mercoledì 26 febbraio 2014

2 a settimana 6

Venghino, siòre e siòri, venghino! Altro giro, altro regalo!
La Prof Giovanna ha pubblicato i due nuovi quesiti di Due a settimana!
Venghino, siòre e siòri, avanti c'è posto!
Sono due quesiti facili facili! C'è abbondanza di spazio per chi vorrà ridurre al minimo gli sforzi dell'intelletto e mi manderà due mezze risposte striminzite, alle ore 23.59 del giorno della scadenza (a proposito: è lunedì 10 marzo).
Ma attenzione, siòre e siòri: sono anche due quesiti  che consentono di giocare a piacimento: trovare più soluzioni, considerare anche altri casi simili...
Insomma: venghino, siòre e siòri, mi voglio rovinare: c'è posto anche per chi vuole far girare più forte quegli ingranaggi che si trovano tra le due orecchie!

E allora cosa aspettate, siòre e siòri? Cliccate sul triangolo equilatero e andate direttamente alla pagina dei quesiti della Prof. Tra un paio di settimane pubblicheremo le soluzioni migliori. Ma anche le peggiori saranno molto apprezzate.
http://matematicamedie.blogspot.it/2014/02/due-settimana-6.html


lunedì 24 febbraio 2014

Sarà mica matematica 27, le soluzioni

Come sia possibile che il tempo cambi marcia, fino a far sembrare due settimane un paio di giorni, è un mistero. Andrebbe inserito nel lungo elenco delle cose da scoprire, insieme alla materia oscura, alle origini della vita e altre quisquilie del genere.
Fatto sta che un paio di giorni fa pubblicavo i due quesiti di Sarà mica mate 27 e improvvisamente scopro che sono passate due settimane!


È tempo di tuffarsi nel pacco di fogli, foglietti, mail e messaggi che sono arrivati dai ragazzi e scoprire cosa contengono. In un certo senso restiamo in tema: anche qui si tratta di materia oscura!

Prima di vedere le risposte, mi preme una precisazione: le risposte "giuste" sono state parecchie. Purtroppo però una risposta non può essere un numerino senza spiegazione. Evito di usare il verbo "dimostrare" ma i ragionamenti vanno illustrati, i passaggi vanno giustificati.
Quasi quasi mi spingo ad affermare che preferisco una risposta sbagliata ma spiegata piuttosto che una giusta ma senza spiegazione.


È difficile? Sì. È utile? Di più.

Tutto ciò per dire che i tra i solutori verranno citati solo coloro che hanno spiegato le loro risposte.

Ecco, possiamo cominciare con le risposte ai due quesiti.

Il primo
La prima domanda era: Qual è il più piccolo numero palindromo divisibile per 15?
Stefano S. nota che "potrebbe essere 0,30 se consideriamo un numero decimale". Non ha tutti i torti (a parte quella virgola che rovina un po' le cose): non era precisato che si maneggiano qui solo numeri interi. Ancora nelle parole di Stefano: "se ne consideriamo uno intero è 525".

Vediamo qualche spiegazione.
Più di qualcuno sceglie l'approccio più diretto, come Marco A., che scrive: "ho fatto la tabellina del 15 fino a trovare il primo numero palindromo".
Molti seguono un ragionamento simile a quello espresso nelle parole di Alessia S.: "Ho ragionato considerando che essendo multiplo di 15 doveva per forza finire per 5 o per 0. Ma zero non sarebbe stato possibile. Quindi doveva finire per 5 perciò anche iniziare per 5".
Federica S. precisa anche che il numero da cercare deve essere "di almeno tre cifre perché di palindromo a due cifre che finiscano per 5 c'è solo 55 che non é divisibile per 15".
Da qui a scoprire il 525 il passo è abbastanza breve. Può bastare qualche tentativo.
Però non è ben chiaro perché i multipli di 15 finiscano sempre per 5 o 0.

Cerchiamo di capirlo prendendo qualche pezzo delle risposte di Davide C. e di Sophia Z.:
  • Un  numero è divisibile per 15, se è anche multiplo sia di 3 sia di 5 (infatti 15=3 x 5).
  • Seguendo il criterio di divisibilità per 5, il numero dovrà avere come ultima e, di conseguenza, come prima una cifra uguale a 0 o 5; ma, siccome non esiste nessun numero (tranne 0) che inizi per 0, il numero dovrà cominciare e finire con 5.
  • Secondo il criterio di divisibilità per 3, la somma delle cifre deve essere multiplo di 3.
Un paio di tentativi e si arriva a 525.

La seconda domanda era: qual è il più grande tra i numeri di 4 cifre che sia palindromo e divisibile per 15?


