
$$(5\cdot2)^{3}\cdot2^{6}\cdot3^{4}\cdot7 = 10^{3}\cdot2^{6}\cdot3^{4}\cdot7 = …$$
con 3 zeri finali.

Altri ci sono andati vicini ma non sono riusciti a spiegare fino in fondo, le loro risposte richiederebbero ancora un po' di lavoro di scavo.

Ne è un esempio Giada A, di prima B. La sua risposta va interpretata alla luce degli esercizi di fattorizzazione che abbiamo svolto in classe. Scrive Giada: la risposta è due perché se voglio scomporre un numero composto in numeri primi, togliendo ogni volta i due zeri finali, per comodità in questa situazione serve scomporre 3628800 (che è il risultato della moltiplicazione 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10) per 2 alla seconda per 5 alla seconda (cioè 100).

Oppure anche Edoardo O, di seconda B: La moltiplicazione termina con due zeri, perché uno è dovuto al 10 finale della moltiplicazione e l’altro al 5 (nella tabellina del 5 si alternano numeri con lo 0 e numeri con il 5 a seconda di quanto si moltiplica) [...e quando si otterrà uno zero?, chiedo io].
Lo stesso succede quando la moltiplicazione termina con tre zeri, perché 403200 x 5 è come moltiplicare 200 x 5 (numero pari per 5) [...e quando si ha un numero pari?, chiedo io].

Gli altri aspiranti solutori fanno magari osservazioni interessanti ma si mantengono lontani dallo spiegare il "perché". Cito ad esempio la mail di Rachele C (prima B): la risposta è 2 zeri perché se calcolo 1x2x3x4x5x6x7x8x9 il risultato è 362.880. Poi aggiungo x10 e si aggiunge un altro zero. [...perché?]


2. SOVRAPPOSIZIONI

Cominciamo con la risposta di Naomi R, di terza B, che allega questa figura
e spiega: inizio trovando la somma delle aree di tutti i quadrati e, per farlo, sommo all'area totale arancione le aree azzurre moltiplicandole per 2 perché la parte azzurra 1 fa parte sia del quadrato a che del quadrato c, la parte azzurra 2 fa parte sia del quadrato c che del quadrato b e la parte azzurra 3 fa parte sia del quadrato a che del quadrato b; quindi: 

$$A_{totale}=63cm^{2}+(1cm^{2}\cdot2)+(2cm^{2}\cdot2)+(3cm^{2}\cdot2)=75cm^{2} $$

Poi trovo l’area di un solo quadrato:

$$A_{quadrato}=75cm^{2}:3=25cm^{2}$$

E, infine, applico la formula per trovare il lato del quadrato:

$$l_{quadrato}=\sqrt{25cm^{2}}=5cm$$

Stefano P, anche lui di terza B: per trovare la lunghezza di un lato dei quadrati devo prima trovare l'area di un quadrato. Per trovarla posso dividere per tre l'area totale di tutti e tre i quadrati. L'area totale è la somma delle parti arancioni con i quadrilateri azzurri moltiplicati per due, perché sono le parti sovrapposte e quindi doppie. Faccio quindi
$$(63cm^{2} + (1cm^{2} + 2cm^{2} + 3cm^{2})\cdot2) : 3 = 75cm^{2} : 3 = 25cm^{2}$$
Adesso, per trovare la lunghezza di un lato, faccio
$$\sqrt{25cm^{2}}=5cm$$


Edoardo O, di seconda B: Per sapere quanto è lungo un lato di un quadrato bisogna moltiplicare per due le misure azzurre (perché sono sovrapposte).Quindi bisogna aggiungere la somma delle aree arancioni, poi bisogna dividere il tutto per tre e infine fare la radice quadrata del risultato.

Area di un quadrato = (63 cm quadrati + 6 cm quadrati x 2) : 3 =
(63 cm quadrati + 12 cm quadrati:)3 =
75 cm quadrati : 3 = 25 cm quadrati

Lato di un quadrato = radice quadrata di 25 = 5 cm

Andrea G, di prima B: le somme delle aree dei tre quadrati è uguale a area quadrato uno + area quadrato due + area quadrato tre, quindi è uguale a 63 + (1+2) + (2+3) + (3+1) = 75.
L'area di un quadrato è uguale a 75:3=25
Quindi 25 = lato per lato.
Per la regola della scomposizione in primi, 25 è divisibile per 5 quindi 25 : 5 = 5
Quindi il lato è 5.

Una qualche unità di misura non avrebbe sfigurato ma il ragionamento funziona.
Come è normale che sia, in prima media, Andrea non conosce bene le radici quadrate. Ciononostante riesce a scoprire la misura del lato del quadrato, anche se in maniera un po' rocambolesca. Apprezzo molto il tentativo di sfruttare le conoscenze apprese a lezione (qui al scomposizione in fattori primi c'entra forse poco ma pazienza).

Rispondono correttamente anche Alessandro P, di prima B, e Giulia DM e Sara C, entrambe di seconda B.


