Sarà mica matematica 11, le soluzioni

Qui si discutono le risposte. Chi cercasse le domande le può trovare da quest’altraparte.

Dunque, vediamo, la tabellina del 21...

La soluzione
Bisogna trovare i multipli di 21 con tre cifre.
Non è difficile trovare, per tentativi, il più piccolo di essi: dato che 21x4=84 e 21x5=105, sono da scartare i primi 4 multipli di 21.
Partendo dal 105, si può continuare ad aggiungere 21 fino a trovare un numero che abbia 4 cifre, che sarà da scartare. In questo modo, però c’è da fare un bel po’ di calcoli.
Più veloce sarebbe riuscire a scoprire qual è il più grande multiplo di 21 con tre cifre.
Dato che

1000:21 = 47,6 (non serve calcolare altri decimali)

è evidente che 47 è il più piccolo numero intero che, moltiplicato per 21, dia un risultato minore di 1000 (che è il primo numero a 4 cifre).
Infatti 21x47=987 e  21x48=1008.

Quindi ci sono 47 multipli di 21 minori di 1000, da questi bisogna togliere i primi 4 (che, come abbiamo visto, hanno solo due cifre). 

47 - 4 = 43

Esistono 43 multipli di 21 con tre cifre.

I solutori
Hanno trovato la soluzione seguendo la strada faticosa dei tanti calcoli: Fabio P., Giulia R. e Noemi C. di prima B., e Matteo C. di seconda B (a quest’ultimo va riconosciuto che ha fatto un pezzo di ragionamento in più, anche se non ha evitato i tanti calcoli).
Matteo N., di seconda B, ha fatto esattamente il ragionamento che ho tentato di esporre sopra. Poi però ha sbagliato l’ultimo passo: ha fatto la sottrazione 47-5=42. Ha dato una risposta sbagliata ma una nota di merito non gliela leva nessuno.


Allenarsi all'invalsi

Questo problemino mi ha insegnato qualcosa: mai fidarsi troppo delle proprie abilità e mai proporre un giochino che ti sembra facile senza averci pensato per bene.
Avevo letto la domanda da qualche parte, non so proprio più dove (a proposito: se l’autore originario passasse da queste parti, me lo dica e mi affretterò a riconoscere la paternità del gioco). Mi era sembrata una domanda facile e non mi ero preso la briga di leggere la risposta. 

Per trovare la soluzione basta fare il disegno, aggiungere i rametti necessari per 10 volte e contare i rametti totali. Un’operazione un po’ lunga ma non troppo complicata.

Il risultato è 1023.

La cosa potrebbe fermarsi qui e in una prova Invalsi farei così. Ma mi ero sbilanciato a chiedere un ragionamento in più, a trovare una formula che permettesse di trovare il numero non solo al decimo anno, anche al centesimo, ad esempio. Ho scoperto poi che fare quel ragionamento, davanti a una lavagna nera e con 24 ragazzi alle spalle, non è affatto semplice come pensavo. Infatti non ci sono riuscito.

Mi ci sono dovuto mettere poi, con un po’ di calma. Se trovare la soluzione non è stato facilissimo, riuscire a spiegarla potrebbe rivelarsi troppo difficile. Faccio un tentativo.

Tralasciamo per un attimo il passaggio del primo anno.

Al secondo anno, i rametti sono 2. Al terzo anno e ne aggiungono 4, cioè 2x2, cioè 2². Al quarto anno si aggiungono (2²)x2 rametti, cioè 2³.

Da qui in poi si continua in questo modo: ad ogni anno si aggiunge il doppio dei rametti dell’anno prima. Si avrà questa sequenza:
2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹  =

= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512

A questo punto possiamo notare che:

1) Ogni numero della sequenza è esattamente uguale alla somma di tutti i numeri che lo precedono aumentata di 2. Ad esempio: 8 = (2 + 4) + 2 oppure 16 = (2 +4 + 8) + 2.

2) L’ultimo numero della sequenza è 2⁹, quindi il numero successivo (che sarebbe 2¹⁰) deve essere la somma di tutti i numeri della sequenza, compreso 2⁹, aumentata di 2. Ora: siccome 2¹⁰= 1024, la somma di tutti i nostri rametti sarà 1024 – 2 = 1022.

3) Dobbiamo ricordare che non avevamo considerato il rametto iniziale, quello piantato a terra. Se ora lo aggiungiamo al totale otterremo 1023. Potremmo anche dire che anziché fare 1024 -2, possiamo fare 1024 – 1 = 1023.

4) Infine notiamo che stiamo cercando la somma di 10 anni di rametti, e 1024 è proprio 2¹⁰. Se adesso chiamiamo n il numero di anni trascorsi, la formula che cercavamo è:

numero rametti = 2ⁿ -1 

Non vorrei esagerare. So di aver già perso metà dei lettori da almeno una decina di righe. Per i più temerari butto lì una spiegazione un pizzico più rigorosa, modello libro di testo, o quasi.

Abbiamo già visto che la nostra sequenza è del tipo

2¹ + 2² + 2³ + 2⁴…

Se consideriamo anche il rametto iniziale, la sequenza diventa
1 + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴…

Ora, aggiungiamo temporaneamente 1 all’inizio. La sequenza diventa
2 + 2¹ + 2² + 2³+ 2⁴ …

I primi due termini sono 2 + 2, cioè 4, cioè 2². La sequenza diventa allora
2² + 2² + 2³+ 2⁴ …

Ora i primi due termini sono 2²+ 2²cioè 2x(2²), cioè (2¹)x(2²) cioè 2³ (applicando le proprietà delle potenze). La sequenza diventa

2³+2³+ 2⁴ …

Si può continuare in questo modo finché si vuole. Nel nostro caso ci fermiamo a 2⁹ + 2⁹, che è 2x(2⁹) = (2¹)x(2⁹) = 2¹⁰ =1024.

Adesso è il momento di togliere quell’1 che avevamo aggiunto temporaneamente all’inizio.

Si ottiene 1024 – 1 = 1023.

In altre parole, la formula è di nuovo:

numero rametti = 2ⁿ -1 

I solutori
Hanno dato la risposta esatta: Fabio P., Giulia R. e Riccardo C.. A quest’ultimo va un plauso perché, oltre a dare il numero, ha fornito anche una spiegazione. Nelle sue parole: numero + stesso numero + 1 (gambo). Es. 3 + 3 + 1 = 7 (terzo anno). Il suo sistema è senz’altro giusto. Certo, non risparmia di fare tutti i calcoli fino al decimo anno ma, insomma, è qualcosa.

Complimenti a lui, a tutti i solutori e a tutti quelli che ci hanno provato.