Il ragionamento è simile: il numero deve iniziare e finire con la cifra 5. Le due cifre centrali devono essere uguali tra loro. La somma delle cifre deve essere un multiplo di 3.
Pochi tentativi e si scopre che il numero che cerchiamo è 5775.

I solutori che hanno dato una spiegazione (magari parziale, magari non del tutto corretta ma insomma si hanno provato davvero) sono:
  • i primini:  Alessia S., Andrea G., Davide C., Lorenzo B., Lorenzo D, Mattia C. e Viola Q.
  • i secondini: Alessandro N., Ismaele M., Marco T., Sharon C., Sophia Z. e Stefano S.
  • i terzini: Fabio P., Marika M., Pietro G., Rosa D.M.
All'elenco si aggiunge un fuori quota (ma potrei ben chiamarlo fuoriclasse): Matteo C., direttamente dalla prima Liceo! È un graditissimo ritorno: un saluto e una gran pacca sulla spalla a lui!


Si limitano al 525:
  • i primini:  Luca N., Marco A. e Tommaso S.
  • i secondini: Amanda P.  e Matteo Ch.
  • i terzini: Federica S., Leonardo e Marcella D.C., Noemi C. e Rosa D.M.

Per qualche motivo non hanno trovato il 525 ma solo il 5775 i due secondini Aman A. e Matteo Ca.


Il secondo
La richiesta era: ordinare le forme secondo il loro peso: dalla più leggera alla più pesante.
La risposta, uguale per tutte e tre le bilance è: A, C, B.  

Qualche spiegazione.

Figura 1: Dalle posizioni dei due bracci secondari risulta che B>A e che B>C. Quindi B è il più pesante. Osservando il braccio principale si nota che B+C > B+A. Quindi C è più pesante di A.
Dal più leggero al più pesante si ha dunque: A, C, B.


Figura 2: Dall'osservazione del braccio principale risulta che B+C+A > C+C+A+A. Ciò significa che B > C+A. Quindi B è il più pesante. Osservando il braccio secondario, a destra, si vede che C+C > A+A. Quindi C è più pesante di A.
Dal più leggero al più pesante si ha dunque: A, C, B.

Figura 3: Osserviamo il braccio secondario, a destra. Risulta che B > C+A. Quindi B è il più pesante. Osserviamo ora il braccio principale. Si ha B+A+C > B+A+A. Quindi C è più pesante di A.
Dal più leggero al più pesante si ha dunque: A, C, B.

I solutori di almeno una delle tre bilance (anche qui vige la regola: o spiegazione o niente) sono: 
  • i primini:  Alessia S., Davide C., Marco A., Morgana M.  e Tommaso S.
  • i secondini: Alessandro N., Ismaele M., Marco T., Matteo Ca., Nicolas A., Sophia Z., Stefano S. e Valentina V.
  • i terzini: Fabio P. e Federica S.
Anche in questo caso si aggiunge il fuori quota fuoriclasse Matteo C..

Come sempre temo di dimenticare qualcuno. Nel caso gli interessati mi avvisino e provvederò.
Come sempre faccio i miei complimenti a tutti quelli che ci hanno provato davvero.
Come sempre passo la palla alla prof Giovanna per un'altra puntata  di Due alla settimana. Buoni ragionamenti (e spiegazioni!) a tutti.


lunedì 10 febbraio 2014

Sarà mica matematica 27

Nell'ultimo post concludevo dicendo: L’appuntamento è per domani (circa) con la nuova puntata di Sarà mica matematica.
Ma ho pubblicato quel post alle ore 1.14 di lunedì 9 febbraio (potete controllare). Cioè stamattina.
Questo significa che, se riuscirò a pubblicare questo post prima di mezzanotte, sarò in anticipo! Credo sia la prima volta che mi succede. È una piacevole sensazione.
Bene, non c’è tempo da perdere, in fondo manca meno di un’ora e mezza a domani. Passiamo subito ai due quesiti.

Il primo

È un quesito numerico, pensato apposta per i primini (si vedrà poi perché). Ma anche gli altri possono risolverlo, eh. 
Prendete il paese di Ateleta, in provincia dell’Aquila. Oppure pensate alla mia amica Anna. O ancora, considerate la frase i topi non avevano nipoti, oppure E poi Martina lavava l'anitra miope.
Cosa hanno in comune?

Proprio così: sono palindromi. Cioè sono una sequenza di caratteri che, letta a rovescio, rimane identica.
Naturalmente esistono anche i numeri palindromi. Il numero 101, per sceglierne uno facile.

