Sarà mica matematica, puntata 4

Le facce del nastro

Ci sono alcuni argomenti del folklore matematico di cui non si può non parlare, 

anche se sono molto noti: non si sa mai. Un ottimo esempio è il nastro di Möbius.

(Ian Stewart, La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart)

In questa puntata di Sarà mica matematica si tratta di un gioco più che di un quesito. Non ci faremo mancare le domande ma non ci sarà molto su cui arrovellarsi: le risposte dovrebbero essere piuttosto semplici, basterà seguire le istruzioni e osservare con un po' di attenzione quello che si è ottenuto.

Cosa serve

• 2 striscie di carta, circa 30 x 3 cm;
• colla (ma va bene anche del nastro adesivo)
• forbice
• matite colorate

Cosa fare, passo per passo

Primo passo: prendete una striscia di carta. Ponetevi la domanda: quante facce ha? Esatto: ha due facce. Qualcuno in seconda B ha fatto notare che la striscia di carta è in realtà un parallelepipedo: anche i bordi hanno una loro superficie e dovremmo considerarli delle facce. È un'ottima osservazione e se ne potrebbe parlare a lungo. Potremmo, ad esempio, discutere del fatto che gli oggetti reali possono essere alpiù dei modelli, delle rappresentazioni degli oggetti matematici, i quali sono qualcosa di astratto e si possono solo immaginare: nel momento esatto in cui li costruiamo o li disegniamo, smettono di essere quello che  dovevano essere.

Ma questa discussione ci porterebbe troppo lontano e fuori strada. Quindi la chiudiamo qui e ci limitiamo a stabilire che chiamiamo faccia le parti più ampie della striscia, e chiamiamo bordo le parti più sottili.

Allora, secondo passo: piegate la striscia di carta, formate un anello (una specie di cilindro) e incollate le due estremità. Quante facce ha l’anello? E quanti bordi? Esatto: ha due facce e due bordi. È possibile colorare una faccia con un colore e l’altra con un colore diverso.

Bene. Terzo passo: prendete l’altra striscia e costruite un altro anello. Stavolta, però, prima di incollare le due estremità, torcetene una di 180°. Il disegno qui di fianco dovrebbe aiutarvi a capire meglio cosa fare.

Le domande sono sempre le stesse: quante facce ha? E quanti bordi? Stavolta il disegno potrebbe ingannare: io ho usato due colori per rendere meglio l’idea della forma del nastro. Voi potreste fare una prova: cominciate a colorare una faccia e continuate finché c’è carta da colorare. Potreste anche provare a percorrere un bordo con un dito fino a tornare al punto di partenza. Fatte queste due esperienze, le risposte dovrebbero essere  più semplici. E piuttosto sorprendenti.

Se avete trovato le risposte, potete passare al quarto passo: prendete l’anello cilindrico (il primo, quello con due facce), disegnate una linea che percorra una delle due facce lungo la metà  della sua altezza. Poi, con una forbice, tagliate il nastro seguendo la linea mediana che avete disegnato. Cosa succede? Quanti nastri si formano? Esatto: si formano due anelli separati, ognuno con due facce e due bordi, proprio come l’anello di partenza.

Quinto passo: fate la stessa cosa con il secondo nastro, quello con un’estremità torta a 180°. Disegnate la linea mediana e tagliate. Stavolta cosa è successo? Quanti nastri si sono formati?

Volendo si potrebbe tentare anche un sesto passo: prendere il risultato del quinto passo e ripetere l’operazione di taglio lungo la linea mediana. Stavolta cosa succede? Quanti nastri? Come sono fatti?

Come al solito, venerdì prossimo (25 novembre, un mese a natale!) discuteremo i risultati.

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Nota di domenica 27 novembre: vincitori e soluzioni sono a questo indirizzo.

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