giovedì 25 febbraio 2016

Due a settimana..._15, le nostre soluzioni

Bene, signori, la campanella è suonata.
Prendete posizione, cominciamo. Anche tu là in fondo all'ultimo banco... ecco, bravo, grazie.
L'argomento di oggi è: le soluzioni ai giochi matematici proposti dalla prof Giovanna nell'ultima puntata di Due a settimana....
Solo un attimo, compilo il registro e possiamo cominciare con le nostre risposte ai quesiti.

IL PRIMO
Sembra giusto dare la precedenza a Daniele, gradito ospite.
(Ho pensato e ripensato ai miei allievi attuali, nessun Daniele. Ho pensato ai miei ex-alunni, nessun Daniele da diversi anni. Ho riletto il commento che mi ha inviato: sembra proprio scritto da una ragazzo, non da un fisico nucleare in pensione. Mi viene il dubbio che Daniele sia un alunno della prof Giovanna. Può essere? O forse è uno che semplicemente si guarda in giro e fa lavorare le proprie sinapsi? Comunque sia, bravo Daniele!)
Ecco la sua risposta, copiata alla lettera, ho solo aggiunto l'unità di misura finale per uno slancio di pignoleria.

La risposta di Daniele è... 
100 perché i raggi dei cerchi coincidenti con parti del perimetro del rettangolo piccolo sono 12, quindi ho diviso 60 per 12 e mi è venuto 5. Poi ho contato i raggi coincidenti con il perimetro del rettangolo grande (20) e, moltiplicando 20 per 5, ho ottenuto 100 cm.

Stefano P risponde in maniera simile ma ragiona con i diametri:
per calcolare il perimetro del rettangolo grande devo prendere l'altro perimetro e dividerlo in 6 segmenti da 10 cm e dato che ogni segmento è pari a un diametro, posso ricavare il perimetro del rettangolone che è fatto da 10 diametri interi, quindi 100 cm.


Aggiungerei anche la risposta di Naomi R. Il suo ragionamento è lo stesso di Daniele, con l'aggiunta di un disegno in Geogebra (ad essere pignoli anche qui, si potevano nascondere alcuni punti e alcune linee... ma apprezzo comunque).

Conoscendo il perimetro del rettangolo piccolo posso trovare la misura del raggio facendo 60cm:12=5cm (12 perché è la somma dei  raggi che compongono il perimetro del rettangolino).
Dopodiché trovo la misura del lato EH, che è uguale al lato FG, facendo il numero dei raggi che compongono il lato grande x 5cm= 4x5cm=20cm.
Trovo EF=HG=6X5cm=30cm.

Infine trovo il perimetro facendo 2pEFGH=20cmx2+30cmx2=100cm.

Ha inviato una mail anche Mattia C, il quale trova la risposta corretta, anche se parla ad esempio di "ipotizzare che nel rettangolo interno il lato corto sia 1/2 del lato lungo" mentre non si tratta di ipotizzare, si tratta di osservare (uno è formato da due raggi e l'altro è formato da quattro raggi...).

Le altre risposte corrette, arrivate per via cartacea, sono di Francesco A, Ismaele M, Mattia C, Moris N, Nelson R, Pietro B. Anche Iman B scrive un suo ragionamento in cui si intuisce che ha intuito. Però la risposta finale... manca. E anche la chiarezza dell'esposizione potrebbe migliorare, diciamo così.  :-)


IL SECONDO
Si trattava di leggere con attenzione le cinque affermazioni e lavorare di logica per decidere se sono vere o false.

Diamo di nuovo la precedenza a Daniele:

Risposta falsa: 3. La prima è giusta perché sommando 4 numeri dispari si ottiene sempre un numero pari; la seconda è giusta perché ad esempio 5+7+9+11 fa 32, un multiplo di 16; la terza è sbagliata perché 1+3+5+7 fa 16, che è un quadrato; la quarta è giusta perché 13+15+17+19 fa 64, il cubo di quattro; la quinta è giusta perché la somma dei primi quattro numeri dispari consecutivi (1+3+5+7) è 16.

Seguo con rigore l'ordine temporale con cui le risposte mi sono arrivate e cedo la parola a Stefano P:
ho provato con varie sequenze di numeri dispari consecutivi, partendo da 1 + 3 + 5 + 7. I risultati sono: 16, 24, 32, 40, ecc. che sono i numeri della tabellina dell'8, ma partendo da 8 x 2. 
Quindi la 1 è vera, la 2 è vera perché c'è ad esempio il 32, la 4 è vera perché c'è il 64, la 5 è vera perché si parte da 16 e solo la 3 è falsa perché 16 è un quadrato perfetto.

Tocca a Naomi R, la quale argomenta bene, esaminando frase per frase: 

1. S è pari.
Giusta perché il risultato minimo che puoi ottenere con quattro numeri interi dispari positivi è 16 (che viene da 1+3+5+7) il secondo risultato minimo che puoi ottenere con quattro numeri interi dispari positivi è 24 (dato da 3+5+7+9) la differenza che c’è tra i due risultati è di 8 quindi se vado avanti avanzerò sempre di 8 il che vuol dire che il risultato sarà sempre pari.
4 numeri interi dispari positiviTabellina dell’8
1+3+5+7=168x2=16
3+5+7+9=248x3=24
5+7+9+11=328x4=32
7+9+11+13=408x5=40
9+11+13+15=488x6=48



Inoltre seguendo il suggerimento della prof di considerare n come un numero dispari, posso scrivere che:

S = n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) = 4n + 12. Ho provato poi a fare degli esempi:
se n = 1   =>   S = 4x1+12 = 16
se n = 3   =>   S = 4x3+12 = 24
se n = 5   =>   S = 4x5+12 = 32


2. S può essere multiplo di 16.
Giusta perché 13+15+17+19 = 64


3.S non è mai un quadrato perfetto
Sbagliata perché  1+3+5+7=16. 4 al quadrato = 16

4. S può essere un cubo perfetto
Giusta perché 13+15+17+19=64. 4 al cubo = 64


5. S è sempre maggiore o uguale a 16
Giusta perché il risultato minimo che si può ottenere con i numeri interi positivi dispari consecutivi è 1+3+5+7 = 16.

