Sarà mica matematica 38, le soluzioni

Questo è  un post in presa diretta.

Ho qui davanti una manciata di mail e un pugno di fogli. Non ne ho ancora letto nessuno, cominciamo a spulciarli insieme e vedremo. Confido che contengano delle buone risposte ai quesiti dell’ultima puntata di Sarà mica matematica.

Siete pronti? Cominciamo. 

IL PRIMO 

Partiamo dalla posta elettronica, in rigoroso ordine di tempo.

Il primo a inviare una mail è stato Stefano P. Vediamo cosa dice: 

Chi nasce nel 2001 avrà 01 anni nel 2002, chi nasce nel 2002 avrà 02 anni nel 2004 e così via.

Per trovare l'anno di nascita posso quindi dividere per due le ultime due cifre dell'anno in cui età = ultime due cifre dell'anno di nascita. Se però una persona è nata oltre l'anno 50, supera il secolo e allora devo prima sommare 100.

Paolone è nato nel 1958 perché 116 : 2 = 58, infatti 1958 + 58 = 2016.

Paolino è nato nel 2008 perché 16 : 2 = 08, infatti 2008 + 8 = 2016.

Il Prof. Bortolas è nato nel 1969 perché 138 : 2 = 69, infatti 1969 + 69 = 2038. 

Sotto con la seconda mail, quella di Naomi R, la quale anche stavolta si lancia nel vasto mondo delle equazioni. 

Ho risolto questo quesito applicando una piccola equazione per trovare l'età del padre. Uso X per indicare le ultime due cifre dell'anno di nascita e ho scartato gli anni dal 2000 al 2016 perché l'unica combinazione possibile sarebbe quella del 2008, ma sarebbe la stessa età del figlio. Perciò considero che sia nato nel '900 (escludendo gli anni precedenti). L'eta' di Paolone e':

2016 - (1900 + x) = 2016 - 1900 - x = 116 - x

Poi, sapendo che l'età  di Paolone deve essere uguale alle ultime due cifre del suo anno di nascita, ho fatto questa espressione x = 116 - x.

Percio': x = 116 :2 = 58.

Quindi la data di nascita di Paolone e' il 1958.

Con lo stesso ragionamento ho trovato quella del figlio (per il quale ho preso in considerazione gli anni del 2000 perchè deve  essere più giovane del padre) e dell'amico (per il quale ho cambiato 16 con 38 dato che sarà nel 2038 l'anno in cui le ultime due cifre del suo anno di nascita combaceranno con quelle della sua età.

Quindi:

padre = 1958

figlio = 2008

amico = 1969 

Michael P, arriva subito al punto: 

Paolino é nato nel 2008 e infatti nel 2016 ha 8 anni.

Paolone é nato nel 1958 e nel 2016 ha 58 anni.

"Io"sono nato nel 1969 e nel 2038 avrò 69  anni. 

A parte il fatto che porta benissimo i suoi anni – quando entra in aula al mattino sembra un ragazzino! – Michael ama la sintesi più estrema. Il che non sarebbe affatto male se avesse fornito una qualche spiegazione di come ha trovato la risposta.

La quarta mail è di Sara C. Idem con patate: risposta giusta, niente spiegazione.

Quinta mail: Mattia C. C’è un tentativo di spiegazione (yeah!!). Dunque, vediamo… dal 2016 si indietregga di 2 unità alla volta… mhm… dal 2038 si indietreggia di 2 unità alla volta fino al 1970 poi si scala di una sola unità… mhmm… non sono sicuro di capire, sembra un po’ un procedere per tentativi. Ad ogni modo apprezzo il tentativo di raccontare il proprio ragionamento.

Un’altra mail, l’ultima. È di Christian G… è vuota! Niente testo, niente allegati. Mah! :-)

Passiamo al cartaceo e, come al solito, diamo un’accelerata: passiamo alla modalità “elenco con eventuale commento breve”.

Rispondono bene con spiegazione ragionevole: Luca N, Irene T, Mirko G (per tentativi ma con criterio), Mirko P (il quale mi chiama Paoletto, ma non mi sono offeso), Paolo M.

