domenica 17 marzo 2013

Sarà mica matematica 20, le soluzioni


Nella puntata 20 di Sarà mica matematica ho proposto due quesiti. Vediamo le risposte ai quesiti

Il primo

Scrive Sophia Z.: facendo la somma solo della pagina di sinistra si ottiene un numero pari oppure un numero dispari, in base alla parità o disparità delle cifre.
Ad esempio, aggiungo: se apro a pagina 116, otterrò il numero 8 (pari); se apro a pagina 106, otterrò 7 (dispari).

A questo punto esamino la pagina di destra. Come nota Sarah T., se una pagina è pari, quella consecutiva sarà dispari. Questo vale, preciso io, sia se considero il numero di pagina sia se ne sommo le cifre.

In  conclusione, se avessi sommato le cifre di entrambe le pagine, avrei ottenuto sicuramente un numero dispari (parola di Ismaele M.), infatti, come scrive Carolina D.M.: se sommo un pari e un dispari esce sempre dispari! :-P (anche l’emoticon fa parte della citazione).

Hanno dato una risposta valida (anche se qualcuno poteva precisare un po’ meglio…): Carolina D.M., Ismaele M., Sarah T., Sophia Z.  (prima B) e Pietro G. (seconda B).

Il secondo

Scrivevo tempo fa che sbagliando si insegna. Naturalmente, come qualcuno non ha mancato di farmi notare, il detto giusto sarebbe sbagliando s’impara. E in effetti io dovrei aver imparato qualcosa. Ad esempio: nel formulare i quesiti bisogna pensarci bene, evitare la fretta, cercare di prevedere le risposte.
Tutte cautele che in questo caso non ho avuto. Così nel quesito mi sono scappate due sviste due. E sono cose che si pagano, ahimè.

Pietro G. (seconda B) sfrutta la mia prima svista. Nota che due dei segmenti tracciati nel quadrato ABCD congiungono proprio i punti medi dei lati. Perciò metà lato del quadrato corrisponde al lato lungo di due rettangoli (quelli con perimetro 14 cm e 16 cm). Trovato un lato del rettangolo basta togliere al perimetro la somma dei due lati uguali che conosco e poi dividere per due: trovo cosí il lato che non conosco. Ripetendo l'operazione con l' altro rettangolo, trovo il semiperimetro del rettangolo che mi interessa, lo moltiplico per 2 e trovo il perimetro del rettangolo colorato

Io cosa posso ribattere a questo punto? Che Pietro ha sfruttato un caso particolare e bisognava invece considerare il caso generale? Gliela do buona e ciao! :-)

La seconda svista è figlia della prima: nel quesito scrivo “si formano così nove rettangoli”. Nella fretta non ho notato che due di questi rettangoli (quelli il cui perimetro è rispettivamente 12cm e 8 cm) erano in realtà quadrati (ovverosia rettangoli con tutti i lati congruenti). Questo permette a Valentina V. (prima  B) di notare che se il perimetro del quadrato è 8 cm, un suo lato misurerà 2 cm e se il perimetro è 12 cm, un lato misurerà 3 cm. Dato che i lati così trovati formano proprio il rettangolo colorato, si avrà

Perimetro rettangolo colorato = 2 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 10 cm

La stessa soluzione, oltre che da Valentina, è stata individuata anche dai primini Ismaele M., Sarah T.,  e Sophia Z.

Io cosa posso ribattere a questo punto? Che hanno sfruttato un caso particolare e bisognava invece considerare il caso generale? Gliela do buona e ciao! :-)


Resta da raccontare la “mia” soluzione, quella più generale. Come spesso succede, è più facile da capire che da spiegare. Si tratta di notare che, per come sono stati  costruiti, i rettangoli di perimetro noto hanno lati a due a due congruenti con alcuni dei segmenti che costituiscono il quadrato ABCD.
Nel disegno qui sotto il contorno del quadrato ABCD è diviso in segmenti colorati. Segmenti di uguale colore hanno uguale lunghezza.

Ciascuno dei rettangoli di perimetro noto ha quattro lati, dei quali uno costituisce un lato del rettangolo colorato. Gli altri tre possono essere usati per comporre il quadrato  ABCD.
In questo modo si ha:
Somma dei perimetri dei rettangoli noti = 12 cm + 8 cm + 16 cm + 14 cm = 50 cm
Perimetro del quadrato ABCD = 4 x 10 cm = 40 cm
Perimetro rettangolo colorato = somma perimetri rettangoli – perimetro ABCD = 50 cm – 40 cm = 10 cm

Ecco qui. In un modo o nell'altro, abbiamo portato a casa anche questi due quesiti.
Per quelli di settimana prossima la palla passa alla prof Giovanna. Ci vediamo da lei.

6 commenti:

giovanna ha detto...

