Sarà mica matematica 37, le soluzioni

Guardo l'orologio.
Ancora per una mezz'oretta è il 16 dicembre. La data di scadenza dei giochi di Sarà mica matematica 37 era per venerdì 11 dicembre. Quindi dovrei riuscire a pubblicare le soluzioni con solo 5 giorni di ritardo. Non male!
Giusto il tempo di complimentarmi con me stesso, darmi una meritata pacca sulla spalla e riguardare l'orologio: sono già passati altri dieci minuti!
Sarà meglio passare senza indugi alle soluzioni dei tre quesiti. 

IL PRIMO

Stefano P vince il premio speciale della giuria per la risposta più sintetica ed esaustiva: dato che la media [da ottenere] è 8, la somma dei 4 voti deve essere 32 cioè 8x4. Dato che i primi due voti danno come somma 6+9=15, bisogna prendere come minimo 32-15=17con gli ultimi due voti. Se il massimo voto è 10, il voto minimo che può aver preso nella terza verifica è 17-10=7 .

Infatti (6+9+7+10)/4=32/4=8.

È lo stesso ragionamento che hanno seguito quasi tutti gli altri, con poche variabili. 
I fratelli Chiara e Paolo M aggiungono un'immagine (che ci sta sempre bene).

Viola Q usa una forma più discorsiva, che io mi permetto di emendare da qualche errore coi congiuntivi (...per fortuna la prof di italiano non ci legge):

La soluzione è: 6, 9, 7, 10.

Per trovarla ho seguito un semplice ragionamento. Per prima cose ho calcolato che per avere esattamente 8 in pagella la media dei suoi voti sarebbe dovuta essere 32. Dopodiché ho fatto la somma dei primi due numeri ed è uscito 15; quest'ultimo l'ho sottratto alla somma totale, il risultato che è uscito è 17. Adesso è stato molto semplice perché lei ha detto che nella terza verifica avrebbe ancora potuto prendere 8 di media se si fosse impegnato, quindi presumendo che nella quarta verifica abbia preso il voto maggiore (10), di conseguenza nella terza verifica aveva preso 7. 

Leonardo R argomenta in maniera sintetica e apprezzabile. È un peccato che mi abbia inviato una mail con la foto di un foglio con le soluzioni scritte a mano. Per quanto la risposta sia apprezzabile non è abbastanza sintetica da indurmi a ricopiarla tutta!

Un discorso simile si può fare per Naomi R: le foto che mi ha inviato mostrano l'equazione

(6+9+a+10)/4=8 

da cui risulta che a = 7. Naomi ci sta prendendo gusto con le equazioni. Sicuramente se la caverà alla grande quando affronteremo l'argomento equazioni in classe!

Mirko P calcola in maniera un po' arzigogolata la media dei primi due voti, poi la media dei secondi due. Poi la media tra le medie... E arriva alla risposta giusta! Yeah!

Gaia C arriva alla risposta corretta anche se la sua spiegazione è un po' claudicante.

Federico DM fornisce la risposta corretta ma si tiene per sé il sistema che ha usato per arrivarci. Egoista!

IL SECONDO

Stavolta vince il premio "breve ma denso" la risposta di Viola Q:

La prima soluzione è 76 cm.

Per trovarla ho ragionato sulla struttura della scala e ho notato che tutti i quadratini erano esposti per solo due lati, ma il primo e l'ultimo per tre lati, così ho applicato la seguente formula:

perimetro = (numero tot. quadratini x2) +2 

Solo un pizzico più lunga la risposta di Stefano P: ogni quadratino della figura ha due lati che fanno parte del perimetro, tranne il primo e l'ultimo che ne hanno uno in più. Quindi posso calcolare il perimetro in questo modo: 37 x 2 = 74, ai quali aggiungo i lati in più del primo e dell'ultimo, quindi il perimetro della figura è: 74+2=76 cm.

La formula per trovare il perimetro di qualunque figura di N quadratini è quindi: P=Nx2+2.

Naomi R fa un po' di prove con diverse quantità di gradini. Alla fine arriva a una formula generale apparentemente diversa da quelle di Viola e di Stefano, in realtà del tutto equivalente:

Il perimetro viene calcolato facendo 4 (numero che devo aggiungere ogni volta per formare un nuovo piano della scala) per il numero di piani della scala (quadratini che formano la scala +1) diviso 2 (numero dei quadratini di ogni piano).

Per trovare il perimetro di una scala da 37 gradini devo fare:

P= 4 x (37+1)/2 = 76

La formula generale è:

P = 4 x (n+1)/2   dove n è il numero di quadratini, aggiungo io.

Aggiungo anche che a questo punto basterebbe semplificare il 4 con il 2 per ottenere:

perimetro = 2(n+1)

che è il risultato che mi piace di più.

Mirko P ragiona così: il quadratino iniziale è esposto con 3 lati, i quadratini "centrali" sono esposti con 2 lati, gli ultimi due quadratini hanno 5 lati esposti. Quindi scrive: ho tolto il primo quadratino e gli ultimi due da 37. Risultano 34 quadratini da 2 lati. Poi ho aggiunto i 5 lati del quadratini iniziali e finali. In totale 76 lati da 1cm=76 cm.

La formula generale che risulta é:

2p=(n-3)x2 +8 

Il ragionamento non mi sembra malaccio :-)

Faccio solo notare che gli ultimi due quadratini sono in realtà un quadratino centrale (da 2 lati) e un quadratino finale (equivalente al quadratino iniziale, da 3 lati). Questo semplificherebbe un po' il tutto.