3. LOGICA PER TERZINI

Il quesito sembra aver riscosso un certo successo di pubblico. Forse perché non sembra molto matematica, chissà.
Lasciamo la parola ai solutori, che probabilmente hanno fatto un po' di matematica senza accorgersene. :-)

Andrea G: Astolfo dice che lui e Asdrubale sono della famiglia dei bugiardi.
Chi fa parte della famiglia dei sinceri può dire solo la verità quindi l'affermazione di far parte della famiglia dei bugiardi non può essere fatta da uno che dice la verità.
Quindi Astolfo fa parte della famiglia dei bugiardi.
Ma essendo membro di questa famiglia non dice mai la verità, quindi non è vero che entrambi fanno parte della stessa famiglia.
Asdrubale deve essere membro della famiglia dei sinceri.


Stefano P: Astolfo non può essere della famiglia Sinceri perché quella famiglia dice sempre la verità e lui ha detto che è della famiglia Bugiardi. Quindi è della famiglia Bugiardi e dato che quella famiglia non dice mai la verità vuol dire che Asdrubale è della famiglia Sinceri (infatti lui dice che sono ENTRAMBI della famiglia Bugiardi ma non può essere vero).

Naomi R: Astolfo dice: “siamo entrambi della famiglia bugiardi”. Se fossero entrambi della stessa famiglia il quesito non si potrebbe risolvere perché:
  • Non possono aver detto la verità poiché, se realmente fossero della famiglia bugiardi, dovrebbero mentire.
  • Non possono aver detto una bugia perché se appartenessero alla famiglia sinceri dovrebbero dire solo la verità. 
L’unica soluzione è dire che fanno parte di due famiglie diverse:
  • Astolfo fa parte della famiglia bugiardi perché, avendo detto che lui e Asdrubale facevano parte della stessa famiglia, si rivela bugiardo.
  • Asdrubale fa parte della famiglia sinceri perché, non avendo parlato, non possiamo sapere se dice bugie o verità, ma siccome non può fare parte della stessa famiglia di Astolfo, per forza farà parte della famiglia sinceri.
Edoardo O costruisce un ragionamento che ha senz'altro qualcosa di valido anche se la sua spiegazione non mi pare del tutto convincente: per scoprire di che famiglia è Astolfo bisogna prendere in considerazione la frase che dice: ”Siamo entrambi della Famiglia Bugiardi”. 
Da questa frase si può capire tutto perché Astolfo dice “Entrambi” e con questo si deduce che Astolfo faccia parte della Famiglia dei Bugiardi e, visto che Asdrubale non parla, si può dire che sia della famiglia Sinceri.

Tra gli amanti della carta rispondono bene (che significa "spiegano in maniera corretta e più o meno comprensibile"): Alberto C, Giorgia M, Giulia DM, Iman B, Irene T, Noemi N, Paolo D, Paolo M, Sara C, Simone S.
Danno una risposta giusta ma priva di spiegazioni (che è un po' come dire "non rispondono"): Alessia P, Giada A, Lorenzo Z, Rachele C.


Se non ho dimenticato qualcosa o qualcuno, siamo proprio siamo arrivati alla fine (di questi giochi).
La parola fine mi ricorda di quello che dicevo all'inizio (del post): la fine (dell'anno scolastico) è vicina ma c'è ancora molto, molto da fare!
Il che significa che questa puntata di Sarà mica mate segna probabilmente la fine (della nostra stagione di giochi matematici).
Non è ancora il momento di salutare, però: ci sarà modo di farlo più avanti.

FINE

sabato 1 aprile 2017

Sarà mica matematica 44

Volevo fare tante belle cose.
Volevo costruire qualche quesito particolare, volevo magari farne un filmatino, volevo preparare un'immagine animata. Ma qui il tempo passa ed è ora di pubblicare qualche gioco nuovo.

Allora eccolì qua.
Non saranno troppo originali e sono messi lì senza fronzoli. Ma tutto sommato mi sembrano buoni.
Diciamo che hanno un ottimo rapporto qualità/prezzo!


1. CONTARE FINO A ZERO

È un quesito che mi pare di aver già sentito parecchie volte. Ma lo propongo perché mi sembra fatto apposta per i primini.
E così ho dato anche un bel suggerimentone proprio ai ragazzi di prima: di cosa stiamo parlando in aritmetica, in questi giorni? Ecco, io ragionerei proprio con la scomposizione in fattori primi.

Passiamo al quesito.
Prendiamo i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.
Li moltiplichiamo tutti tra loro.
Il risultato sarà un numero che terminerà con... quanti zeri?


AGGIORNAMENTO

Devo precisare un dettaglio che un dettaglio non è.
È fin troppo chiaro che la risposta si può trovare con una semplice moltiplicazione. Stavolta più che mai, però, il vero obiettivo non è trovare la risposta, l’obiettivo è capire (e spiegare) perché la risposta è proprio quella!

Anzi, sapete cosa vi dico? Esagero! La soluzione ve la do io!
La risposta è DUE.
Perché?
E perché se moltiplico il risultato per un altro 5, la risposta diventa TRE?

