Sarà mica matematica 20, le soluzioni

Nella puntata 20 di Sarà mica matematica ho proposto due quesiti. Vediamo le risposte ai quesiti

Il primo

Scrive Sophia Z.: facendo la somma solo della pagina di sinistra si ottiene un numero pari oppure un numero dispari, in base alla parità o disparità delle cifre.

Ad esempio, aggiungo: se apro a pagina 116, otterrò il numero 8 (pari); se apro a pagina 106, otterrò 7 (dispari).

A questo punto esamino la pagina di destra. Come nota Sarah T., se una pagina è pari, quella consecutiva sarà dispari. Questo vale, preciso io, sia se considero il numero di pagina sia se ne sommo le cifre.

In  conclusione, se avessi sommato le cifre di entrambe le pagine, avrei ottenuto sicuramente un numero dispari (parola di Ismaele M.), infatti, come scrive Carolina D.M.: se sommo un pari e un dispari esce sempre dispari! :-P (anche l’emoticon fa parte della citazione).

Hanno dato una risposta valida (anche se qualcuno poteva precisare un po’ meglio…): Carolina D.M., Ismaele M., Sarah T., Sophia Z.  (prima B) e Pietro G. (seconda B).

Il secondo

Scrivevo tempo fa che sbagliando si insegna. Naturalmente, come qualcuno non ha mancato di farmi notare, il detto giusto sarebbe sbagliando s’impara. E in effetti io dovrei aver imparato qualcosa. Ad esempio: nel formulare i quesiti bisogna pensarci bene, evitare la fretta, cercare di prevedere le risposte.

Tutte cautele che in questo caso non ho avuto. Così nel quesito mi sono scappate due sviste due. E sono cose che si pagano, ahimè.

Pietro G. (seconda B) sfrutta la mia prima svista. Nota che due dei segmenti tracciati nel quadrato ABCD congiungono proprio i punti medi dei lati. Perciò metà lato del quadrato corrisponde al lato lungo di due rettangoli (quelli con perimetro 14 cm e 16 cm). Trovato un lato del rettangolo basta togliere al perimetro la somma dei due lati uguali che conosco e poi dividere per due: trovo cosí il lato che non conosco. Ripetendo l'operazione con l' altro rettangolo, trovo il semiperimetro del rettangolo che mi interessa, lo moltiplico per 2 e trovo il perimetro del rettangolo colorato

Io cosa posso ribattere a questo punto? Che Pietro ha sfruttato un caso particolare e bisognava invece considerare il caso generale? Gliela do buona e ciao! :-)

La seconda svista è figlia della prima: nel quesito scrivo “si formano così nove rettangoli”. Nella fretta non ho notato che due di questi rettangoli (quelli il cui perimetro è rispettivamente 12cm e 8 cm) erano in realtà quadrati (ovverosia rettangoli con tutti i lati congruenti). Questo permette a Valentina V. (prima  B) di notare che se il perimetro del quadrato è 8 cm, un suo lato misurerà 2 cm e se il perimetro è 12 cm, un lato misurerà 3 cm. Dato che i lati così trovati formano proprio il rettangolo colorato, si avrà

Perimetro rettangolo colorato = 2 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 10 cm

La stessa soluzione, oltre che da Valentina, è stata individuata anche dai primini Ismaele M., Sarah T.,  e Sophia Z.

Io cosa posso ribattere a questo punto? Che hanno sfruttato un caso particolare e bisognava invece considerare il caso generale? Gliela do buona e ciao! :-)

Resta da raccontare la “mia” soluzione, quella più generale. Come spesso succede, è più facile da capire che da spiegare. Si tratta di notare che, per come sono stati  costruiti, i rettangoli di perimetro noto hanno lati a due a due congruenti con alcuni dei segmenti che costituiscono il quadrato ABCD.

Nel disegno qui sotto il contorno del quadrato ABCD è diviso in segmenti colorati. Segmenti di uguale colore hanno uguale lunghezza.

Ciascuno dei rettangoli di perimetro noto ha quattro lati, dei quali uno costituisce un lato del rettangolo colorato. Gli altri tre possono essere usati per comporre il quadrato  ABCD.

In questo modo si ha:

Somma dei perimetri dei rettangoli noti = 12 cm + 8 cm + 16 cm + 14 cm = 50 cm

Perimetro del quadrato ABCD = 4 x 10 cm = 40 cm

Perimetro rettangolo colorato = somma perimetri rettangoli – perimetro ABCD = 50 cm – 40 cm = 10 cm

Ecco qui. In un modo o nell'altro, abbiamo portato a casa anche questi due quesiti.

Per quelli di settimana prossima la palla passa alla prof Giovanna. Ci vediamo da lei.