Paolo e Chiara M iniziano con chiarezza: dal momento che tutti i quadratini hanno 2 lati “esposti” (che costituiscono il perimetro della scala), tranne i due quadrati alla sommità e alla base. Continuano con una figura che vorrebbe rendere il tutto ancora più chiaro. In effetti mi pare confondere più che chiarire, quindi mi sono preso la libertà di fare qualche ritocco. Ne è uscita questa immagine.

Paolo e Chiara concludono con una formula un po' più complicata del necessario. Anche qui sono intervenuto con un ritocco piccolo piccolo. Spero che i due fratelli non se ne abbiano a male! La loro formula è: 

2p scala = (2p quadratino x n° quadratini) : 2 + 2

Applicata alla scala con 37 quadrati diventa:

2p scala formata da 37 quadratini = (4 x 37) : 2 + 2 = 76 cm

Leonardo R trova il perimetro disegnando l'intera scala con 37 gradini. Poi - per fortuna, aggiungerei - riesce a costruire la formula generale, anche se non spiega fino in fondo perché e percome ci arriva.

Giorgia M completa bene il ragionamento: di ogni quadratino devo calcolare i due lati esterni, tranne per il quadratino più in alto e per quello più in basso, che hanno 3 lati esterni. Poi con qualche sempolice calcolo arriva alla risposta: 76cm. Manca invece il passaggio più complesso, quello della generalizzazione. Ma dalla prima alla fine della terza c'è abbondanza di tempo e ci arriveremo con calma :-)

Lo stesso potrei dire per Sara C, la quale sceglie la strada più faticosa: ho calcolato il perimetro della figura sommando i lati esterni. Poi tenta una formula generale ma con poca fortuna :-D 

Anche Gaia C percorre il sentiero lungo: ho contato tutti i lati per calcolare il perimetro. Oltre a farlo con 37 quadratini ho provato con altri numeri. Ho sottratto ai vari perimetri il loro numero di quadratini e ho notato che la differenza era sempre il numero di quadratini + 2. Da questa osservazione Gaia ricava la formula generale per una scala di n quadratini: perimetro= nx2+2

 

IL TERZO

Le soluzioni si possono suddividere in due tipologie. La prima è ben rappresentata dalla risposta di Stefano P: per risolvere il problema ho diviso il quadrato grande prolungando i lati del quadrato piccolo. Dato che il quadrato piccolo ha lo stesso centro del quadrato grande e che il suo lato è 1/3 di quello del quadrato grande, ottengo 9 parti uguali al quadrato grigio, come si vede nel disegno.

L'area arancione è formata da 2 quadratini completamente colorati e da 4 quadratini colorati a metà. Dato che l'area di ogni quadratino è uguale a quella del quadrato grigio che è di 1 x 1 = 1cm², l'area della parte arancione misura 2 + 4/2 = 4cm².

L'area del quadrato grande è 3 x 3 = 9 cm², quindi il rapporto tra la parte in arancione e l'area del quadrato grande è 4 / 9.

Leonardo R fornisce, nella sostanza, la stessa risposta...scritta a mano e fotografata.

Giorgia M scompone la parte arancione e la ricompone formando 4 quadrati. In questo modo riesce a trovare l'area della parte arancione e anche il suo rapporto con quella del quadrato bianco.
Ismaele M trova l'area della parte arancione ma non si prende poi la briga di determinare il rapporto tra le parti. Annota anche a matita che "ci sarebbero altre soluzioni ma non sto a scriverle". Insomma, Pierre de Fermat disponeva di una magnifica dimostrazione di un suo teorema ma gli mancava lo spazio per scriverla, Ismaele dispone di altre soluzioni ma gli manca la voglia. Forse è un omaggio a Fermat?
Anche Sara C divide in quadrati e trova l'area della parte arancione. Non il rapporto.

Ma dicevo prima di una seconda tipologia di soluzioni. Prendo ad esempio la risposta di Viola Q:

La soluzione è 4cm².

Per prima cosa ho calcolato l'area del quadrato grande, cioè (3cm)²=9cm².
Poi ho calcolato l'area del quadratino grigio, con lo stesso procedimento, il risultato è 1cm² 
Così al quadrato iniziale ho tolto 1cm², ottenendo 8cm².
Ora mi rimanevano due triangoli rettangoli bianchi e la parte arancione. Ho prolungando i lati del quadrato e ho notato che i cateti del triangolo misurano 2cm. Quindi l'area di ogni triangolo è (catetoxcateto):2 =2cm^2.
Ho moltiplicato per due e ho sottratto il risulato agli 8cm² che avevo prima.
Quello che è rimasto è l'area della parte arancione, cioè 4cm².

Naomi R segue lo stesso procedimento e arriva allo stesso risultato. Ma non si dimentica di trovare il rapporto che c'è tra la parte arancione e la parte bianca: 4/9.
Lo stesso dicasi per Mirko P.

Bene, i miei complimenti vanno a chi ha trovato le soluzioni corrette, ai numerosi -qui non nominati- che ci hanno provato ma stavolta non ce l'hanno fatta e anche a tutti quelli che sono riusciti ad arrivare fino in fondo a questo lungo post.
A tutti va anche l'invito a riprovarci con i prossimi giochi. So che la prof Giovanna li ha già pronti. Non so se deciderà di pubblicarli come regalo di natale o se preferirà tenerli in caldo per il rientro dalle vacanze. Comunque sia, il prossimo appuntamento è su matematicamedie. Ci vediamo di là!