Due a settimana..._16, le nostre soluzioni

Proprio non mi spiego come mai io sia di buonumore.
Forse si sentivano così i musicisti dell’orchestra del Titanic. Continuavano a suonare mentre la nave inaffondabile affondava.
Pochi motivi giustificano questa allegria. Forse soltanto la primavera fuori dalla mia finestra.

La scadenza dei giochi matematici di Due a settimana…_16 è ampiamente passata. La prof Giovanna ha pubblicato le risposte dei suoi ragazzi, ottime e abbondanti. Io guardo le risposte dei “miei” ragazzi: cinque in tutto, quasi tutte piuttosto striminzite.
Eppure resto di buonumore. E non so proprio perché.
Forse perché per una volta si tratterà di scrivere un post piuttosto veloce. Rapido da scrivere e anche da leggere. È facile, basta passare in rassegna le risposte ai due quesiti.

IL PRIMO

Facciamo passare in ordine di arrivo.

Stefano P: per sapere a quale numero corrisponde il 2016° numero provo a continuare la serie. Ogni 8 numeri la serie si ripete e da come risultato 89. Dato che il numero 2016 è divisibile per 8, il risultato sarà 89.

6° = 22 + 52 = 29
7° = 22 + 92 = 85
8° = 82 + 52 = 89
9° = 82 +92 = 145
10° = 12 + 42 + 52 = 42
11° = 42 + 22 = 20
12° = 22 + 02 = 4
13° = 42 = 16
14° = 12 + 62 = 37
15° = 32 + 72 = 58
16° = 52 + 82 = 89
17° = 82 +92 = 145
18° = 12 + 42 + 52 = 42
19° = 42 + 22 = 20
20° = 22 + 02 = 4
...
24° = 89
...
32° = 89
...
40° = 89
...
2016° = 89
 
Mattia C: i numeri si ripetono.
Caro Mattia, a volte può essere molto efficace lasciare sottintese alcune parti del discorso. Forse stavolta hai un pizzico esagerato con il “non detto”.

Naomi R comincia con un elenco che io ho trasformato in immagine.

 

Dopodiché Naomi spiega: ai numeri totali, che sono 2016, tolgo i primi 7 perché non si ripetono, perciò: 2016-7=2009.
Ho visto che dall’ 8° numero in poi si ripete una sequenza formata da 8 numeri. Per vedere quante volte si ripete questa sequenza faccio: 2009:8=251 con il resto di 1.
Quindi l’ultima sequenza ricomincerà con un numero che è il primo numero di ogni pacchetto, cioè 89= 5²+8²


Nelson R mi consegna un foglio scritto a mano. Vista la situazione posso perfino trascrivere le sue parole: per me il 2016° numero è 89 perché, se vai avanti a fare i calcoli, scopri che dopo ogni otto numeri esce sempre il numero 89.
Mi voglio rovinare, aggiungo anche una scansione del foglio!

Alberto C: Ho calcolato la somma delle potenze di ogni numero finché ho trovato che ogni otto numeri esce 89 come costante quindi il 2016 numero sarà 89.

Per essere pignoli: nelle risposte di Nelson e Alberto manca una parte del ragionamento: se ogni otto numeri si ripresenta 89, come posso sapere che il 2016° sarà proprio 89?

 
IL SECONDO

Stefano P allega l’immagine che riporto qui sotto e spiega:

Per calcolare l'area della stella la divido in 4 triangoli: ABC, ABD, EFG e HIL. Se ogni quadratino ha l'area d 25 mm², il suo lato sarà la radice quadrata di 25 cioè 5 mm.

Inizio con l'area di ADBC calcolando l'area del triangolo ABC e sottraendo quella di ABD.
Area ABC (che ha 6 quadratini di base e 6 di altezza) = (30 x 30) : 2 = 450 mm².
Area ABD = (30 x 10) : 2 = 150 mm².
Area ADBC = 450 - 150 = 300 mm².
Adesso calcolo l'area di EFG (che è uguale a quella di HIL perché hanno la stessa base e la stessa altezza): (10 x 5) : 2 = 25 mm².
L'area della stella è la somma di ADBC + EFG + HIL = 300 + 25 + 25 = 350 mm².


Mattia C spiega: Per calcolare l'area della stella stella basta calcolare l'area dei quadrati di cui è formata e dei triangoli rettangoli.
Bene, poi però sbaglia qualcosa con i calcoli…

Naomi R fornisce una spiegazione dettagliata. Purtroppo fa riferimento a un’immagine che non ha inviato. Quella qui sotto è una mia ricostruzione.

Ho deciso di togliere le parti bianche dall’area del quadrato ABCD per trovare l’area della stella.
Ogni quadratino ha il lato di 5mm, la stella è simmetrica quindi AEFH=EBLJ e HGD=LKC.
Area trapezio AEFH = (B+b) x h : 2 = (15+10) x 10 : 2 = 125 mm2.
Area triangolo DIC = b x h : 2 = 30x10 : 2 = 150 mm2.
L’area del triangolo HGD la trovo togliendo dal triangolo AED, l’area del trapezio AEFH e quella del triangolo HFG.
Area triangolo HFG = 10 x 5 : 2 = 25 mm².
Area triangolo AED = 15 x 30 : 2 = 225 mm².
Area triangolo HGD = AED - (AEFH+HFG) = 225 - (125+25) = 75 mm².
Quindi la parte bianca ha un’area di 125x2 + 75x2 + 150 = 250 + 150 + 150 = 550 mm².
Area quadrato ABCD = 36 x 25 = 900 mm².
Area stella = 900 - 550 = 350 mm².

Alberto C sintetizza sintetizza, sintetizza fin troppo: ho cercato e ricomposto i quadrati all'interno della stella e ho visto che sono 14 quindi ho fatto 14 x 25 , i millimetri quadrati di ogni quadrato, e il risultato è 350 mm2. L'area della stella è 350 mm². …e basta.

Nient'altro da dire.
Se non ringraziare la prof Giovanna per averci offerto un'altra occasione di ragionare e complimentarmi con chi ha sfruttato l'opportunità.

Come già anticipato dalla prof Giovanna, tocca a me proporre gli ultimi quesiti di questa stagione. Sarà la puntata numero quaranta di Sarà mica matematica (!)
Un quesito l'ho già in mente, più o meno. Un altro lo troverò.
Sempre ammesso che nel frattempo la nave non sia affondata.