venerdì 23 dicembre 2016

(Ec)citazione: Scarta con cura il pacco dei giorni


Da piccolo a Natale aspettavo un regalo
Un pacco dorato, sotto l’abete luminoso
Quando aprii il pacco, non era quello atteso
Lo tirai contro il muro piangente, iroso.

Quanti regali ho rotto, ho respinto
Nella mia vita, dopo quel giorno?
Ora di questi ho rimpianto
Accettare i doni è difficile
Perché sempre ne aspettiamo uno soltanto.

Impara a amare ciò che desideri
Ma anche ciò che gli assomiglia
Sii esigente e sii paziente
E’ Natale ogni mattino che vivi
Scarta con cura il pacco dei giorni
Ringrazia, ricambia, sorridi.

Stefano Benni, Di tutte le ricchezze

martedì 20 dicembre 2016

Sarà mica matematica 42


- D'accordo - disse Pensiero Profondo. - La risposta alla Grande Domanda...
- Su...?
- Sulla Vita, l'Universo e Tutto Quanto... - disse Pensiero Profondo.
- Sì...?
- È … - disse Pensiero Profondo, e fece una pausa.
- Sì…?
- È …
- Sì…???
- Quarantadue – disse Pensiero Profondo, con infinita calma e solennità.

Douglas Adams, Guida Galattica per gli autostoppisti, Mondadori, 1980
 
Guida Galattica per gli automobilisti non è più solo un libro. E nemmeno un film, un fumetto, una serie televisiva, un gioco per PC, una serie radiofonica. Cioè: è tutto questo ma anche molto di più, è una sorta di icona della fantascienza umoristica. E ormai sembra che ogni volta che in un discorso, per qualche ragione, salta fuori il numero 42, si debba citare per forza il romanzo di Douglas Adams.

Sì, perché verso la fine del libro, un computer chiamato Pensiero Profondo fornisce la risposta alla domanda fondamentale sulla vita, l'universo e tutto quanto. E la risposta è... 42!

E 42 è ovviamente uno dei temi della quarantaduesima puntata di Sarà mica matematica. L'altro tema, inevitabile, è il Natale.

Allora, dopo aver dato LA risposta, passiamo ai quesiti.


IL PRIMO

Babbo Natale parte dal polo Nord con le sue renne, la slitta carica di doni e tutto il necessario. Fa 42 km in direzione SUD. A questo punto vira improvvisamente verso EST e percorre altri 42 km esatti.
Le virate e le distanze percorse sono perfettamente precise, come solo le renne di Santa Claus sanno fare. Non chiedetemi perché Babbo Natale segua questi percorsi strampalati. La risposta, forse, la sa solo lui.
Quello che noi vogliamo sapere è invece: a questo punto quanto è lontano Babbo Natale dal Polo Nord?

Piccolo suggerimento: Pitagora non ne sapeva niente di Babbo Natale e compagnia. Ovverosia: per rispondere non serve il teorema di Pitagora.

Altro piccolo suggerimento: guardate l'immagine animata qui sopra. Per quanto prodotta in casa, per quanto non molto raffinata, potrebbe darvi lo spunto giusto.


IL SECONDO

Restiamo sul tema del Natale. E anche del 42.
Quello qui sotto è un albero di Natale (spero che si capisca). Ma è anche un gioco.

Ecco le regole:
1) ogni pallina dell'albero va riempita con un numero naturale;
2) il numero in ogni pallina deve essere la somma dei numeri nelle due palline sottostanti. Le due palline più in alto devono dare come somma il numero 42, che c'è nella stella.
3) tutti i numeri naturali dell'albero devono essere diversi tra loro.

Balza subito all'occhio che sono possibili più soluzioni. Io mi ci sono messo per dieci minuti e ne ho trovate almeno quattro diverse. Così è troppo facile, sarete d'accordo anche voi.

Allora introduciamo un'altra regola.

Non cerchiamo una soluzione qualunque, vogliamo avere nell'ultima fila di palline (quella con quattro palline, per intenderci) il numero naturale più alto possibile.

Un esempio per capire: una soluzione che, nelle palline dell'ultima fila, abbia  i numeri 1, 2, 4 e 5 è meno buona di una che abbia i numeri 1, 2, 4 e 6. Il numero 6 vince rispetto al numero 5.

Piccolo suggerimento: se il numero più alto della vostra ultima fila di palline è minore di 20, vuol dire che non ci avete pensato abbastanza.

Altro piccolo suggerimento: raccomando di raccontare anche le strategie che avete usato per scoprire la vostra risposta. Raccontare ci obbliga a mettere chiarezza nei nostri pensieri. Avere chiara in mente una strategia aiuta a trovare la risposta migliore.