Butto subito sul tavolo la prima domanda: Qual è il più piccolo numero palindromo divisibile per 15?
Ci aggiungo anche un piccolo suggerimento: come deve essere fatto, un numero, per essere divisibile per 15? Scoperto questo, il resto è facile.

Tanto che aggiungo una domanda per chi vuole andare più lontano.
Consideriamo i numeri (interi) di 4 cifre. La domanda è: qual è il più grande tra i numeri di 4 cifre che sia palindromo e divisibile per 15?

Oltre alle risposte, sono gradite le spiegazioni :-)

Il secondo

Dovrebbe essere un quesito geometrico, che la geometria mi piace. Invece anche stavolta la geometria c'entra poco. Però le figure ci sono, va bene lo stesso?
Sono problemi con la bilancia ma per risolverli non serve mettersi a dieta. Si tratta della classica bilancia a due bracci uguali, come quella nella foto.
Se i pesi su i due piatti sono uguali, la bilancia rimarrà in orizzontale, altrimenti si inclinerà dalla parte del peso maggiore. Semplice.
Ora, le figure qui sotto sono schemi di bilance, a cui sono attaccati alcuni pesi. 
Forme uguali, indicate con lettere uguali, hanno uguale peso. Forme (e lettere) diverse hanno diverso peso.
In ogni caso si tratta di ordinare le forme secondo il loro peso: dalla più leggera alla più pesante.

Pronti, via. Si comincia con la figura 1

Poi la figura 2

E finiamo con la figura 3.
Una piccola precisazione per concludere: nella realtà gli stessi bracci della bilancia hanno un peso. Qui però giochiamo nei campi della mente e possiamo permetterci di pensare che i bracci non abbiano alcun peso. Ciò che pesa sono solo i poligoni colorati e indicati da lettere.

Con questo chiudo la puntata. La prossima, con le soluzioni, sarà tra un paio di settimane, domenica 23 febbraio 2014.
Buoni ragionamenti a tutti.


P.S.: ho pubblicato alle ore 23.36, quindi è ufficiale: non è domani, è ancora oggi e io sono in anticipo!
Vado a stappare una bottiglia di quello buono!

Due a settimana... 5, le nostre soluzioni

COME FARSI DEL MALE
Piccolo manuale a uso degli insegnanti

Cominciate a proporre giochi matematici ai vostri studenti con una certa regolarità, sapendo quanto possono essere utili (e quanto piacere possa dare riuscire a risolverli).

Lasciate che la partecipazione sia facoltativa (non volete che i giochi si trasformino nel classico compito a casa).
Un po' alla volta riducete la difficoltà dei quesiti, nel tentativo di incoraggiare la partecipazione di tutti.
Se la partecipazione, anziché aumentare, diminuirà, cominciate a innervosirvi (attenzione, qui arriva la mossa cruciale, quella che vi servirà per farvi del male).
Fatevi vincere dalla frustrazione e passate dalla modalità facoltativo (che significa “giocate e divertitevi”) alla modalità obbligatorio. In questo modo avrete trasformato un gioco in un compito scolastico. Ovverosia in una cosa noiosa, lo sanno tutti.
Allo stesso prezzo, avrete anche portato a casa una settantina di risposte (per due quesiti, fanno centoquaranta) da leggere e verificare. La gran parte saranno risposte date senza averci pensato abbastanza, atteggiamento tipico di chi è costretto a fare qualcosa controvoglia.
Ma qualcuna, a onor del vero, potrebbe anche sorprendervi in positivo.
Così rimarrete anche con il dubbio: insistere con la modalità obbligatorio oppure tornare sulla strada del facoltativo?

Sto parlando, lo avrete intuito, dei giochi di Due a settimana… 5, che la prof Giovanna ci ha proposto un paio di settimane fa. Ecco le nostre risposte ai due quesiti.

Il primo, geometrico

Cominciamo con l’errore più comune. Molti hanno preferito vedere le cose come le avrebbero volute piuttosto che come erano in effetti (come li capisco!). Così non hanno visto la figura come era, cioè così,
ma quest’altra
 
In questo modo hanno potuto ruotare uno dei due triangoli e costruire un parallelepipedo. Ecco fatti i due terreni con un solo confine.
Purtroppo però hanno dato per scontate troppe questioni che scontate non sono. Su tutte il fatto che i due lati dei triangolini fossero di uguale lunghezza, cosa che non è, nella figura originale.
Di questo e altri errori discuteremo con più calma a lezione.

Qui mi pare meglio passare alle risposte corrette.

Parecchi hanno modificato la figura iniziale in questo modo. 

