Sarà mica matematica 17, le soluzioni

Per una mia dimenticanza, i secondini non avevano ricevuto le sequenze numeriche in tempo, quindi ho concesso loro un intero fine settimana per lavorarci su. Loro ci hanno messo un grande impegno e alla fine di questi tempi supplementari, le risposte sono state… una. Sono soddisfazioni :-D

Da qualche puntata a questa parte è nato un quasi gemellaggio (di cui vado orgoglioso) con la prof . Giovanna di Matematicamedie e i suoi alunni.  Causa neve, carnevale e altre disgrazie (o fortune, secondo i punti di vista) i loro ritmi scolastici hanno subito qualche intoppo. Così ho rallentato un po’ anche qui, per lasciare che anche loro si arrovellassero con calma.

Bene. Portata la giustificazione per il ritardo, vediamo le risposte ai quesiti (le domande si trovano da quest’altra parte).

Il primo

Per le sequenze numeriche sono arrivate diverse risposte  e qualche spunto interessante e inaspettato.

La prima sequenza, ad esempio. Secondo le mie previsioni, e secondo la maggior parte di coloro che hanno risposto, si completava così:

53,   41,   29,   17    (sottraggo 12 ad ogni passaggio)

Hanno risposto (dando una spiegazione, altrimenti non vale): Alice D., Aman A., Carolina D.M., Ismaele M., Sarah T., Sophia Z., Valentina V. tra i primini, Alex Z. (unico secondino!) e Nicholas S. (unico terzino!!).

Anche Stefano S. (prima B) ha dato la stessa soluzione ma ha notato anche una strana coincidenza (lui per la verità ha fatto un errorino ma, insomma, l’osservazione resta buona): scorriamo l’elenco dei numeri primi:

…, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, …

Notate qualcosa?  Esatto: tutti i numeri della nostra sequenza sono primi e sono tutti a una distanza di due numeri primi tra loro!

È una coincidenza affascinante. Non me n’ero proprio accorto. Chissà se se ne erano accorti tutti i matematici che si sono rotti la testa sul segreto della distribuzione dei numeri primi. Gauss, Riemann, Hardy, quella gente lì. Siamo forse sulla buona strada per dimostrare la congettura di Riemann? :-)

Tavole numeriche alla mano, controlliamo: 17-12 = 5. Un altro primo! Peccato solo che tra 17 e 5 ci siano tre primi, non due: 13, 11, 7.

Un altro tentativo 53 + 12= 65. Niente da fare, stavolta non è un numero primo (è divisibile per…?).

D’accordo, forse non dimostreremo la congettura di Riemann. Sarà per un’altra volta.

Ora, questa specie di “regola del 12” (possiamo chiamarla così?) mi fa venir voglia di buttare lì una domandina. Però mi trattengo: magari la rimandiamo alla prossima puntata.

La seconda sequenza si può completare in questo modo:

4, 16, 256, 65536 (ad ogni passaggio elevo al quadrato, ossia: 4²=16,   16²=256,   256²=65536)

Hanno risposto e spiegato: Alice D., Sophia Z., Valentina V. tra i primini, Alex Z. di seconda e Nicholas S. di terza.

La stessa idea si può esprimere anche in maniera diversa. Non male, ad esempio, il sistema di Ismaele M. (prima B): la sequenza è fatta dalle potenze del quattro, raddoppiando ogni volta l’esponente. Ovverosia:

4¹=4,   4²=16,   4⁴=256,   4⁸=65536

La terza sequenza ha questo completamento:

5,   47,   467,   4667 (ogni volta moltiplico per 10 e sottraggo 3)

Hanno scoperto la sequenza e fornito questa spiegazione Alex Z. (seconda B) e Nicholas S. (terza B). Altri hanno trovato il numero giusto ma non danno spiegazioni (e così non vale, l’ho già detto?).

Allo stesso risultato, ma per una strada diversa, sono arrivati anche Ismaele M. e Sophia Z.. Giocano entrambi in prima B ed entrambi – anche se ognuno a proprio modo -  danno questa spiegazione:

5 + 42 = 47,    47 + 420 = 467,    467 + 4200 = 4667

Le tre sequenze per i terzini sono risultate più complicate (forse anche perché pochi ci hanno provato…?).

L’unico terzino a dare tutte le tre risposte con spiegazione è stato Nicholas S., per due su tre c’è riuscito anche Alex Z., di seconda (…!).

Le risposte:

-12,   120,   -1200,   12000 (ogni volta moltiplico per -10)

20736,   -1728,   144,   -12 (ogni volta divido per -12)

5,   -11,   -27,   -43 (ogni volta sottraggo 16)

Per quest’ultima sequenza è possibile almeno un’altra soluzione, più complicata, che nessuno ha trovato:

5,   -11,   21,   -43 (ogni volta moltiplico per -2 e sottraggo 1)

Il secondo

La difficoltà sta tutta nel disegno. E anche la strada per la soluzione. Quello che trae in inganno è la scelta di disegnare proprio il diametro AB.

Basta scegliere un altro diametro, ad esempio CD, ed è subito più facile vedere che CD è 4 volte la diagonale di uno dei piccoli rettangoli del reticolo.

Una diagonale è allora 20 cm: 4 = 5 cm
Il perimetro della figura colorata è composto da 8 diagonali.

Quindi perimetro = 5 cm x 8 = 40 cm

Hanno risposto i seguenti signori.

Per i primini: Carolina D.M., Ismaele M. e Sophia Z.

Per i secondini: Alex Z. e Massimiliano C.

Per i terzini: Matteo C. e Nicholas S.

Non molti. Per la verità devo dire che parecchi altri hanno dato la soluzione esatta ma non hanno spiegato come ci sono arrivati. Sarò un po’ rompiscatole ma insisto: il risultato conta ma conta di più il ragionamento. E il ragionamento va spiegato.

Un complimento a tutti quelli che ci hanno provato, compresi anche i ragazzi della prof Giovanna. A proposito: per sapere come se la sono cavata potete guardare qui.

Oh, quasi dimenticavo: la domanda con il cerchio e il poligono tratta da uno dei vecchi testi delle gare Kangourou (non ricordo più quale, ehm).
Non l'ho copiata perché non avessi idee migliori (...va bene, un po' anche per quello): è un modo per augurare un "in bocca al lupo" ai 28 ragazzi e ragazze della nostra scuola che il 21 marzo parteciperanno ai giochi di quest'anno.