IL TERZO

Restiamo ancora in tema natalizio ma stavolta abbandoniamo il numero 42.

Osservate la figura qui sotto. Vi viene il mal di testa solo a guardarla? Anche a me, lo ammetto, ma fa parte della difficoltà del gioco! Se dico che l'ho fatto apposta mi credete?

Ad ogni modo, con un pizzico di sforzo e con una spolverata di fantasia si dovrebbe intuire che si tratta di 9 tessere rettangolari che si possono accostare per ottenere tanti alberi di Natale, alcuni verdi con palline colorate, altri - capovolti - con palline bianche.

L'obiettivo è affiancare le tessere in modo che ogni albero verde che si forma abbia tutte le palline dello stesso colore.
In altre parole non ci dovranno essere alberi decorati per metà con palline gialle e per metà con palline blu, per dire.




PS: A costo di essere presuntuoso dirò che quest'ultimo quesito vuole essere un mio minimo omaggio a Maurits Cornelis Escher, famosissimo artista che amava alcuni aspetti della matematica ed è molto amato dai matematici.
Da giugno è aperta a Milano una mostra con le sue opere. (E io non sono ancora riuscito ad andare a vederla!)  L'esposizione chiuderà il 22 gennaio 2017, quindi questo è il periodo giusto per un gioco che richiami qualcosa del lavoro di Escher.

Uno dei temi ricorrenti nelle sue opere è l'uso creativo delle tassellazioni. Che, in geometria, sono dei ricoprimenti completi del piano con delle figure che si ripetono.
Ecco alcuni esempi delle tassellazioni di Escher.


Ecco, una volta ricomposta la nostra immagine originale con gli alberi di Natale, si ottiene proprio una tassellazione del piano. D'accordo, non sarà all'altezza delle incisioni di Escher. Ma ha il vantaggio che, volendo, si può stamparla e farne una bellissima carta per impacchettare i regali di Natale!
O no?
Va bene, passiamo ad altro.

AGGIORNAMENTO del 31/12
Da alcune domande che mi sono arrivate pare che non sia del tutto chiaro quali siano i confini delle tessere rettangolari del puzzle.

La domanda è del tutto lecita: a ben guardare non ci sono rettangoli nell'immagine! Per la precisione: io riesco a vederli (anche voi?) ma solo per uno scherzo del mio cervellino, il quale completa i rettnagoli con le parti che in effetti mancano.
Allora ho aggiunto - qui sotto - una nuova immagine, in cui i confini delle tessere sono segnati con linee bianche. Questo dovrebbe rendere le cose più chiare, anche se così la tassellazione dell'immagine finale ne risulterà un po' rovinata!


Questa tornata di giuochi è talmente facile ma così facile che è quasi un regalo per Natale. Infatti si chiude... al rientro dalle vacanze di Natale!
Volete proprio una data? Allora diciamo mercoledì 11 gennaio 2017, può andare? Che tanto lo so che serviranno un paio di giorni per rifare il punto della situazione e ricominciare davvero!

sabato 17 dicembre 2016

Due a settimana..._17, le nostre soluzioni

Se cercate risposte, siete nel posto giusto.

Se invece cercate le domande, dovete andare a guardare il post Due a settimana..._17 della prof Giovanna. Perchè qui tentiamo di dare le nostre risposte a quelle domande.

Se invece cercate la risposta alla domanda fondamentale sulla vita, l'universo e tutto quanto... ripassate di qui tra qualche giorno: ne parleremo nella prossima puntata di Sarà mica matematica!

Ma non divaghiamo. Stavamo dicendo: i quesiti di Due a settimana..._17.

QUESITO 1

Questa l'immagine pubblicata dalla prof.



Il libro di scuola le chiamerebbe linee spezzate aperte. E invece no, sono tracce di bava di lumaca su un pavimento di piastrelle rettangolari! Data la lunghezza delle tracce di Lum, Bit e Bav, si vuole sapere quanto lunga è la traccia di Mol.

Vediamo le nostre soluzioni, in rigoroso ordine sparso (ma dando la precedenza a chi ha scritto via mail).

Serena G scrive:
Io ho calcolato che se la traccia di Lum è lunga 25 decimetri ogni tratto è lungo 5 decimetri, perché 25:5 fa 5.
La lunghezza della traccia di Bit è 37 decimetri, perciò se sottraggo 25 (somma delle diagonali) il risultato è 12. Per calcolare le parti corte del rettangolo, divido 12 per 4= 3 decimetri.
Nella traccia di Bav sottraggo i lati corti che misurano in tutto 18 decimetri (6 x 3).
Per trovare i lati lunghi faccio 38 – 18 = 20 e poi lo divido per 5 ( lati lunghi ) = 4 decimetri.
La traccia di Mol è formata da: 3 diagonali, 4 lati corti e 2 lati lunghi, perciò in totale misura 35 decimetri (3 x 5 + 4 x 3 + 2 x 4).