Rispondono giusto ma senza spiegare (oppure dando una spiegazione che non spiega): Alberto C, Alice D, Giorgia M.

Danno una risposta giusta nella sostanza ma poco attenta al dettaglio (era chiesto l’anno di nascita, non l’età!): Moris N, Martina P. 

IL SECONDO 

Riprendiamo le mail e l’ordine cronologico. 

Stefano P: 

PRIMO MOSAICO

Se il perimetro della figura è 16 cm, un lato è 4 cm (16 cm : 4 = 4 cm) quindi i due quadrati bianchi grandi hanno il lato di 2 cm (4 cm : 2 = 2 cm) e quindi la loro area è di 4 cm² ciascuno (2 cm x 2 cm = 4 cm²). Per trovare l' area del quadrato bianco piccolo lo divido in 4 parti seguendo le diagonali.

Si ottengono 4 triangoli uguali ai 4 triangoli marroni e tutti insieme coprono l'area di uno grande bianco. L' area dei quadratini bianchi è quindi la metà di quelli grandi. (2 x 2) : 2 = 2 cm². Quindi l' area totale della parte bianca è 4 cm² x 2 + 2 cm² x 2 = 12 cm². 

Secondo me la lastra bianca iniziale iniziale intera poteva avere questa forma, che è fatta con i quadrati bianchi grandi affiancati a quelli piccoli.

 

Siccome l' area del quadrato piccolo è 2 cm2, il suo lato è la radice quadrata di 2 cioè circa 1,41. Le dimensioni della lastra bianca iniziale sono quindi 4 cm (2 + 2) e 3,41 cm (2 + 1,41). 

SECONDO MOSAICO

Per trovare la lunghezza delle linee nere devo dividere il lato per 4 (10 : 4 = 2,5). Ho diviso poi le linee nere in segmenti da 2,5 cm (1/4 di lato).

Siccome ci sono 24 segmenti da 2,5 cm, la lunghezza complessiva delle linee è 24 x 2,5 = 60 cm.

Avanti con la mail di Naomi R. Si comincia con un immagine Geogebra (per la verità Naomi ha messo tutto in Geogebra, testo compreso... tutto in maiuscolo!, obbligandomi a una rielaborazione lunga e noiosa. Grrrr!).

PRIMO MOSAICO

Trovo il lato del quadrato facendo: 2p : 4 = 16cm : 4 = 4cm.

A questo punto trovo il lato di B e D facendo: l : 2 = 4 : 2 = 2cm.

Ora, sapendo i lati di B e D, posso trovare l'area complessiva di B + D = (2 x 2) + (2 x 2) = 8cm².

Ora trovo l'area di C+E usando la formula per trovare l'area del rombo. Sapendo che le diagonali misurano entrambe 2cm, l'area di C+E = 2 x 2 : 2+ 2 x 2 : 2 = 4cm².

Per finire sommo tutte le aree: (B+D) + (C+E) = 8cm² + 4cm² = 12cm².

Avendo risolto il problema di prima ho trovato la misura dei lati dei quadrati B e D. Ora trovo i lati di C e D sapendo che, poiché' hanno le diagonali uguali, sono dei quadrati. Quindi il lato e' la radice quadrata dell'area: l = √2 = 1,41cm.

Ora disegno una lastra che contenga i 4 quadrati per ottenere le misure minime di ciascun lato della lastra che sono di 2 + 2 = 4cm e 2 + 1.41= 3.41cm.

La lastra quindi dovrà essere un rettangolo con almeno un lato  di 4cm e l'altro di  3.41cm.

Qui devo proprio inserire un breve stacco pubblicitario! In realtà è un Post Scriptum perché, confesso, l'ho scritto dopo aver letto tutte le soluzioni arrivate.

Voglio fare la pubblicità alle radici. Proprio quelle che si fanno in matematica... radici quadrate e compagnia... Ecco, quelle. Solo Stefano e Naomi hanno risposto al quesito "riservato" ai più grandi. Complimenti a loro. MA entrambi calcolano la radice di 2 eper qualche ragione entrambi la arrotondano alla seconda cifra decimale. Ecco, speravo che qualcuno dei secondini (i terzini no, devono essere in silenzio stampa) usasse la radice di 2 con un pizzico di lucidità in più. Calcolare una radice significa per forza ottenere un risultato approssimato. Qua e là, a lezione, ho lanciato molto più di un suggerimento: la radice di 2 si può tranquillamente lasciare indicata come √2, senza calcolare (e introdurre quindi un'imprecisione).

