mercoledì 20 aprile 2016

Due a settimana..._16, le nostre soluzioni



Proprio non mi spiego come mai io sia di buonumore.
Forse si sentivano così i musicisti dell’orchestra del Titanic. Continuavano a suonare mentre la nave inaffondabile affondava.

 
Pochi motivi giustificano questa allegria. Forse soltanto la primavera fuori dalla mia finestra. 

La scadenza dei giochi matematici di Due a settimana…_16 è ampiamente passata. La prof Giovanna ha pubblicato le risposte dei suoi ragazzi, ottime e abbondanti. Io guardo le risposte dei “miei” ragazzi: cinque in tutto, quasi tutte piuttosto striminzite.  

Eppure resto di buonumore. E non so proprio perché.
Forse perché per una volta si tratterà di scrivere un post piuttosto veloce. Rapido da scrivere e anche da leggere. È facile, basta passare in rassegna le risposte ai due quesiti.
 

IL PRIMO
Facciamo passare in ordine di arrivo.

Stefano P: per sapere a quale numero corrisponde il 2016° numero provo a continuare la serie. Ogni 8 numeri la serie si ripete e da come risultato 89. Dato che il numero 2016 è divisibile per 8, il risultato sarà 89.

6° = 22 + 52 = 29
7° = 22 + 92 = 85
8° = 82 + 52 = 89
9° = 82 +92 = 145
10° = 12 + 42 + 52 = 42
11° = 42 + 22 = 20
12° = 22 + 02 = 4
13° = 42 = 16
14° = 12 + 62 = 37
15° = 32 + 72 = 58
16° = 52 + 82 = 89
17° = 82 +92 = 145
18° = 12 + 42 + 52 = 42
19° = 42 + 22 = 20
20° = 22 + 02 = 4
...
24° = 89
...
32° = 89
...
40° = 89
...
2016° = 89

Mattia C: i numeri si ripetono.
Caro Mattia, a volte può essere molto efficace lasciare sottintese alcune parti del discorso. Forse stavolta hai un pizzico esagerato con il “non detto”.


Naomi R comincia con un elenco che io ho trasformato in immagine.

 

Dopodiché Naomi spiega: ai numeri totali, che sono 2016, tolgo i primi 7 perché non si ripetono, perciò: 2016-7=2009.
Ho visto che dall’ 8° numero in poi si ripete una sequenza formata da 8 numeri. Per vedere quante volte si ripete questa sequenza faccio: 2009:8=251 con il resto di 1.
Quindi l’ultima sequenza ricomincerà con un numero che è il primo numero di ogni pacchetto, cioè 89=
52+82



Nelson R mi consegna un foglio scritto a mano. Vista la situazione posso perfino trascrivere le sue parole:
per me il 2016° numero è 89 perché, se vai avanti a fare i calcoli, scopri che dopo ogni otto numeri esce sempre il numero 89


Mi voglio rovinare, aggiungo anche una scansione del foglio!


Alberto C: Ho calcolato la somma delle potenze di ogni numero finché ho trovato che ogni otto numeri esce 89 come costante quindi il 2016 numero sarà 89.
Per essere pignoli: nelle risposte di Nelson e Alberto manca una parte del ragionamento: se ogni otto numeri si ripresenta 89, come posso sapere che il 2016° sarà proprio 89?
 
IL SECONDO
Stefano P allega l’immagine che riporto qui sotto e spiega:


Per calcolare l'area della stella la divido in 4 triangoli: ABC, ABD, EFG e HIL. Se ogni quadratino ha l'area d 25 mm2, il suo lato sarà la radice quadrata di 25 cioè 5 mm.