Ecco, adesso il quesito mi pare davvero completo.
Grazie mille alla prof Giovanna per avermi fatto notare il dettaglio che un dettaglio non è! :-)


2. SOVRAPPOSIZIONI

Tre quadrati congruenti sono sovrapposti a due a due, come nella figura.

L'area totale delle superfici non sovrapposte, ovvero quelle arancioni, è 63 cm2.
I quadrilateri azzurri hanno area 1 cm2, 2 cm2 e 3 cm2.
Quanto è lungo il lato dei quadrati?

Aggiungo una postilla che diventa un altro suggerimentone: i primini potrebbero avere qualche difficoltà con le radici quadrate. Allora per loro la domanda può diventare: quanto è l'area di ciascun quadrato?


3. LOGICA PER TERZINI

Qualche giorno fa in terza B abbiamo sottratto del tempo allo svolgimento del programma (siccome siamo già avanti...!).
Lo abbiamo usato per discutere un po' su un giochino di logica proposto da Pietro B. Aveva a che fare con le porte del paradiso e dell'inferno e con due strani personaggi, uno sempre bugiardo, l'altro sempre sincero.

Voglio rincarare la dose con quest'altro quesito.

Abbiamo a che fare con due famiglie. Ci si può fidare dei membri della famiglia Sinceri: dicono SEMPRE la verità. Ma ci si può fidare anche dei membri della famiglia Bugiardi: non dicono MAI la verità!
Ora, incontro due personaggi: Astolfo e Asdrubale. Astolfo dice: "siamo entrambi della famiglia Bugiardi".
Di che famiglia è Astolfo? Di che famiglia è Asdrubale?

Piccola precisazione: il titolo fa riferimento ai terzini ma il quesito è rivolto a tutti, eh.

E così chiudiamo questa puntata di Sarà mica mate.
Resta solo da stabilire un termine per la consegna delle risposte. Vogliamo fare entro mercoledì 19 aprile, al rientro dalle vacanze di Pasqua?

mercoledì 29 marzo 2017

Due a settimana..._18, le nostre soluzioni

Ce l'ho fatta!
Ho corretto tutte le risposte ai quesiti che la prof Giovanna ci aveva proposto in Due a settimana..._19.
Non è che fossero poi tante risposte, è che io ero in troppi altri impegni impegnato.
Ma ce l'ho fatta, mi faccio i complimenti.

Si parte? Si parte!

IL PRIMO

Cominciamo con la risposta di Andrea G (di prima B):

A+B+A=BC
B+C=B quindi C=0
A+B+A=B0
La somma di tre numeri ad una cifra è inferiore a 30.
Quindi B0 potrà essere il numero 10 oppure il numero 20.
Quindi B potrebbe essere 1 oppure 2.
Se B fosse 1 allora A+1+A=10 quindi A+A=10-1=9 quindi non possibile perché 9 non è divisibile per due.
Allora B=2, difatti A+2+A=20 quindi A+A=20-2=18 quindi A=18:2=9.
La cifra che corrisponde alla lettera A è 9.


Stefano P, di terza B, ragiona in modo molto simile:
Se sommando le cifre di bc ottengo b vuol dire che c vale 0 perché b + 0 = b.
Per sapere quanto vale la lettera a posso prima scoprire quanto vale la b.
Se bc è un numero di due cifre che finisce per 0 ed è il risultato della somma di tre cifre, allora non può essere 10, perché l'unico modo per fare 10 con dei numeri naturali positivi è 3 + 4 + 3 (a + b + a), ma la b non viene 1 quindi non è giusto.
Il numero massimo che si può fare sommando tre cifre è 27, quindi escludendo 10, bc deve essere per forza 20.
Per fare 20 con aba ho trovato la combinazione 929. Dunque la cifra rappresentata dalla lettera a è 9.

Naomi R, anche lei di terza B, sceglie una strada luunga! Dichiara innanzitutto la soluzione, poi spiega. Confesso che ci ho messo un po' a capire, poi sono stato tentato di modificare per rendere più chiaro, poi ho preferito sopravvivere e lascio ai lettori l'onere (e onore, certo) della comprensione.
:-D
A=9      B=2      C=0
Innanzitutto, per far sì che B+C=B, C deve avere un valore neutro, quindi 0.
Sapendo che la somma A+B+A dà come risultato BC e supponendo che A abbia un valore compreso tra 1 e 9 e che B abbia un valore tra 0 e 9
(perché A non possa valere 0 non è dichiarato ma si può intuire: i numeri non cominciano con la cifra 0), sommo A a B facendo in modo che la somma dia un numero di due cifre (tra parentesi ho riportato il risultato che si ottiene sommando a un certo valore di A un certo valore di B):
1 B 1; B= 8 (10); 9(11)
2 B 2; B= 6 (10); 7(11); 8(12); 9(13)
3 B 3; B= 4 (10); 5(11); 6(12); 7(13); 8(14); 9(15)
4 B 4; B= 2 (10); 3(11); 4(12); 5(13); 6(14); 7(15); 8(16); 9(17)
5 B 5; B= 0 (10);1(11); 2(12); 3(13); 4(14); 5(15); 6(16); 7(17); 8(18); 9(19)
6 B 6; B= 0 (12);1(13); 2(14); 3(15); 4(16); 5(17); 6(18); 7(19); 8(20); 9(21)
8 B 8; B= 0 (16);1(17); 2(18); 3(19); 4(20); 5(21); 6(22); 7(23); 8(24); 9(25)
9 B 9; ?= 0 (18);1(19); 2(20); 3(21); 4(22); 5(23); 6(24); 7(25); 8(26); 9(27)