La lunghezza del lato del rettangolo si poteva ben indicare come (2+√2 )cm.

Fine della pubblicità. Riprendiamo le regolari trasmissioni.

SECONDO MOSAICO

Per risolvere questo quesito, siccome A e' al centro del quadrato, i segmenti B-C-D-E misurano per forza 5cm, mentre i segmenti F-G-H-I sono la metà' di 5cm e quindi 2,5cm. L-M-N-O sono la somma di 5 e 2,5cm quindi 7,5cm.

A questo punto ho tutti i dati che mi servono per trovare la risposta. Infatti mi basta fare 5cm x 4 + 2,5cm x 4 + 7,5cm x 4 = 60cm

Michael P spara di nuovo le risposte giuste ma secche secche.

Sara C stavolta invece tenta una spiegazione, ci sono anche delle figure (che rielaboro solo un pochino). Bene, vediamo.

PRIMO MOSAICO

La soluzione di questo quesito è Area=12cm²  , perché partendo da 16cm (perimetro complessivo) e togliendone  4cm² si arriva  a 12cm² il procedimento è il seguente: partendo dalla figura iniziale immagino di piegare un quadratino rosso fino a trovare il quadrato interno che aggiungo alla figura di partenza in questo modo.

Idea interessante ma spiegazione non proprio chiarissima, con una certa confusione tra area e perimetro. Non so voi, io sono riuscito a capire il ragionamento grazie alle mie note doti medianiche :-)

SECONDO MOSAICO

Sono giunta alla  soluzione che i segmenti misurano 60cm, perché dividendo la piastrella in 4 parti uguali si calcola in ognuna di essa lo stesso numero di segmenti, cioè 5cm.

Mattia C sbaglia la prima risposta ma ci azzecca con la seconda (io aggiugno solo le unità di misura): Ipotizzando che i due segmenti che formano una croce nel mezzo dell'area  del quadrato e le sue derivazioni misurino come la metà del lato del quadrato,
10cm : 2 = 5cm misura di un segmento
10cm x 6 = 30cm totale misura segmenti centrali.
Calcolando che i segmenti laterali della spirale sono lunghi 3/4 il lato del quadrato:
10cm x 3/4 = 7,5cm
7,5cm x 4 = 30cm totale segmenti più lunghi.
30cm + 30cm = 60cm totale misura spirale.

Un'altra occhiata alla mail di Christian per controllare di non essermi perso qualcosa... no, è proprio vuota. E allora torniamo ai fogli di carta. E inseriamo di nuovo la modalità "elenco con commento dove necessario".

Al quesito del primo mosaico (area del marmo bianco) rispondono bene: Giorgia M (anche lei, proprio come Sara, fa un po' doi confusione tra area e perimetro...), Martina P, Mirko G, Mirko P (che risponde bene anche alla seconda parte del quesito, quella per secondini e terzini), Nelson R, Paolo M.

Al quesito del secondo mosaico (lunghezza della spirale) rispondono bene: Giorgia M, Irene T, Mirko G (che costruisce la figura e in scala e misura. Aaagh!), Mirko P (la sua spiegazione sembra originale e interessante ma giuro che non l'ho capita! Dovrò farmela spiegare a parole).

Bene, mi dicono dalla regia che la puntata sta per terminare. Mi voglio complimentare con tutti quelli che ci hanno provato, specialmente se hanno evitato di farsi aiutare troppo dallo zio che fa il fisico nucleare o dalla mamma che insegna matematica alla Sorbona.

Possiamo concludere la puntata. La archiviamo - non senza una certa delusione - come quella con il minimo storico di risposte tentate e guardiamo avanti, Ché se oggi piove (e qui piove davvero) domani potrebbe tornare il sole.

Allora ci vediamo domani dalla prof Giovanna! D'accordo, forse non proprio domani, facciamo nei prossimi giorni, dai.