Hanno risposto bene anche Francesco A (risponde giusto ma non spiega), Ismaele M (ma attenzione, per mostrare che la prima risposta è vera non può bastare fare degli esempi, serve un ragionamento generale, una dimostrazione oserei dire), Pietro B (B come Bravo, buona risposta).


IL TERZO
Anche qui la parola va al misterioso Daniele, che risponde bene e con bella sintesi. Forse stavolta eccede un pochino con la sintesi:
La risposta è 1u2 perché il triangolo BFC è congruente a ADE e il triangolo DHC lo è di ABE.

Qui è bene avere sotto occhio la figura. Eccola, copiata direttamente dal blog della prof Giovanna.
Altrettanto sintetico è Stefano P, il quale però aggiunge un paio di paroline che rendono il tutto più chiaro:


Per trovare l'area del quadrato sposto BFC su AED che sono congruenti così come DCH su ABE. A questo punto si capisce che l'area del quadrato è uguale alla parte blu cioè 1u2.

Nessuno dei due però ha spiegato perché possiamo dire che i triangoli citati sono congruenti. Questione non da poco. 
Ma era proprio necessario usare la congruenza? In fondo non è strettamente necessario che i triangoli siano sovrapponibili, basta che siano equivalenti. In altre parole ci interessa che abbiano la stessa area.

È proprio ciò che mostra Naomi R. Vediamo cosa scrive. 
Osservando la parte colorata, ho visto che AB misura quanto DC e che le altezze di entrambi i triangoli ABE e DCH sono uguali e quindi l’area del triangolo ABE è uguale all’area del triangolo DCH.
Poi ho notato che l’area del triangolo ADE è uguale all’area del triangolo BCF poiché AD misura come BC e anche le due altezze coincidono;

Infine la parte colorata che rimane è quella compresa nel quadrato.

Quindi l’area del quadrato ABCD sarà uguale all’area della parte colorata e cioè 1 u al quadrato.

Rispondono anche Francesco A (il quale per la verità consegna un disegno da cui, con uno sforzo di fantasia, si intuisce la risposta; forse una qualche frase avrebbe aiutato!), Ismaele M (anche lui ragiona bene con le aree, però poi scrive "quindi posso sovrapporre il triangolo...". Occhio: se due triangoli sono equivalenti - area uguale - non è detto che siano congruenti - cioè sovrapponibili -).
E infine Pietro B il quale individua triangoli congruenti diversi da quelli usati dagli altri. Il disegno che ha consegnato è fatto a mano su un foglio protocollo. Siccome mi piacciono i colori faccio lo sforzo immane di fare perfino una scansione del disegno. Se poi Pietro volesse sfruttare le tante risorse informatiche a disposizione delle nuove generazioni io gliene sarei tanto grato :-)

Sono già molto grato alla prof Giovanna per averci regalato un'altra occasione per far funzionare i nostri ingranaggi mentali.
Non sono molti quelli che l'hanno sfruttata, devo dire e...
Starei per iniziare il solito predicozzo sulla necessità di impegnarsi eccetera eccetera ma suona la campanella! L'ora è finita, tutti schizzano in piedi, nei corridoi già si sente il vociare delle altre classi che stanno uscendo.
Vorrei fare i complimenti a tutti quelli che ci hanno messo un po' di impegno ma quasi nessuno sta più ascoltando.
Devo alzare la voce per dare l'appuntamento a...  vediamo, a quando? Al più presto, può andar bene?
Alzo la voce ancora di un tono: appena avrò preparato i nuovi questi di Sarà Mica Matematica!
Ma ormai tutti sono già alla porta.
Usciamo, non vorrei che lo scuolabus partisse senza di noi.

AGGIORNAMENTO: Nella mia borsa si sono accumulati alcuni pacchi di verifiche, alcune corrette, altre ancora da correggere... nella mia testa si accumula la stessa confusione!
Sarà per questo che ho dimenticato la mail di Mattia C, che era stato proprio il primo a rispondere?
Ad ogni modo, per stavolta sono riuscito a rimediare e ho inserito la risposta di Mattia.
 

3 commenti:

giovanna ha detto...

Aiuto, sigh sigh,
voi siete stati bravi, anzi molto bravi, alunni e prof, e io invece, non sono ancora pronta! :-(
Beh insomma, do al prof ancora un paio di giorni per pensare al nuovo Sarà mica matematica :-)
... e pure io avrei un pacco di verifiche da correggere. Dio, che fine settimana ....!
g

Davide Bortolas ha detto...

Oh, prof, attendere un paio di giorni è tutto fuorché un problema!
Prenditela pure comodissima. :-)
Da parte mia penserò con calma ai nuovi quesiti, cercherò il coraggio di correggere le verifiche e mi preparerò psicologicamente alla gita scolastica di settimana prossima.
Anzi, ho cercato di pubblicare le risposte un po' in fretta proprio per poter fare tutto il resto in tempo.
Allora... buon fine settimana :-))

giovanna ha detto...

Bene, pubblicato. Mi restano le verifiche, domattina. Di pomeriggio distribuzione schede e colloqui!
A te, buona gita! ehm :-)
g
ps: no no, Daniele non è un mio alunno né ex. Bravo anche da parte mia! :-)