Poi elimino tutti i numeri che non hanno la cifra sommata delle B uguale alla prima cifra del risultato, ottenuto sommando A+B+A. rimangono quindi:
5 B 5; B= 1(11)
6 B 6; B=1(13)
8 B 8; B=1(17)
9 B 9; B= 1(19); 2(20)
Infine,l’unico numero che ha come cifra finale 0 è 20 quindi:
A+B+A=B+C 9+2+9=20
B+C=B 2+0=2


Rachele C, di prima B, un po' ragiona, un po'... no :-):
Per trovare le lettere a, b, c sono partita cercando la lettera b.
Dato che sommando le cifre di bc ottengo il numero di una cifra b, sono sicura che la lettera c sia uguale a zero: b + c = b quindi c = 0
A questo punto b potrebbe essere un numero da 1 a 9.
Sono andata a tentativi e ho capito che b può essere uguale solo a 2.
Ma non è chiaro perché (NdP, ovvero Nota del Prof).
b=2 bc=20
Poi so che a+b+a=bc
Quindi bc-b=2a 20-2=18
Quindi a=18:2=9

Mi piace in particolare la penultima frase, che mostra una certa abilità algebrica. Conto che Rachele la tiri fuori quando arriveremo al calcolo letterale e alle equazioni!

Nicole M, di seconda B procede per tentativi, che è pur sempre una possibilità. Scrive: la risposta che trovo è 929, dopo una serie di tentativi applicando la stessa logica è l’unico che rispetta le regole.

Giada A, di prima B, è molto simpatica e un pizzico confusionaria: manda una mail con una risposta, poi ne manda un'altra, con oggetto "HO SBAGLIATOOO", in cui sostiene di aver scritto una "cavolata assurda". Leggo entrambe le mail e mi pare siano uguali nella sostanza. Però obbedisco a Giada che mi intima: NON GUARDI QUELLA PRIMA, è SBAGLIATISSIMA. Copio e incollo il testo della seconda mail:
ABC può essere diversi numeri : 920, 926,925,924,923... per trovare A ho pensato il numero più vicino al 10 che è 9 poi, per trovare BC, ho messo tutti i numeri sotto il 9 che sommati venivano B.

Su carta, rispondono (più o meno) correttamente ma in maniera secca, senza spiegazioni esaurienti: Alberto C, Alice D (per tentativi), Christian&Edoardo (per tentativi), Emma C, Giorgia M, Iman B, Lorenzo Z, Matilde & Paolo D, Noemi N.
Raccontano un po' di più: Simone S (un po' di ragionamento e un po' di tentativi), il solito Anonimo (spiega il procedimento in 3 passi ma non è che siano chiarissime tutte le ragioni di tali passi), Riccardo R, Pietro B (giustifica il primo passo, ma non il seguito).


IL SECONDO

Si è rivelato un avversario ostico. Molti ci hanno rinunciato in partenza e molti sono caduti provando. Ma è cadendo e rialzandosi che si impara a camminare...

Si partiva da questa figura e si chiedeva la misura del contorno a tratto spesso.

La risposta di Stefano P (terza B): se sommo i perimetri del rettangolo grande più quello dei tre piccoli, devo togliere dal totale le linee sottili non evidenziate. 
Se guardo il rettangolo con centro in A, le righe sottili sono il suo semi perimetro, perché sono lunghe come due suoi mezzi lati corti e due suoi mezzi lati lunghi. Le linee sottili sono quindi la metà del perimetro del rettangolo piccolo. 
Questo ragionamento lo applico anche agli altri due rettangolini.
Dalla somma dei perimetri devo togliere quindi metà del perimetro dei rettangoli piccoli: 30cm + (20cm : 2) = 40cm.

Andrea G (prima B): per trovare quanti centimetri è lungo il contorno disegnato a tratto spesso bisogna prima trovare quanto è la somma dei lati disegnati con tratti fini.
La somma dei lati con tratti fini è uguale alla somma dei perimetri dei tre triangoli piccoli diviso per due, quindi = 20:2=10 cm.
[Non è chiaro perché, una spiegazione ci sarebbe stata bene]
La parte disegnata con tratti fini del rettangolo grande è lunga la metà della somma dei lati dei tre mini rettangoli con tratti fini, quindi è 10:2=5 cm.
Quindi la lunghezza della parte con tratti spessi del rettangolo grande è uguale a 30-5=25 cm.
La lunghezza dei lati disegnati con tratto spesso dei tre rettangoli piccoli è uguale a 20-5= 15 cm.
Quindi tutto il contorno disegnato con tratti fini è uguale a 25+15=40 cm.

