domenica 27 gennaio 2013

Sarà mica matematica 16


Anche per questa settimana butto sul tavolo un paio di quesiti veloci. Veloci da formulare, si intende. Se siano anche veloci da risolvere lo lascio decidere a voi.


Il primo

La figura qui sotto va divisa in quattro parti uguali tra loro, cioè perfettamente sovrapponibili (vogliamo dire congruenti?). Ognuna delle quattro parti sarà anche simile (stessa forma) alla figura di partenza.




Il secondo

Ho a disposizione i seguenti numeri: 8, 7, 3 e 3.

Usando tutti e solo questi numeri (nell’ordine che voglio) devo costruire un’espressione uguale a 5.

Posso (non devo: posso) utilizzare tutte le quattro operazioni, le potenze e le radici.

Posso anche usare tutte le parentesi che voglio. Attenzione, però: le parentesi devono essere necessarie, non le posso buttar lì solo perché mi piacciono. In altre parole: se togliendo le parentesi il risultato non cambia, allora non sono necessarie e devo levarle.

Una piccola nota: dal momento che io le ho trovate so che esistono almeno due soluzioni al secondo quesito. Sono tentato di chiedere almeno due risposte

Sarà mica matematica 15, le soluzioni


Qui si discutono le risposte, le domande si trovano da quest’altra parte.


Prima di iniziare voglio fare i complimenti a tutti (anche quelli che non hanno trovato le risposte ma ci sono andati vicini). Ciò detto, partiamo.

Il primo quesito: quanti anni avrà ‘sta benedetta zia? E soprattutto perché la fa tanto lunga, non potrebbe dire semplicemente la verità? Si vergogna della propria età o si diverte a metterci in crisi? Sì, perché un po’ ci ha davvero messo in crisi.
I più hanno calcolato il numero di sabati e domeniche che ci sono in 55 anni e li hanno poi sommati all’età dichiarata dalla zia. Si arriva così a un età reale di 70 anni e qualcosina. Ora, non è facilissimo trovare l’errore in questo ragionamento e nemmeno tanto semplice è spiegarlo. A me viene da dire: la zia ha più di 55 anni, quindi i sabati e le domeniche che non conteggia sono più di quelli che ci sono in 55 anni…

Ma allora quanti anni ha?


Un ragionamento possibile è quello di Massimiliano C., di seconda B, il quale scrive:


Sono 55 anni se si contano cinque giorni della settimana, quindi 55:5=11 sono gli anni che compirebbe se contassimo solo un giorno. Dato che una settimana dura 7 giorni, gli anni sono 77.

Mi sembra ineccepibile. Un altro modo per dirlo sfrutta le frazioni: la zia dichiara i 5/7 della propria età. Basta allora calcolare 55 x 7/5 = 77.


Hanno seguito questa strada (o qualcosa di simile) anche Matteo N. e Nicholas S. di terza B. 


Sophia Z., di prima B, segue un percorso più articolato. Tento di riassumere:

52x2=104 è il numero di sabati e domeniche in un anno;
52x5=260 sono i giorni contati dalla zia in un anno;
104+260=364 sono i giorni effettivi di un anno;
364x55= 20020 sono i giorni “reali” di 55 anni;
20020:260 = 77 sono gli anni “reali” della zia.

Qualcuno qui noterà che un anno è fatto da 365 giorni, non 364. Altri potrebbero tirare in ballo gli anni bisestili, di 366 giorni. Il ragionamento però funziona e lo diamo senz’altro per buono, direi.


Aggiungo che da un breve scambio di mail con la prof. Giovanna (i miei ringraziamenti a lei e ai suoi alunni!) è saltato fuori che si può sfruttare anche quel potente strumento che sono le proporzioni. Tra le varie possibilità la migliore mi pare:

5 giorni : 7 giorni = 55 anni : X anni

Da cui risulta  che X = 77



Il secondo quesito si è rivelato un po’ più semplice. La risposta è riassunta nella figura qui sotto.



I solutori sono i seguenti signori.

Per la prima: Carolina D.M., Davide C., Ismaele M., Sarah T. e un anonimo (!!!)

Per la seconda: solo Massimiliano C.

Per la terza: Matteo N., Nicholas S., Manuel R. e Michael C.

Parecchi hanno dato una risposta sbagliata perché con ogni evidenza non avevano letto bene la domanda. Anche da questo c’è qualcosa da imparare, mi pare ;-)

domenica 20 gennaio 2013

Sarà mica matematica, 15


Questa settimana buttiamo lì un paio di quesiti veloci.


Il primo

La zia di Paolino dice di avere 55 anni. Siccome Paolino la guarda male, la zia aggiunge: “se non si contano i sabati e le domeniche”. Aiuta Paolino a scoprire quanti anni ha davvero la zia.

Spiega il ragionamento che hai fatto.



Il secondo

Nella figura qui sotto c’è un rettangolo arancione e alcuni poligoni bianchi. Bisogna dividere il rettangolo in due pezzi con un solo taglio dritto (occhio: “dritto” non significa “orizzontale”, “verticale”, “perpendicolare”… vuol dire “rettilineo”). Con i due pezzi così formati deve essere possibile costruire ciascuno dei poligoni bianchi.