Inizio con l'area di ADBC calcolando l'area del triangolo ABC e sottraendo quella di ABD.
Area ABC (che ha 6 quadratini di base e 6 di altezza) = (30 x 30) : 2 = 450
mm2.
Area ABD = (30 x 10) : 2 = 150
mm2.
Area ADBC = 450 - 150 = 300
mm2.
Adesso calcolo l'area di EFG (che è uguale a quella di HIL perché hanno la stessa base e la stessa altezza): (10 x 5) : 2 = 25
mm2.
L'area della stella è la somma di ADBC + EFG + HIL = 300 + 25 + 25 = 350
mm2.

 
Mattia C spiega: Per calcolare l'area della stella stella basta calcolare l'area dei quadrati di cui è formata e dei triangoli rettangoli. 
Bene, poi però sbaglia qualcosa con i calcoli…

Naomi R fornisce una spiegazione dettagliata. Purtroppo fa riferimento a un’immagine che non ha inviato. Quella qui sotto è una mia ricostruzione.

Ho deciso di togliere le parti bianche dall’area del quadrato ABCD per trovare l’area della stella. 
Ogni quadratino ha il lato di 5mm, la stella è simmetrica quindi AEFH=EBLJ e HGD=LKC.

Area trapezio AEFH = (B+b)
x h : 2 = (15+10) x 10 : 2 = 125
mm2.
Area triangolo DIC = b x h : 2 = 30x10 : 2 = 150 mm2.

L’area del triangolo HGD la trovo togliendo dal triangolo AED, l’area del trapezio AEFH e quella del triangolo HFG.
Area triangolo HFG = 10
x 5 : 2 = 25
mm2.
Area triangolo AED = 15
x 30 : 2 = 225
mm2.
Area triangolo HGD = AED - (AEFH+HFG) = 225 - (125+25) = 75
mm2.

Quindi la parte bianca ha un’area di 125
x2 + 75x2 + 150 = 250 + 150 + 150 = 550
mm2.

Area quadrato ABCD = 36
x 25 = 900
mm2.

Area stella = 900 - 550 = 350
mm2.
 
Alberto C sintetizza sintetizza, sintetizza fin troppo: ho cercato e ricomposto i quadrati all'interno della stella e ho visto che sono 14 quindi ho fatto 14 x 25 , i millimetri quadrati di ogni quadrato, e il risultato è 350 mm2. L'area della stella è 350 mm2.
…e basta. Nient'altro da dire.
Se non ringraziare la prof Giovanna per averci offerto un'altra occasione di ragionare e complimentarmi con chi ha sfruttato l'opportunità.

Come già anticipato dalla prof Giovanna, tocca a me proporre gli ultimi quesiti di questa stagione. Sarà la puntata numero quaranta di Sarà mica matematica (!)
Un quesito l'ho già in mente, più o meno. Un altro lo troverò.
Sempre ammesso che nel frattempo la nave non sia affondata.

4 commenti:

giovanna ha detto...

Ehi, prof, se non avessi trovato le soluzioni, ora avrei scritto una mail ... preoccupata! :-) Non lo sai che sono un tantino ansiosa? :-) eh, la vecchiaia!
Ok, non numerosi, ma bravi i solutori. Io ho ottenuto qualcosina in più sotto minaccia! ;-)
Aspettiamo dunque l'ultima puntata
Un saluto
g

Davide Bortolas ha detto...

Hai ragione, per il post mi sono preso un bel po' di tempo :-)
Un po' per demoralizzazione, un po' perché ho voluto aspettare un paio di ritardatari che poi non sono nemmeno arrivati.

Però avevo scritto un commento alle vostre soluzioni. Forse ho fatto qualche pasticcio nell'inviarlo... (nel caso, ci riprovo).

In effetti il mio commento era abbastanza entusiasta. Tu hai ottenuto qualcosOna in più, mi pare. Forse devo ricorrere anch'io alle minacce? :-/

giovanna ha detto...

No, non è arrivato alcun commento. Ma non preoccuparti, mi hai detto qui.
E .... si ricorre a tutto pur di far lavorare! :-)
A presto,
g

Davide Bortolas ha detto...

Sì, di questa cosa dovrò cercare di ricordarmene! :-D