Ehi, prof (che è pure il titolo di un bel libro...)
siamo quasi in simultanea nella pubblicazione delle soluzioni :-)

E ancora un'interiezione: eh, eh, la prof invece non ha dato per buone le interpretazioni di "mediane" e "quadrati": come si legge sul nostro post soluzioni...
Ok se si vuole ammettere come "svista" le mancate precisazioni del prof nel formulare i quesiti, ma queste sarebbero state niente più che un aiuto per la corretta soluzione.
Il fatto è che in matematica occorre sempre *dimostrare*. Questo io ho sottolineato ai ragazzi.
Prof, dimmi tu.
A ogni buon conto: complimenti ai ragazzi che hanno lavorato. Bravi, avete ragionato e, come sempre uso dire, siete cresciuti!
ciao, tutti,
sì, entro stasera i nuovi quesiti.
g

Davide Bortolas ha detto...

Allora, ragazzi, (perché, Giovanna, più che rispondere a te qui mi pare ci sia bisogno di dire qualcosa proprio ai ragazzi),
questa è una buona occasione per imparare qualcosa:
io a prestare più attenzione nel formulare le domande;
voi a ragionare più a fondo prima di buttare lì le risposte.
Sì, perché la prof ha ragione e straragione. E quante volte ho detto e ripetuto che non conta quello che "si vede" ma quello che "si dimostra"? Meditate gente, meditate.

Aggiungo: qualcuno avrà notato che stavolta non ho fatto complimenti ai solutori. Non è una scelta voluta ma forse non è nemmeno un caso...
Ma anche in questo la prof ha ragione: i complimenti vanno senz'altro a tutti quelli che ci hanno provato, hanno ragionato e quindi sono cresciuti.
...la prossima volta però possiamo fare meglio!
Tra l'altro, nel frattempo, su Matematicamedie la prof Giovanna ha pubblicato i nuovi quesiti. Una buona occasione per crescere ancora! :-)

Anonimo ha detto...

Domanda: se apro a pagina 379 e sommo i numeri ottengo 3+7+9= 19;
la pagina seguente 380 è 3+8+0=11
19+11= 20

Quindi la risposta non è sempre valida se sommo le cifre delle pagine, mentre lo è se sommo i numeri delle pagine?

Davide Bortolas ha detto...

In effetti se si sommano due numeri consecutivi qualunque si ha la certezza di ottenere un numero dispari. Questo è certo.

Se invece si sommano le cifre di due numeri consecutivi le cose si fanno più complicate. Quasi sempre tra i due numeri è solo l’ultima cifra che cambia di parità. La conseguenza è che la somma di tutte le cifre è un numero dispari.
Ad esempio con 378 e 379 si ha 3+7+8+3+7+9=37
Oppure con 380 e 381: 3+8+0+3+8+1=23

Come lei (tu?) ha notato fa eccezione il caso in cui il primo numero termini in 9. In questo caso cambiano parità la cifra delle decine e quella delle unità. Di conseguenza la somma di tutte le cifre sarà pari.
Ad esempio con 379 e 380: 3+7+9+3+8+0=30.
Cambiano parità il 7 (diventa 8) e il 9 (diventa 0).

Tutto ciò sembra confutare la risposta dei ragazzi con un buon controesempio.
A questo punto ho pensato di essere cascato in uno dei miei errori di distrazione. Mi salva il fatto che il quesito non parlava di due numeri consecutivi qualunque. Parla di aprire un libro e leggere il numero della pagina a sinistra e di quella a destra.
Ora, le pagine a sinistra hanno sempre numeri pari (la pagina 1 è sempre a destra…). Quindi non possono terminare con 9. Quindi il controesempio, pur valido in generale, non è valido per questo quesito.

La (ti?) ringrazio per questo intervento, che mi ha dato l’occasione per pensare un po’ più a fondo.

Profalmelli ha detto...

Grazie a te per la risposta e ti prego di continuare a darmi del tu: anche io insegno mate e scienze alle scuole medie e da poco ho scoperto il tuo bellissimo sito; ho così proposto a fine anno il quesito e la domanda sopra ti è stata posta dai miei alunni di prima dopo un'accesa discussione... così abbiamo anche imparato a scrivere in un blog! A settembre leggeremo insieme la tua risposta. Non mi dispiacerebbe continuare ad usare i quesiti che pubblichi che anche i miei ragazzi hanno trovato veramente interessanti e se fosse possibile condividere le risposte oppure collaborare in qualche modo... Buone vacanze! Alessandro

Davide Bortolas ha detto...

@profalmelli,
che bello! Per quanto riguarda l'uso in classe dei quesiti non c'è nessun problema. Per l'eventuale collaborazione... parliamone!
Mandami una mail in privato:
davidebortolas@hotmail.com

Ciao.