Edoardo O (seconda B):
Per trovare il perimetro del tratto rosso marcato:
-devo togliere dal perimetro dei rettangoli annessi al rettangolo grande ¼
[anche qui: una piccola spiegazione avrebbe giovato.]
- ¼ x 20cm= 5cm
- 20cm-5cm=15cm
-devo togliere la stessa misura dal perimetro del rettangolo grande
- 30cm-5cm=25cm
-adesso devo sommare: 25cm+15cm=40cm.

Naomi R (terza B) allega un'immagine (e stavolta rinuncio a togliere lo sfondo bianco ma solo per questioni di tempo)

E spiega: 

2pABCD=30cm
2ptot rettangolini=20cm

20cm= 2a+2b+2c+2d+2e+2f  => 20cm=2(a+b+c+d+e+f) => 20cm x 1/2 = a+b+c+d+e+f  =>  a+b+c+d+e+f=10cm

AX è uguale alla metà di a e XK è uguale alla metà di b e applicando questo ragionamento anche per gli altri due rettangolini, ottengo che:

2ptotale= 30cm + (a+b+a/2+b/2-a/2-b/2)+(c+d+c/2+d/2-c/2-d/2)+(e+f+e/2+f/2-e/2-f/2)= 30cm +(a+b+c+d+e+f).
Quindi, poiché a+b+c+d+e+f=10 cm, =>2ptotale= 30cm +10cm = 40cm

Tra chi ha scelto di consegnare su carta ha risposto bene Anonimo (sempre lui, o forse lei, chissà), Noemi N (spiegazione da migliorare ma il ragionamento c'è), Pietro B, Riccardo R, Simone S.

IL TERZO

I primini erano esentati da questa fatica: serve il teorema di Pitagora e loro non lo conoscono ancora, come è normale che sia. Invece ne abbiamo già piuccheparlato in terza e in seconda.

Questo è un classico quesito da prova Invalsi, ci offre l'occasione per allenarci ma anche per guardare un po' più da vicino quello strano mostro che chiamano "L'Invalsi".
Potremmo discutere a lungo sul valore di quelle prove ma non lo faremo. Magari un'altra volta. Resta il fatto che la prova Invalsi è una realtà: bella o brutta, ci tocca. Facciamola al meglio, io dico.

Uno degli aspetti da considerare è il tempo. Alcune risposte si possono trovare in trenta secondi oppure in cinque minuti. La prima alternativa è meglio, in genere. Seguire la strada più breve consente di controllare meglio i propri passi e lascia più tempo per le altre domande.

Ecco, anche il nostro quesito è di questo tipo. Non ha particolari difficoltà di ragionamento, il procedimento è piuttosto chiaro. Si può arrivare alla soluzione per la via da cinque minuti, allora si applicherà il teorema di Pitagora nel modo canonico con tutti i pezzetti al loro posto. La strada da trenta secondi richiede di uscire dalla modalità "faccio il compitino" per entrare in quella "uso al meglio le competenze che mi sono costruito".
A parte queste considerazioni, entrambe le strade portano alla risposta, quindi vanno bene.

Stefano P riesce ad attivare la modalità "uso al meglio eccetera" e percorre la strada da trenta secondi:
per trovare la misura della superficie dove ci saranno i pannelli solari devo prima calcolare il lato inclinato. Misura 5m perché se i due cateti del triangolo rettangolo misurano 3m e 4m la terna pitagorica (questo è il punto chiave!) è 3m 4m e 5m. Adesso posso calcolare la misura della superficie facendo 5m X 3,2m = 16m2.

Tutti gli altri hanno scelto la strada lunga.
Le risposte sono tutte simili, ne faccio una sintesi sfruttando principalmente le frasi di Edoardo O. Userò anche la figura di Nicole M, perché il colore del tetto mi piace, ecco.
Per trovare la superficie che ospita i pannelli solari:
  • devo utilizzare il teorema di Pitagora per trovare l'ipotenusa del triangolo, cioè il lato della superficie dei pannelli;
  • radice quadrata di 4 cm alla seconda + 3cm alla seconda= radice quadrata di 16cm quadrati + 9cm quadrati= radice di 25cm quadrati= 5cm;
  • ora moltiplico la misura del lato obliquo x 3,2cm;
  • 5cm x 3,2cm = 16cm quadrati.
Ecco l'elenco degli altri solutori.
Per la seconda B: Alberto C, Alessia P, Alice D, il solito Anonimo (sempre ammesso che sia di seconda!), Edoardo&Christian, Giorgia M, Ivan Z, Martina D, Matilde & Paolo D, Nelson R, Nicole M, Nihad K,
Per la terza B: Pietro B, Riccardo R. Naomi R fa tutto per bene ma alla fine calcola il perimetro anziché l'area.