È quello che dice anche Edoardo O:
Innanzitutto devo dividere la lunghezza di Lum per il numero di segmenti su ogni piastrella:
25:5=5 decimetri.

Poi per trovare il valore dei segmenti perpendicolari di Bit devo togliere la lunghezza di Lum a Bit, così da lasciare solo i segmenti perpendicolari:
37-25=12 decimetri 12:4=3 decimetri 

Per trovare i segmenti orizzontali di Bav devo togliere dalla sua misura il valore dei segmenti verticali:
38-(3x6)=38-18=20 decimetri 20:5=4 decimetri
Quindi Mol misurerà:
(5x3)+(3x4)+(2x4)=15+12+8=35 decimetri.


Potrei copiare e incollare le parole di diverse altre persone ma sarebbe un po' troppo noioso: nella sostanza tutti hanno seguito lo stesso filo di ragionamenti. Mi limito a citare i solutori e spero non si offendano se non vedono pubblicati i loro scritti.
Alberto C, Naomi R e Stefano P hanno inviato soluzioni via mail.
Hanno preferito la versione cartacea: Alice D, Ivan Z, Gaia B, Giorgia M, Pietro B, Simone S, Matilde e Paolo D.

Qualcuno (parecchi!) ha seguito il procedimento corretto ma ha sbagliato qualche calcolo. Sono tentato di menzionare anche loro ma mi trattengo: qualche errore di calcolo è comprensibile in una verifica, con un po' di tensione in corpo e il tempo che stringe. Qui lo è molto meno.


QUESITO 2 

Qui le strade per arrivare alla soluzione erano parecchie e ognuno ha seguito la propria, come è bene che sia.

Sara C allega una figura in cui mostra che la elle si può suddividere in sette quadratini di lato 2.
Da qui la soluzione è facile: ogni quadratino ha area (2 cm)2 = 4 cm2 
Sette quadratini significa 7 x 4 cm2 = 28 cm2

Sara in realtà fa un uso delle unità di misura così sconsiderato che mi metterei le mani nei capelli se solo li avessi ancora! Allora sistemo le cose e glisso con signorilità.

Hanno seguito lo stesso ragionamento anche Nelson R e Edoardo O.

Simone S e Naomi R, ciascuno per conto suo, hanno percorso la strada dei sette quadratini ma anche un'altra, che potremmo chiamare "dei due rettangoli e un quadratino".

Eccola, nelle parole di Stefano P, il quale manda questa figura


e commenta: per calcolare l'area della L in rosso posso:
  • dividerla in 3 parti (2 rettangoli da 6cm x 2cm indicati A e C nella figura e un quadratino da 2cm x 2cm indicato con B),
  • calcolare le aree delle 3 figure (6cm x 2cm = 12cm2; 6cm x 2cm = 12cm2; 2cm x 2cm = 4cm2)
  • infine sommarle facendo 12cm2 + 12cm2 + 4cm2 = 28cm2.

Hanno scoperto la soluzione "dei due rettangoli e un quadratino" anche Nicole M e Pietro B.



Mattia C non allega alcuna immagine alla sua mail ma scrive con sufficiente chiarezza:
Per calcolare l'area della elle colorata bisogna prima calcolare l'area totale del quadrato ABCD, poi quella dei quadrati più piccoli, sommarle e poi sottrarre l'area dei quadrati più piccoli da quella del quadrato più grande; quindi il risultato deve essere diviso per due per ottenere l'area di una singola elle.
Il risultato è: 28 cm2

Se sorvoliamo sul fatto che l'unità di misura è una mia aggiunta, è una buona soluzione. (Ma quanto sarebbe stata più chiara se accompagnata da una buona figura!)

Anche Giorgia M l'ha trovata. Purtroppo considera il lato del quadratone lungo 8 cm anziché 10 cm come dovrebbe.


Alberto C manda una mail senza immagini (aaargh!!) e cerca di spiegarsi a parole. Io copio, incollo e metto un po' in ordine:
Ho diviso la L in due rettangoli, uno più grande e l'altro più piccolo. Il più grande ha la base di 8 cm2 e l'altezza di 2 cm2; facendo base per altezza fa 16 cm2. Nel'altro la base è 2 cm e l'altezza 6 cm; facendo base per altezza risulta 12 cm2.
Se sommo 16
cm2 e 12 cm2 ottengo un'area totale di 28 cm2.