Ecco qua. Le risposte settimana prossima. Forse.

venerdì 18 gennaio 2013

Sarà mica matematica 14, le soluzioni

Attenzione: qui si danno le risposte. Le domande, se vi interessano, si possono trovare da quest’altra parte.


Quanto alle risposte mi dichiaro soddisfatto: tra le numerose soluzioni che mi sono state consegnate a scuola ho letto diverse idee interessanti, alcune delle quali non le avevo proprio pensate. Vediamo.


Quesito 1  ------------------------------------------------------------


Una soluzione è 1122=33x34. Un’altra, che potevo aspettarmi dai terzini, è 1122=(-33)x(-34).
Le strade percorse per trovarla sono state di 3 tipi.


La prima, un po’ fortunosa ma comunque interessante è stata proposta da Jelle R.: scompongo 1122 in fattori primi; risulta 1122=2x3x11x17. Noto che 2x17=34 e che 3x11=33. Quindi 1122=33x34.


La seconda, molto difficile per i primini che ancora non hanno affrontato il calcolo delle radici:

Significa che 33,5x33,5≈1122. Allora i due numeri interi che sto cercando devono essere uno appena più piccolo di 33,5 e l’altro appena più grande. Infatti 33x34=1122. Onore al merito per Matteo C. di prima B (aiutato? Quanto?), per Massimiliano C. di seconda B, per Matteo N. e Nicholas S. di terza B. Ecco, questi ultimi avrebbero potuto accorgersi che in effetti


La terza soluzione segue un ragionamento piuttosto lineare ma non semplice da spiegare. Riporto con pochissimi aggiustamenti le parole di Sophia Z. di prima B (l’unica che l’ha pensata): il numero 1122 finisce con un 2 quindi devo trovare due cifre consecutive che moltiplicate tra loro diano un numero che abbia come unità la cifra 2. Sono: 1x2=2, 3x4=12, 6x7=42 e 8x9=72. I due fattori che sto cercando devono avere come unità una di queste coppie.

Passo alle decine: devo trovare due fattori che abbiano la stessa decina e il cui prodotto si avvicini al 1000. È facile notare che 40x40=1600 è troppo, mentre 20x20=800 è troppo poco. Quindi deve essere 30X30.

Quindi i fattori da considerare devono avere 3 alle decine e alle unità una delle coppie dette sopra. Possono essere: 31x32; 33x34, 36x37 oppure 38x39.

Con un numero molto limitato di tentativi scopro che 33x34=1122.

Quesito 2 ------------------------------------------------------------

La soluzione è 73 = 36+ 37.
Anche in questo caso abbiamo diverse strade possibili.

La più gettonata è questa. 73:2=36,5 . Ciò significa che  36,5+36,5 = 73  quindi i due numeri interi che sto cercando devono essere 36 e 37. Hanno dato questa risposta i signori: Matteo C., Sarah T. e Valentina V. di prima B, Alex Z., Federica S., Giulia R. e Pietro G di seconda B.

Forse perfino meglio è l’idea di Ismaele M., di prima B: 73:2=36 con resto 1. Quindi uno dei due addendi è 36, l’altro deve essere 36+1=37.

Un’altra possibilità è la seguente, secondo la notazione molto sintetica di uno dei solutori:

73-1=72
72:2=36
36+1=37
36+37=73

Hanno dato questa risposta i signori Jelle R., Matteo C., Nicolas A., Stefano S.,  di prima B, Massimiliano C. di seconda B, Alessandro M., Manuel V., Matteo C., Matteo N. , Nicholas S., Rebecca A. e Simone Z. di terza B.

C'è ancora un'altra soluzione. Riporto di nuovo le parole della sua scopritrice, Sophia Z. di prima B: il numero 73 finisce con un 3 quindi devo trovare due cifre consecutive che sommate tra loro diano un numero che abbia come unità la cifra 3. Sono: 1+2=3 e 6+7=13. I due addendi che sto cercando devono avere come unità una di queste coppie.
Ora considero le decine: devo trovare due addendi che abbiano la stessa decina e la cui somma si avvicini al 70 senza superarlo. Noto che la metà di 70 è 35, quindi la cifra da usare come decina dev’essere 3.
A questo punto  le coppie di addendi possono essere solo 31 e 32 oppure 36 e 37. Con una semplice prova scopro che 36+37=73.
 


Quesito 3 ------------------------------------------------------------



L’unica soluzione trovata (l’unica che esiste?) è questa:



L’elenco dei solutori.

Per la prima B: Amanda P., Carolina D. M., Ismaele M., Marco T., Matteo C., Matteo C., (ci sono due Matteo C., proprio così) Nicolas A., Sarah T., Sophia Z. e Valentina V..

Per la seconda B: Alex Z., Fabio P., Simona D. M., Federica S. e Massimiliano C..

Per la terza B: Matteo C. , Matteo N. , Michael C., Nicholas S., Noemi C., Rebecca A. e Simone Z.


In classe sono già stati distribuiti i nuovi giuochi. Appena potrò li caricherò anche sul blog.