Quasi tutti senza dare spiegazioni, o quasi.
Solo Davide C. (prima B) scrive, correttamente: “la base e l'altezza del triangolo ABE sono uguali alla base e all'altezza del triangolo ABD (la base è identica ed è il segmento AB mentre l'altezza è sempre quella del trapezio ABCD). Per questo le aree (base x altezza diviso due) devono essere uguali”.
Gli altri, che hanno trovato questa soluzione ma non l’hanno spiegata bene, sono (se non sbaglio…): Alessia S., Luca N. e Lorenzo B., di prima B; Carolina D.M. di seconda B; Christian P., Federica S. e Massimiliano C. di terza B.

Ma non è finita: c’è anche chi ha trovato risposte che non avevo previsto.

Ad esempio Ismaele M. (seconda B) propone queste figure.
E spiega (con qualche piccolo ritocco da parte mia): traccio il segmento FE, parallelo a DA. I due triangoli DAE e DEF sono congruenti.
Traslo il triangolo arancione FEC fino a far combaciare FE con DA. Ottengo il parallelogramma B1DEB, che ha area uguale a quella del parallelogramma ADEF. Traccio il segmento che unisce i punti medi di DE e B1B. In questo modo ottengo la linea di confine tra i terreni di Luigi ed Egidio.


Sophia Z. (seconda B) percorre una strada diversa. Dice (cerco di sintetizzare): trasporto la misura di EC sul lato AB, ottenendo AF. 
Il segmento FE è la nuova linea di confine tra i terreni di Luigi e d Egidio, poiché l’area del trapezio ADEF è uguale alla somma delle aree di ADE e ECB.
Se chiamiamo h l’altezza, si ha infatti 



Ora, possiamo scrivere:
Anche Stefano S., sempre di seconda B segue un ragionamento simile, però con alcuni passaggi in più: trasporta due segmenti, poi trasla il triangolino che si viene a formare… insomma, una cosa un po’ lunghina ma che rivela un’ottima abilità (mi chiedo perché mai Stefano non si faccia sentire più spesso!).



Il secondo, numerico


Il primo fratello ha venti soldi e compra 20 uova. Le rivende a 2 soldi l’uno e ne ricava 40 soldi.

Il secondo fratello, quello un po’ tonto, ha venti soldi, compra 10 uova (a 2 soldi ciascuno). Le rivende a 1 soldo l’uno e ricava 10 soldi.

I due tornano a casa con 50 soldi in totale. Dato che all’inizio ne avevano 40, hanno guadagnato 10 soldi.

L'elenco di chi ha risposto in questo modo è piuttosto lungo (cosa che mi fa piacere).



Tra i primini: Alessia S., Andrea G., Aurora R., Davide C., Davide M., Francesco A., Lorenzo B., Mattia C., Nicolò A., Tommaso S. e Viola Q.

Tra i secondini: Alice D., Carolina D.M., Ismaele M., Perla C., Sarah T., Sophia Z. e Stefano S., Valentina V.

Tra i terzini: Christian P., Francesca D., Marika M., Massimiliano C., Noemi C. e Pietro G.



Alcuni si sono fermati al ricavo di 50 soldi, senza precisare che il guadagno è di 10.

Tra i primini: Damanjot S. e Luca N.,

Tra i secondini: Alessandro N., Aman A., Amanda P., Marco T., Matteo Ca., Matteo Ch. e Sara R.

Tra i terzini: Leonardo D.C. e Marcella D.C.


Ma attenzione! Anche qui c’è un colpo di scena: Lorenzo B. (prima B), oltre a trovare la soluzione dei 10 soldi, scrive: “il testo dice che il primo fratello con 20 soldi compra delle uova a 1 soldo ciascuno e le rivende a 2 soldi. Non dice ciascuno. Quindi ha speso 20 soldi e ne ha ricavati 2. Perciò ha perso 18 soldi.”

Per il secondo fratello vale lo stesso ragionamento: spende 20 soldi e ne ricava 1 in tutto. Perde così 19 soldi.

Si può concludere che i due perdono in tutto 37 soldi.

Secondo questa interpretazione bisogna concludere anche che non uno ma entrambi i fratelli sono un po’ tontoloni.


Bene. Un po’ dispiaciuto per i due fratelli, concludo facendo i complimenti a tutti quelli che ci hanno provato. Stavolta più che mai potrei aver dimenticato qualcuno: me lo faccia sapere e rimedierò.

L’appuntamento è per domani (circa) con la nuova puntata di Sarà mica matematica.

PICCOLO AGGIORNAMENTO
Solo per dire che ho riletto e cercato di correggere i tanti refusi: ce n0erano perfino nel titolo (scrivere di notte e di corsa non aiuta). Inoltre ho aggiunto un paio di nomi che mi erano sfuggiti.