Bene, sono riuscito anche a concludere questo post. Mi faccio i complimenti un'altra volta; chissà che aiuti la mia autostima.
Aggiungo anche i complimenti a tutti quelli che hanno risposto e a quelli che ci hanno provato con impegno.
Ringrazio la prof Giovanna per averci dato un'altra occasione per pensare e (speriamo!) imparare qualcosa in più.

Mi resta solo da dare l'appuntamento per i prossimi giochi di Sarà mica matematica. Ma non so proprio quando riuscirò a pubblicarli!
Prossimamente, può andare bene?
È una promessa.

giovedì 9 marzo 2017

Due a settimana..._19

Sostiene la prof Giovanna che lei ed io fingiamo di essere in ritardo per concedere più tempo di riposo tra una puntata e l'altra.

Bella idea!

Mi piace tanto che ormai io ritardo non solo con le soluzioni ma perfino con i nuovi giochi: già da lunedì la prof ha pubblicato la nuova puntata di Due a settimana... e solo ora io arrivo con questo post di rimando.

Ecco qui un paio di immagini che, appunto, vi rimandano all'articolo originale.


http://matematicamedie.blogspot.it/2017/03/due-settimana-19.html
http://matematicamedie.blogspot.it/2017/03/due-settimana-19.html
Come al solito non sto a ripetere qui le domande. Cliccate sopra una qualunque delle due immagini e potrete leggere (con attenzione, mi raccomando!) le parole della prof stessa.

Aggiungo solo tre precisazioni:

  1. i quesiti sono belli e difficili il giusto, chi non prova a risolverli e un vero babbano;
  2. leggete BENE le domande, curate le spiegazioni, prestate attenzione al linguaggio che usate, quello matematico e quello italiano;
  3. le risposte vanno consegnate (via mail, via foglio cartaceo, via strillèttera, vedete voi) entro lunedì 20 marzo 2017.
Buoni ragionamenti a tutti e GRAZIE! alla prof Giovanna.


domenica 5 marzo 2017

Sarà mica matematica 43, le soluzioni

Da una settimana cerco una buona frase per iniziare questo post. Un incipit che catturi il lettore e lo invogli a continuare a leggere.
Ma morire se mi viene in mente qualcosa di valido. Quindi ci rinuncio, lascio le ciance e passo subito alle risposte, che è quello che ci interessa qui.
Le domande a cui rispondiamo sono quelle di Sarà mica matematica 43.
I quesiti erano tre (anzi quattro).

IL PRIMO

Le soluzioni possibili sono parecchie, vediamo quelle che sono arrivate, in ordine sparso.
Si tratta di risposte con poche parole - spesso nessuna - e tante immagini. Non male quelle un po' sbilenche, evidentemente costruite con sistemi artigianali, per così dire.

Stefano P invia la figura qui sotto e precisa che "si può anche ruotare la figura ottenendo altre 3 combinazioni più altre 4 speculari."



Naomi R propone altre due soluzioni, che in effetti sono una sola cui è stata applicata una riflessione.



Rachele C. Bello l'effetto artistico dato dall'irregolarità di cerchi e linee: un po' come un incrocio tra un'opera di Mirò e una di Mondrian, con un'interessante suggestione di mal di mare. :-D


Nicole M. Come non apprezzare lo sfondo rosso e i dischetti litici ed ellittici con tanto di ombreggiatura?


Andrea G. Anche qui, apprezzabili i dischetti a forma di quadrato smangiato. La disposizione "a freccia" è stata quella più gettonata in assoluto.


Giada A è stata la prima a inviare una soluzione valida.

Le soluzioni buone sono ancora di più. Per dare un'idea delle possibilità ne pubblico almeno una scelta tra quelle arrivate su carta.

Quella di Nelson R.


Gli altri che hanno consegnato soluzioni su carta sono: Alice D, Alunno Ignoto (almeno uno c'è sempre), Alunno Ignoto (un altro!), Alessia P, Anes K, Christian L, Daniele S, Dennis A, Edoardo D & Christian G, Edoardo O, Gaia B, Giorgia M, Irene T, Lisa S, Leonardo R, Lorenzo Z, Matilde e Paolo D, Mattia G, Michele P (il quale azzarda anche alcuni ragionamenti generali: bene così, Michele, anche se le tue affermazioni non sono del tutto corrette), Nihad K, Noemi N, Rebecca T, Simone S che trova ben otto soluzioni! (anche se a ben vedere sono due diverse, con rotazioni di 90°).


IL SECONDO

Cominciamo con una sequenza di risposte dei primini.

Ecco quella di Andrea G, ad esempio.

l triangolo BCE è un triangolo isoscele, quindi l'angolo CEB è uguale a CBE che è uguale a 70°.
L'angolo BCE è uguale a 180°- (70°+70°) = 40°.
Tutti gli angoli di un quadrato sono di 90°.
BCE=ECG=90°
DCE è uguale ha 360° meno la somma degli angoli BCD,ECG,BCE.
DCE=360°- (90°+90°+40°) = 140°


Oppure la risposta sintetica ma abbastanza chiara di Rachele C.

