giovedì 8 dicembre 2016

(Ec)citazione: l'importante



Mi angustiano le persone che non pensano, che sono in balìa degli eventi. Vorrei individui pensanti. Questo è l’importante.

Carlo Maria Martini - Conversazioni notturne a Gerusalemme

lunedì 28 novembre 2016

Due a settimana …_17

Sono tentato di fare un post senza parole, solo immagini.
Un po' perché ne abbiamo parlato stamattina in classe, un po' perché le immagini sono belle e abbondanti.

Sto parlando dei nuovi giochi matematici della prof Giovanna. Non ditemi che non lo avevate ancora capito! :-D
Le immagini sono queste.




D'accordo, ne ho ritoccate un paio appena appena. Solo per adattarle un po' allo sfondo trasparente di questo blog. A volte mi faccio prendere da una certa pignoleria estetica, dev'essere una malattia.

Ad ogni modo: non sono belle? Non vi viene voglia di cliccarci sopra e andare a leggere i quesiti della prof Giovanna?
E se aggiungo che i quesiti sono adatti a tutti, belli e brutti, bagnati e asciutti? E se aggiungo che ce n'è per tutti i gusti? C'è perfino la bava di lumaca!

Dai, non scherziamo, non potete rinunciare a un quesito di matematica che parla di bava di lumaca!
Sareste proprio dei lumaconi senza speranza!

Se non avete ancora cliccato sulle immagini, fatelo subito. C'è tempo solo (solo... si fa per dire!) fino a domenica 11 dicembre.

(Allora? Cliccate, dai!)



venerdì 25 novembre 2016

Sarà mica matematica 41, le soluzioni

Risposte risposte risposte.

Tutti cercano risposte, il mondo vuole risposte.
In effetti ho qui davanti un bel mucchietto di fogli che, insieme alle numerose mail, contengono un discreto gruzzolo di risposte. C'è voluto un po' per venirne a capo ma posso dirmi (quasi!) soddisfatto.

Dunque in questo post daremo risposte!
Le risposte ai quesiti di Sarà mica matematica 41, naturalmente.

IL PRIMO

D'accordo, le risposte. Ma qui salta subito all'occhio l'importanza delle domande. Le domande giuste sono (quasi) più importanti delle giuste risposte. E altrettanto importante è darsi il tempo per leggerle con attenzione.
Nel quesito avevo buttato lì un indizio, non casuale!: dovete scoprire la logica che porta agli altri numeri della sequenza. O forse dovrei dire le logiche...
La domanda lasciava aperta la porta a diverse soluzioni. Tutte "giuste", a loro modo. Le risposte migliori sono quelle che prendono in considerazione più di una possibilità.

Quante sono le possibilità? Sicuramente più di quelle che avevo immaginato io e anche più di quelle che sono state scoperte. Vediamole.

Qualcuno arriva alla conclusione che 5 e 10 si ripetano e si sommino sempre al numero che li precede. La sequenza diventa:

41  5  46  10  56  61  10  71  5  ...

Quindi il decimo numero è 5.
Questo è il filo logico che hanno seguito Alice D (che però non si ferma al decimo numero ma prosegue fino al diciannovesimo), Nicole M (che però fa un po' di pasticci, anche con i calcoli),

Un  tantino più raffinato è il pensiero di Edoardo O: ogni volta al numero arancione si somma quello giallo e ogni volta il numero giallo aumenta di cinque oppure raddoppia (se avessi avuto anche il terzo numero giallo, saprei con certezza cosa fare).
Quindi in decima posizione ci potrà essere il numero 25 oppure il numero 80.

Stefano P ragiona allo stesso modo.

Molti altri si sono invece limitati a una delle due sequenze.
C'è quella che molti hanno chiamato "della tabellina del 5":

41  5  46  10  56  15  71  20  91  25 ...
a cui hanno pensato Alessandro P, Alessia P, Andrea G, Giada A, Giorgia M, Iman B, Leonardo R, Mattia C, Mirko G, Mirko P, Serena G, Simone S e un'altra persona che deve essere molto timida e preferisce non divulgare il proprio nome, infatti mi ha consegnato un bel foglio stampato ma anonimo.


Merita una piccola menzione d'onore Simone S, di prima B, il quale ha voluto calcolare anche il 41° numero della sequenza! Secondo lui è 1091 (non ho controllato, preferisco fidarmi).

Alcuni hanno visto la sequenza ma non hanno precisato correttamente il decimo numero. Si tratta di Alberto C, Anes K, Edoardo D, Giulia DM, Irene T, Nelson R, Gaia B, Paolo M,

Poi c'è la sequenza "del raddoppio":

41  5  46  10  56  20  76  40  116  80 ...

a cui hanno pensato Martina P e Christian G (che però esagera e arriva fino all'undicesimo numero anziché al decimo).

Le soluzioni esposte fino a qui mi sembrano accettabili ma hanno tutte un difetto, mi pare. Il primo numero della serie è 41 per festeggiare la quarantunesima puntata. Ma perché avrei dovuto mettere proprio il 5 in seconda posizione?

