"Due a settimana", le nostre soluzioni

La prof Giovanna ha proposto un paio di quesiti. Vediamo quali risposte siamo riusciti a dare.

Quesito 1

Si è rivelato il più ostico, come si poteva prevedere.

Qualcuno (Lucrezia I., Valentina V. …) ha continuato la sequenza fino alla 15° riga e ha calcolato la somma. Il risultato, giusto, è 3375.

Però la prof aveva detto che si trattava di scoprire la regolarità, qualcosa che permetta di trovare la somma della riga 15 ma anche, in maniera rapida, anche della riga 100, ad esempio.

Dove cercare questa regolarità? Proviamo a calcolare le somme dei numeri delle righe date. Lo schemino usato da Sarah T. (prima B) mi sembra piuttosto chiaro:

1

3 + 5 = 8

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17+ 19 = 64

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125

A questo punto entra in gioco quel po’ di occhio (o orecchio, o naso, scegliete voi) che si acquisisce con l’esperienza. Quando hai giocato per qualche anno con certi numeri li riconosci come qualcosa di familiare. Altrimenti farai più fatica. Infatti i primini hanno cominciato a maneggiare i numeri con gli strumenti per loro più consueti: divisori, multipli, scomposizione in fattori primi… Altri hanno fatto la scoperta per via più diretta.

La scoperta è:  1 = 1³;  8 = 2³;  27 = 3³;  64 = 4³;  125 = 5³

Quindi, completando lo schema:

1 = 1³

3 + 5 = 8 = 2³

7 + 9 + 11 = 27 = 3³

13 + 15 + 17+ 19 = 64 = 4³

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5³

Cioè, per usare le parole di Pietro G. (seconda B): la somma di ogni riga è uguale al cubo del numero della riga. 
Perciò per la riga 15 si avrà 15³ = 3375

Sono arrivati a questa conclusione:

Ismaele M., Sarah T. e Sophia Z., (prima B); Pietro G. e Federica S. (seconda B).

Matteo C. e Matteo N., di terza B, hanno dato una risposta diversa.

Copio e incollo le parole di Matteo N.:

mi sono accorto che la differenza tra il primo numero di ogni fila è un multiplo di 2 ( tra la prima fila e la seconda 2, tra la seconda e la terza 4 etc.). Per essere pignoli è dovuto al fatto che tra il primo numero di una fila e il primo numero della successiva c'è una differenza di 2 [moltiplicato per la quantità di] numeri della fila stessa.

A questo punto ho fatto questo "schemino" (ogni numero scritto è il primo numero di una fila):

1+2=3

3+4=7

7+6=13

13+8=21

21+10=31 etc...

continuando con questi calcoli sono arrivato a scoprire che il primo numero della quindicesima fila era 211. [Ho notato che la riga 15 deve essere composta da 15 numeri e,] aggiungendo progressivamente 2 ho scoperto che i numeri della quindicesima fila erano:

211, 213,  215, 217, 219, 221, 223, 225, 227, 229, 231, 233, 235, 237, 239 la cui somma è 3375.

Certo, è meno elegante dell’altra soluzione, è un po’ macchinosa ma, insomma.

  

Quesito 2

Le soluzioni sono state più numerose e hanno seguito parecchie strade differenti. Nel tentativo di riassumere direi che possiamo individuare due scuole di pensiero: c’è chi ha diviso il quadrato grande in quadratini uguali più piccoli e c’è chi ha diviso il quadratone in triangolini.

Cominciamo dalla seconda. Completiamo le diagonali del quadrato e uniamo i punti medi dei lati come nella figura qui sotto.

Si nota che il quadrato colorato è formato da due triangolini uguali (congruenti) tra loro.

Area di ciascun triangolino = metà area del quadrato colorato = 2 cm² : 2 = 1 cm²

Il quadratone è formato da 16 triangolini. Quindi

area quadratone = 16cm²

Hanno seguito questa strada (o qualcosa di molto simile): Ismaele M., Nicolas A., Sarah T., Sophia Z. e Valentina V. (che però poi sbaglia i conti! Aaargh!), di prima B; Federica S. e Pietro G. di seconda B; Matteo C. e Matteo N. di terza B. 

Ismaele M., si è (giustamente) preoccupato di dimostrare che i triangolini sono davvero tutti uguali (congruenti) tra loro. Non riporto la sua spiegazione perché si farebbe troppo lunga ma credo si meriti una piccola menzione d’onore.

Lucrezia I. (prima B) propone la soluzione con i quadratini. Non è poi molto diversa, si tratta ancora di dividere il quadratone sfruttando diagonali e punti medi; stavolta ne risulta la figura qui sotto. Con una rotazione dei triangoli verdi si costruiscono i quadratini.

Sono 8 quadratini, tutti uguali a quello colorato, di partenza.

L’area del quadratone è allora 8 x 2 cm² = 16 cm².

Ecco. Questo è quel che siamo riusciti a fare. I miei complimenti, come sempre, a tutti quelli che ci hanno provato. I vostri neuroni (e anche i miei) ringraziano per l’allenamento: si sono fatti più robusti.

Io invece ringrazio la prof Giovanna e i suoi allievi. Chissà come se la sono cavata? :-)

Nei prossimi giorni ci riproviamo qui da noi con la prossima puntata di Sarà mica matematica.