L’angolo DCG misura 140°.
Sono riuscita a calcolarlo trovando prima l’angolo BCE che misura 40° (180°-70°-70°=40°).
Sapendo che gli angoli DCB e GCE misurano ognuno 90° ho calcolato DCG facendo 360°-90°-90°-40°=140°

Oppure ancora quella di Giada A.

L' angolo DCG misura 140° perché l'angolo BCE misura 40° (spiegazione un po' incompleta, preciso io). Gli angoli GCE e DCB misurano tutti e due 90° perché la misura complessiva degli angoli dei quadrati è 360° (e i quattro angoli sono congruenti, aggiungo io). Quindi 40° + 90°+ 90° fa 220° . Se si sottrae 220° da 360° (la misura dell'angolo C) fa 140°.

Più articolata, ma identica nella sostanza, la risposta di Serena G (sempre di prima B):

L'angolo DCG misura 140° perché, sapendo che [gli angoli interni di] un triangolo misura[no] in totale 180° e l'angolo CBE misura 70°, l'angolo CEB è congruente all'angolo CBE (perciò misura anche lui 70°), quindi l'angolo BCE misura 40°.
Ora, sapendo che ogni angolo del quadrato misura 90°, bisogna sommare l'angolo BCE, l'angolo DCB e l'angolo GCE, cioè 220° in totale.
Sapendo anche che l'angolo giro misura 360°, facendo 360°-220°, si ottiene 140°, cioè la misura dell'angolo DCG.

Passiamo al secondino Mattia C, che scrive:

Sapendo che l' angolo B è 70 gradi, l'angolo E è 70 gradi. Calcolando che la somma degli angoli interni è 180 gradi, l'angolo C interno misurerà 40 gradi, infatti (180-70 x 2)= 40.
Visto che la somma degli angoli opposti adiacenti è 180, l'angolo DCG si ottiene facendo (180-40)=140
Quindi DCG è uguale a 140 gradi.

Chiudo tutti gli occhi che ho a disposizione sulla terminologia (angoli opposti adiacenti?), sulla mancanza quasi assoluta di unità di misura, sulla scarsa precisione nell'indicazione degli angoli (qual è l'angolo C, ad esempio?)... Mi accontento del fatto che il ragionamento si capisce e sta in piedi.

Concludo la rassegna delle risposte arrivate via mail con un paio di terzini. Tutto sommato mi resta la sensazione che tre anni di insistenza lascino qualche buona traccia. A volte.

Naomi R imposta e risolve il problema come se fosse... un vero problema, con tanto di dati e passaggi risolutivi

Angolo CBE= 70°
Angolo DCG=?

Angolo DCB=90°
Angolo DCB+Angolo GCE+BCE+DCG=360°
Angolo BCE=180°- (Angolo CBE X 2)= 180°-(70° X 2)= 40°
Angolo DCG=360°- (GCE+DCB+BCE)=360°- (90°+90°+40°)=140°

Stefano P sceglie un'impostazione più narrativa ma riesce ad essere ugualmente preciso e rigoroso. 

Se l'angolo CBE è 70° anche l'angolo CEB è 70° perché il triangolo BEC è isoscele dato che due lati sono anche lati di due quadrati congruenti, quindi l'angolo BCE è 40° (180° - 70° - 70° = 40°). Adesso posso calcolare l'angolo DCG togliendo all'angolo giro in C i due angoli dei quadrati e l'angolo BCE (360° - 90° - 90° - 40° = 140°). L'angolo DCG misura quindi 140°.

Hanno consegnato fogli di carta con soluzioni accettabili (alcune decisamente buona, altre meno): Alessia P, Alice D, Alunno Ignoto (uno dei due di cui sopra ma non so più quale), Anes K, Edoardo O, Edoardo D & Christian G (che però potrebbero fare lo sforzo di scrivere la risposta oltre a fare il disegno), Gaia B, Giorgia M, Irene T, Matilde e Paolo D, Mattia G, Nelson R (che per la verità sbaglia l’ordine dei termini e arriverebbe a uno strano angolo ampio -140°), Nihad K, Noemi N.


IL TERZO

Stefano P (di terza B) è stato l'unico a scoprire sia l'area che il perimetro complessivo delle parti rosse. Ecco cosa scrive: Ho diviso il rettangolo ABCD in 40 rettangolini uguali passando per i vertici delle figure.
Con questo si capisce che il lato corto dei parallelogrammi colorati è metà del lato lungo perché il lato corto è metà della diagonale dei rettangolini mentre il lato lungo è uguale alla diagonale intera. Si capisce anche che la figura evidenziata in giallo è un rombo, perché ha i lati uguali (sono tutti diagonali di rettangolini uguali) e paralleli a due a due. I 3 parallelogrammi rossi sono metà dei rombi (come quello in giallo) perché li tagliano a metà di due lati opposti. L'area rossa rimanente è uguale a 1 parallelogrammo rosso perché nella prima figura rossa a sinistra manca il triangolo rosso a destra per completare un altro parallelogrammo.