Ecco cosa ne pensa Naomi R: I numeri evidenziati in giallo sono la somma delle cifre del numero arancione precedente mentre i numeri in arancione sono la somma del numero arancione e il numero giallo precedenti. Se voglio scoprire i 2 numeri che si trovano dopo il 56 farò che il numero giallo sarà 11(6+5) e il numero arancione sarà 67 (56+11).

Seguendo questa logica posso proseguire la sequenza:

41  5  46  10  56  11  67  13  80  8 ...

scoprirò così che il decimo numero sarà 8 .

Forniscono la stessa soluzione anche Pietro B e Mirko P.
Anche Sara C individua la sequenza logica ma a un certo punto perde il filo e arriva a un numero finale sbagliato (17 anziché 8).


IL SECONDO

Sgombriamo subito il campo dai dubbi: la risposta è 41.

Naomi R: Per risolvere questo quesito basta fare:

9/10 di 410 = 369

8/9 di 369 =328

7/8 di 328 =287

6/7 di 287= 246

5/6 di 246 =205

4/5 di 205 =164

3/4 di 164 =123

2/3 di 123 =82

1/2 di 82 =41 (ovvero il risultato)

Seguono questa lunga e faticosa strada anche Giulia DM, Nihad K, Irene T e i gemelli Matilde e Paolo D. 

La risposta è corretta ma non era necessario fare tutta quella fatica. Bastava moltiplicare tra loro le frazioni...

Ecco cosa scrive Edoardo O, ad esempio: Il risultato è 41 perché si moltiplica e si semplifica tutte le volte fino ad avere 1/10 di 410.
Oppure Serena G (di prima!) che scrive:
Il risultato è 41, perchè i dividendi e i divisori si possono eliminare ottenendo la frazione 1/10.

Qualcosa del genere fanno anche Alberto C, Alessia P, Alice D, Christian G, Gaia B, Iman B, Leonardo R, Mattia C, Michael P,  Simone S (un altro primino!) e il solito anonimo timidone.

Stefano P descrive entrambe le  possibilità e - attenzione! - fa un piccolo ma interessante passo in più. E come se non bastassse, mette in evidenza che il numero 41 è proprio ricorrente nella puntata 41 (...strano!). Ecco cosa scrive Stefano: ho scoperto che nella domanda ci sono 9 frazioni ognuna delle quali toglie 41 al numero precedente (410:10=41   41x9=369   369:9=41 41x8=328 e così via). Quindi per trovare il risultato si può anche fare 410-(41x9) = 410-369 = 41.
Se no si può semplificare il denominatore della frazione con il numeratore della successiva e viene 1/10 di 410 che è 41.


Non so che strada abbia seguito Andrea G che risponde con un laconico: il risultato del secondo gioco è 41.
Il risultato senza una spiegazione vale poco poco, quasi niente. Andrea è perdonato solo perché è in prima. :-)

Bene, fino a qui abbiamo usato molte parole, qualche buona idea e pochi simboli matematici.
Vediamo la soluzione migliore che, come spesso accade, è anche la più semplice (una volta che la si è scoperta). Quella che dovrebbe far scattare l'effetto EUREKA!, il momento AHA! Che sarebbe il momento in cui improvvisamente appare chiaro qualcosa che prima sembrava incomprensibile.

E, vi sembrerà strano, ma poche cose sono chiare come il linguaggio matematico. Molto sintetico e, proprio per questo, più chiaro.
L'immagine che ha inviato Sara C, ad esempio, non richiede grandi spiegazioni e mostra con chiarezza il passaggio fondamentale del quesito: calcolare 1/2 di 2/3 significa moltiplicare 1/2 per 2/3. E così via.


Così hanno fatto Edoardo D, Giorgia M, Martina P, Mirko P, Moris N, Nelson R, Nicole M, Pietro B,


IL TERZO

I 5 ponti
Tutti quelli che ci hanno provato hanno scoperto che è piuttosto facile trovare un percorso che attraversi i cinque ponti.
Ecco quelli che mi sono arrivati via mail.

L'elenco di nomi dei solutori dei 5 ponti è: Alice D, Alessia P, Andrea G, Anes K, Christian G, Edoardo O, Gaia B, Giorgia M, Giulia DM, Iman B, Irene T, Leonardo R, Matilde e Paolo D, Mirko G, Mirko P, Nelson R, Pietro B.

Buona l'intenzione anche di Gabriel FDS, il quale però confonde attraversare i ponti con toccare i ponti. Non è lo stesso.
Premio per le risposte più distratte ma esilaranti a Edoardo D e Mattia C (sarà un caso se sono vicini di banco?) i quali non cercano di passare sui ponti. Preferiscono passare sotto.

Menzione d'onore per Simone S (ancora lui, sì) perché non si è limitato a trovare un percorso. Scrive: Ci sono almeno 6 passaggi per i cinque ponti. E fa il disegno di due tra quelli possibili.

I 7 ponti
Tutti quelli che ci hanno provato si sono accorti che coi sette ponti è impossibile trovare una soluzione.