Hanno individuato scelto la soluzione "dei due rettangoli" anche Ivan Z, Gaia B, Giulia DM, Leonardo R e Moris N.

Di possibilità ce ne sono senz'altro parecchie ancora. Ad esempio, nessuno ha pensato alla soluzione che a me piace di più:

Il quadrato AIGL  ha lato lungo 8 cm pertanto ha area 64 cm
Il quadrato EFGH ha lato 6 cm, quindi la sua area è 36 cm.


L'area della L rossa è AAIGL – AEFGH = 64 cm2 - 36 cm2 = 28cm2.


QUESITO 3

Tutti hanno stampato la figura originale, oppure l'hanno ridisegnata a mano, seguendo le indicazioni. A quanto capisco, solo Serena G, di prima B, ha tentato di ricostruire la figura di partenza con Geogebra, come avevamo discusso in classe. Questa è la sua opera.
La pubblico per rendere merito a Serena, che ci ha provato con impegno! A prima vista la figura sembra quasi identica all'originale della prof Giovanna. Ma uno sguardo appena più attento nota alcune irregolarità (soprattutto nel quadrato centrale), segno che la costruzione con Geogebra non è corretta. Vale la pena di riparlarne meglio in classe.

Torniamo al quesito.
Si trattava di smontare la figura di partenza e riorganizzare i pezzi per costruire queste sagome (che sono quindi equiscomponibili rispetto al quadrato originale)


Qualcuno ha cercato di rispondere solo a parole.
Edoardo O, ad esempio, scrive:


Per ottenere la “T” bisogna prendere la figura n4, la n2 e la n6 e unirle per comporre la parte orizzontale, per ottenere la parte verticale devo prendere la figura n1 e la n5 e le devo affiancare alla n3, che resta invariata.

Per ottenere la “Freccia” devo prendere la figura 1 e 5 come sono già nel disegno e capovolgerli insieme, poi prendo la figura n3 e la ruoto di 180°: le affianco in modo da ottenere la “punta” della freccia. Poi, per trovare il “busto” devo affiancare la figura n2 alla n4 e unirle alla figura n6.

Per ottenere la “Croce” devo prendere le figure n5, n1 e n3 e formare la parte verticale (come fatto in precedenza). Per formare la parte orizzontale devo prendere le figure n6, n4 e n2.Unendo la parte n4 e la n2 ottengo due quadrati che vado a sovrapporre in mezzo alla parte verticale.


Apprezzo la fiducia nelle potenzialità della lingua italiana ma in questo caso era proprio meglio ricorrere alle immagini: più veloce e più chiaro.
Per quanto Edoardo si esprima con chiarezza, mi ci è voluto un po' per capire che non costruisce una croce greca, con tutti i bracci uguali (così era la figura richiesta) ma una croce latina con un braccio più lungo degli altri.

I sei poligoni, in effetti, si possono comporre in parecchi modi. Alcuni sembrano giusti ma non lo sono: le proporzioni delle figure non corrispondono a quelle richieste dal quesito. I due bracci della T, ad esempio, devono essere di uguale lunghezza.

Le combinazioni corrette sono più di una. Ma tutte sono variazioni sullo stesso tema.
Sfrutterò le immagini più accurate che sono arrivate via mail per rendere l'idea delle possibili soluzioni. Si tratta delle foto fatte da Stefano P e da Naomi R. Ho rimaneggiato entrambe solo un poco, per togliere lo sfondo.


Le composizioni di Stefano P
Le composizioni di Naomi R

Hanno costruito, ognuno a proprio modo, le tre figure: Giorgia M (la quale disegna le figure e spiega anche a parole, molto bene!), Leonardo R e Sara C. Sembra esserci riuscito anche Mattia C ma dalla sua descrizione, solo a parole, non riesco ad stabilirlo con certezza.

Hanno costruito due figure: Alberto C (T e freccia), Pietro B (T e freccia) e Simone S (freccia e croce).

Sono riusciti a costruire solo una figura: Alice D (la croce), Gaia B, (la T), Giulia DM (la T) e Ivan Z (la freccia).


Credo di aver detto tutto. Credo. Chi si accorgesse che ho dimenticato qualcuno o qualcosa batta un colpo!

Resta da ringraziare ancora una volta la prof Giovanna e resta da dare a tutti l'appuntamento per nuovi giochi: la prossima puntata di Sarà mica matematica sarà a tema. Più di un tema, per essere più precisi.

Volete sapere quali temi? Niente di più facile: vi basta passare di qui tra qualche giorno.