Per trovare l'area delle parti in rosso inizio a calcolare l'area di un rombo,trovando prima le due diagonali. La diagonale minore è uguale a due lati corti dei rettangolini, che misurano AB : 8 = 5cm. 
La diagonale minore è lunga quindi 5cm X 2 = 10cm. Se divido BC in 5 parti trovo metà della diagonale maggiore 60cm : 5 = 12cm; la diagonale maggiore misura quindi 12cm X 2 = 24cm. Adesso trovo l'area di un rombo facendo il prodotto delle due diagonali diviso 2 (10cm X 24cm) : 2 = 120cm2.

L'area dei quattro parallelogrammi rossi è uguale a 4 mezzi rombi oppure a due rombi interi, cioè 120cm2 X 2 = 240cm2.

Adesso trovo il perimetro delle parti colorate in rosso.
Per trovare il lato lungo del parallelogrammo rosso uso il teorema di Pitagora applicato alle semi diagonali del rombo: radice quadrata di 12cm al quadrato X 5cm al quadrato = radice quadrata di 144cm2 + 25cm2 = 13cm. Il lato corto dei parallelogrammi è 13cm : 2 = 6,5cm. Il perimetro di un parallelogrammo rosso è quindi 13cm x 2 + 6,5cm x 2 = 39cm. Il perimetro del quadrilatero rosso a sinistra è 12cm + 13 cm + 6,5cm + 6,5cm = 38cm, mentre quella del triangolo rosso a destra è 6,5cm + 6,5cm + 12cm = 25cm.


Il perimetro delle parti colorate in rosso è 3 x 39cm + 38cm + 25cm = 180cm.

Alcuni altri fanno tutto per bene con l'area e arrivano a un passo dal perimetro. Ma i poligoni all'estrema sinistra e all'estrema destra hanno un tratto di contorno in più, che va calcolato nel perimetro e molti se ne dimenticano.

Così, ad esempio Naomi R (di terza B):
Quelli con lo stesso numero sono i pezzi da abbinare per fare un rombo.
$$A_{rettangolo}=AB\cdot BC=40cm\cdot60cm=2400cm^2$$
$$A_{rombo}=A_{rettangolo}:n°rombi=2400cm^2:20=120cm^2$$
$$A_{rosso}=A_{rombo}:2=120cm^2:2=60cm^2$$
$$A_{tot rosso}=A_{rosso}\cdot n°rossi=60cm^2\cdot4=240cm^2$$

$$AO=AB:4=40cm:4=10cm$$
$$OZ=AD:2,5(2 diagonali+metà diagonale)=60cm:2,5=24cm$$
$$OX=\sqrt{CX^2+OC^2}=\sqrt{(5cm)^2+(12cm)^2}=\sqrt{169cm^2}=13cm$$
$$XP=OX:2=13cm:2=6,5cm$$
$$2p_{rosso}=[(OX+XP)\cdot 2]\cdot 4(3 rombi interi+1da comporre)=$$
$$=[(13cm+6,5cm)\cdot 2]\cdot 4=156cm$$

(Spero che Naomi apprezzi il mio sforzo di trascrivere tutto in LaTex).

Anche Edoardo OGiorgia M, entrambi di seconda B, seguono nella sostanza la strada percorsa da Naomi. Compreso l'ultimo passo mancante.

Allo stesso modo Nicole M, ancora di seconda B, calcola bene l'area e prova con il perimetro ma pasticcia un po', arriva a un risultato corretto ma per sentieri sbagliati. Copio e incollo la sua risposta per l'area, con piccole correzioni grammaticali.
E anche in questo caso faccio uno sforzo immane e scrivo le formule in LaTEx!

Calcolo inizialmente la misura di ABCD, faccio quindi 
$$AB\cdot BC= 40cm\cdot 60cm=2400 cm^2$$Conto ora quanti rombi ci sono totalmente; sono 20, per trovare quindi l'area di un rombo faccio 
$$A_{rombo}=2400cm^2:20=120cm^2$$
Per trovare invece uno dei due parallelepipedi che formano il rombo faccio
$$120cm^2:2=60cm^2$$
Le parti rosse sono quattro, faccio quindi 
$$A_{rossa}=60cm^2\cdot4=240cm^2$$

Tutti gli altri che si sono cimentati con il quesito non sono andati oltre il calcolo dell'area. Si tratta di Anes K, Gaia B, Irene T, Mattia G, Noemi N, Nelson R, Nihad K, Rachele C (che però non mi convince quando parla di "dividere l'area totale del rettangolo per il numero di colori") e Simone S.


Per concludere ci sarebbe da fare un lungo e serio discorso sul senso di questi giochi matematici e sulla scarsa lungimiranza del copiare le risposte, nonché sulla sua scorrettezza. Soprattutto tra i secondini (e le secondine). Ma ne abbiamo già parlato in classe e ancora ne parleremo.

Qui preferisco fare i complimenti a tutti quelli che hanno ben usato le proprie giovani sinapsi. Si sente l'enfasi sulla parola proprie?

Dopodiché lascio la parola alla prof Giovanna che prossimamente pubblicherà una nuova puntata di Due a settimana....

Sono certo che lei troverà anche una buona frase per iniziare.