La maggioranza si arrende dopo un po' di tentativi. Possono bastare per tutti le parole di Nicole M: ...dopo uno svariato numero di prove fallite concludo che non ci sia una strada.
Ma se io non trovo una soluzione non posso essere certo che non esista. Posso solo dire che io non la trovo....

Qualcuno abbozza una spiegazione. Un esempio per tutti è Edoardo O: è impossibile passare su ogni ponte perché se si prova a passare su ognuno di essi alla fine si rimane con un ponte che non si può attraversare.

Lo so, trovare una spiegazione migliore era difficile.
Qualcuno tra i terzini ha fatto qualche buon passo, forse perché a loro ho dato qualche mezza dritta in più, forse perché hanno avuto qualche altro aiutino, forse perché hanno saputo sfruttare il magico potere di Google... Chissà!

Ecco cosa scrive Stefano P: la risposta è no perché non c'è modo di attraversare le aree A e B senza doverci ritornare dentro usando il terzo ponte di ogni area per cui si rimane intrappolati.


Leonardo R segue un ragionamento simile (trascrivo le sue frasi aggiustandole un pochino): un luogo da cui parte un numero dispari di strade è per forza l'inizio o la fine di un percorso mentre quelli con un numero pari possono essere solo un punto di passaggio. Nel problema tutte le zone hanno un numero dispari di ponti, quindi dovrebbero essere tutte punti di arrivo o di partenza ma ciò non è possibile.

Pietro B consegna un foglio in cui utilizza una combinazione molto affascinante di italiano sui generis, colori, numeri e schemi. Si tratta chiaramente di un linguaggio di sua personale invenzione che preferisco non riprodurre qui: non vorrei infrangere qualche diritto d'autore :-)
Cerco di riassumere come posso: nell'isola centrale è possibile "entrare, uscire, entrare, uscire e infine entrare" oppure "uscire, entrare, uscire, entrare, uscire". Comunque sia ci resti intrappolato.
Pietro allega anche un disegno in cui le parti di Konigsberg sono ridotte a numeri, il fiume è sparito e i ponti sono diventati segmenti. In altre parole un'astrazione, proprio come avevo suggerito di fare.

Il disegno è molto simile a quello che ha inviato Naomi R. Eccolo (lo ammetto, l'ho modificato un pochino, solo i colori e lo sfondo).
Naomi spiega:
a,b,c,d sono nodi (4 isole che si formano grazie al percorso del fiume), le linee indicano i ponti.
Per risolvere il problema dei sette ponti sono ricorsa alla “teoria di Eulero”.
Questa dice che se ogni nodo ha un numero pari di archi che partono da esso,  il percorso è fattibile mentre se il numero di archi che partono da un nodo è dispari, il percorso è impossibile.
In questo caso il percorso è impossibile perché dai nodi a, c, d partono 3 archi e da b ne partono 5.

E così siamo arrivati dove dovevamo arrivare: Eulero e la topologia (non è lo studio dei topi, no!).
Per saperne di più potrebbe bastare una ricerchina su internet. Ma voglio aiutarvi. Suggerisco un paio di collegamenti al blog della prof Giovanna: potete guardare qui e qui.

E, se siete pigri, vi rendo la vita ancora più facile: guardatevi questo bel video, dura meno di cinque minuti!



A proposito della prof Giovanna e dei suoi ragazzi:  le loro risposte sono pubblicate già da qualche giorno. Consiglio a tutti di andare a leggerle! E, già che siete su matematicamedie, rimaneteci perché a breve è proprio lì che troverete i prossimi giochi matematici! (Grazie alla prof per avermi aspettato :-D)

giovedì 17 novembre 2016

(Ec)citazione: matematica e immaginazione



Tutto quello di cui Euclide parla, non esiste.
Non esiste una retta senza spessore, e non esistono circonferenze perfette. L'immaginazione che Euclide, dal III secolo prima di Cristo a oggi, richiede a chi legge i suoi Elementi è più grande di quella necessaria a seguire le storie degli dèi e degli eroi.
I ragionamenti, i teoremi, le costruzioni e le dimostrazioni di Euclide si applicano solo a queste forme inesistenti e tutte le volte che da quel mondo di perfezione ho disegnato un triangolo o tracciato un segmento, quello che ho fatto - io, come tutti - è stato immaginare. [...]
La matematica, e ci penso ogni volta che mi trovo davanti a un disegno su un muro, su un ponte e sull'asfalto di una qualsiasi città, è questa immaginazione che educa all'invisibile, dunque all'amore e ai morti, alle utopie e ai fantasmi e che ci ha portato lontano lontano, nel tempo e nello spazio. È questo esercizio di immaginazione che ci fa e ci fa rimanere umani e quindi, in fondo, poco importa che tutto quello di cui Euclide parla non esista, se siamo qui.

Chiara Valerio - Storia umana della matematica, 2016


sabato 5 novembre 2016

La saggezza di Tip e Tap

Immagine tratta da Tip & Tap e i complotti del web-magazine
Pubblicata su Topolino n.2967 del 9 ottobre 2012
Testo di Jacopo Cirillo - Disegni di Marco Mazzarello