venerdì 27 gennaio 2012

Sarà mica matematica 10, le soluzioni

In questo post si danno le risposte. Chi cercasse le domande, può trovarle qui.


Non fa una piega

– C'è davvero una risposta? – sussurrò Phouchg.
– C'è davvero una risposta – confermò Pensiero Profondo.
– A Tutto? Alla grande Domanda sulla Vita, l'Universo e Tutto?
– Sì.
Sia Loonquawl sia Phouchg si erano preparati per tutta la vita a quel momento, erano stati selezionati fin dalla nascita come persone più adatte ad assistere a quel memorabile avvenimento, e tuttavia si ritrovarono a boccheggiare e a stare sulle spine come bambini eccitati.
– E sei pronto a darci la Risposta? – disse ansioso Loonquawl.
– Sì.
– Adesso?
– Adesso – disse Pensiero Profondo.
I due s'umettarono le labbra.
– Anche se penso che non vi piacerà – disse Pensiero Profondo.
– Non importa! – disse Phouchg. – Dobbiamo saperla! Adesso!
– Adesso? – chiese Pensiero Profondo.
– Sì! Adesso…
– Va bene – disse il computer, e tacque. I due uomini si misero a giocherellare con le dita. La tensione era insopportabile.
– Non vi piacerà davvero – disse dopo un attimo Pensiero Profondo.
– Diccela!
– D'accordo – disse Pensiero Profondo. – La Risposta alla Grande Domanda…
– Su..?
– Sulla Vita, l'Universo e Tutto… – disse Pensiero Profondo.
– Sì…?
– È… – disse Pensiero Profondo, e fece una pausa.
– Sì…?
– È…
– Sì…???
Quarantadue – disse Pensiero Profondo, con infinita calma e solennità.

La soluzione
Alla prima piegatura, lo spessore è 0,1 mm x 2 = 0,2 mm.
Dopo la seconda piegatura, diventa 0,2 mm x 2 = 0,4 mm. Si potrebbe anche scrivere 0,1 mm x 2 x 2 = 0,4 mm, cioè 0,1 mm x 2^2 (che sarebbe 0,1 mm per due alla seconda).
Con la terza piegatura si ottiene lo spessore 0,1 mm x 2 x 2 x 2 = 0,1 mm x 2^3 = 0,8 mm.
E così via. Alla piegatura numero 20, lo spessore sarà:



0,1 mm x 2^20 = 0,1 mm x 1048576 = 104857,6 mm

Cioè 104,8576 metri. Facciamo 105 metri e non se ne parli più, d’accordo?
In altre parole abbiamo quasi doppiato la torre di Pisa (che è alta 56 metri). Oppure, se preferite, abbiamo costruito un grattacielo, se è vero che si considera grattacielo “qualsiasi edificio di altezza superiore ai 100 metri”.

Se poi tiriamo dritto e continuiamo a piegare per 42 volte, otterremo lo spessore:


0,1 mm x 2^42 = 0,1 mm x 4.398.046.511.104 = 439.804.651.110,4 mm

Cioè 439.804,6511104 chilometri. Per non farla troppo complicata, diciamo 440.000 km (quattrocentoquarantamila chilometri!).
Sapendo che la distanza media tra la Terra e la Luna è di circa 384.000 km, possiamo dire di aver raggiunto la Luna con un foglio di carta.
Anzi, l’abbiamo oltrepassata di quasi 40.000 chilometri.


Qualcuno allora potrebbe chiedersi: perché proprio 42 volte? Non ne potevano bastare 41?
No, non potevamo: a ogni piegatura lo spessore raddoppia, quindi alla piegatura 41 si ha metà spessore rispetto alla 42. Cioè si arriva solo a 220.000 km circa. Decisamente troppo poco per mettere piede sulla Luna.
Sono le meraviglie della crescita esponenziale.

Un altro buon motivo per usare il 42 è, naturalmente, che si tratta della risposta alla grande Domanda sulla Vita, l'Universo e Tutto secondo la Guida galattica per gli autostoppisti.

IL solutore
Quasi tutti sembrano essersi spaventati di fronte alla prospettiva di piegare un foglio per 42 volte. In pochi ci hanno provato (a fare i calcoli, non a piegare il foglio, spero). Uno solo è riuscito a trovare la misura esatta: Michael C. Complimenti a lui (per questa volta sorvolerò sul fatto che abbia fatto i conti sotto il banco, mentre io tentavo di spiegare il teorema di Pitagora).

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ERRATA CORRIGE

Grave gravissima svista: proprio stamattina mi ha consegnato una risposta perfettamente corretta il signor Fabio P. di prima B. Complimenti anche a lui e le mie scuse per averlo dimenticato.
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Allenarsi all’invalsi

Soluzione e solutori
Le figure che possono formare un parallelepipedo sono la B, la C e la E.

I solutori sono quattro: Giulia R., Nicholas S. e Matteo C.. Il quarto mi ha consegnato un biglietto anonimo. Forse preferisce tenere nascoste le sue doti: siamo costretti a rispettare la sua volontà.

Qualcun altro ha dato risposte parziali. Anche le loro identità rimarranno nascoste.

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