Sarà mica matematica 34, le soluzioni

Pasqua finita, scuola ricominciata.

Avevo scritto che mi sarei preso qualche giorno di vacanza (il post si è autodistrutto, come dichiarato, quindi non andate a cercarlo). Ma ormai non si può più rimandare, è proprio ora di mettere mano alle risposte ai quesiti di Sarà Mica Matematica 34.

Vuol dire che i terzini dovranno aspettare un giorno in più per riavere le loro verifiche di scienze corrette…

Dunque, le soluzioni ai due quesiti.

IL PRIMO

Si chiedeva una formula per calcolare la somma di tre numeri interi consecutivi.

Luca T (prima B) chiama n il più piccolo dei tre numeri, e propone la formula:

Somma = n + n + 1+ n + 2

Senz’altro vero, ma ci si può lavorare su per migliorarla.

Qualcuno nota che ci sono tre lettere n, il che corrisponde a 3n, poi c’è +1 e + 2, che vuol dire +3. Per i terzini, che maneggiano l’algebra già da un po’, dovrebbe essere un passaggio facile facile. Invece ci sono arrivati i primini Gaia C, Mattia G, Naomi R, il secondino Mattia  C e la terzina Sarah T.

La formula che risulta è:

Somma = 3n + 3

Per la verità, alcuni ci sono arrivati seguendo vie diverse. Scrive ad esempio Sarah: Ho fatto + 3 perché ho seguito questo ragionamento: notiamo che la differenza tra il numero più piccolo e il secondo numero è 1. La differenza tra il primo numero,quello più piccolo, e il terzo numero è 2. Sommando le differenze otteniamo 3. Quindi dopo aver moltiplicato il numero x3 bisogna aggiungere le differenze.

Gaia spiega con un esempio: se considero 10, 11, 12 noto che 10 ha differenza 1 rispetto a 11 e 2 rispetto a 12. Il numero 10 viene moltiplicato tre volte perché nei numeri 10, 11, 12 “ci sta tre volte”. Infine si aggiunge 3 che è la somma delle differenze.

Tentiamo un altro passo: se applicassimo la proprietà distributiva della moltiplicazione (qualcuno potrebbe dire: “se raccogliessimo il 3”), noteremmo che 3n + 3 = 3 (n+1). Quindi la formula può diventare

Somma = 3(n + 1)

 È quello che propongono Marco V, Sophia Z e Stefano P.

La spiegazione di Stefano (prima B): ho notato che se si sposta l'unità dall'ultimo numero al primo, si ha il secondo numero ripetuto 3 volte. Se per esempio ho 5 + 6 + 7, posso spostare un'unità dal 7 al 5: (5 + 1) + 6 + (7 - 1) = 6 + 6 + 6. Quindi per trovare la somma di tre numeri consecutivi basta fare il secondo numero x 3 oppure, sapendo solo il primo numero N, con questa formula: (n + 1) x 3.

La spiegazione di Sophia (terza B): osservo che la somma dei tre numeri consecutivi si ottiene sempre moltiplicando per 3 il numero centrale, per esempio: 1 + 2 + 3 = 6 = 2 x 3; 6 + 7 + 8 = 21 = 7 x 3

Dato che il numero centrale è uguale al numero precedente + 1, scrivo la formula: (n + 1) x 3

Nelle parole di Stefano e di Sophia è già esposta anche la formula trovata da Chiara M, Davide C e Nicolò A (che hanno lavorato insieme), Giulia A, Ismaele M, Leonardo R e Mirko G (ma anche Naomi R l’ha scoperta, pur non riuscendo a spiegarla): se n è il numero centrale, la formula diventa:

Somma = 3n

Mirko scrive, ad esempio: ho notato che se tolgo 1 al terzo numero e lo aggiungo al primo numero ottengo tre numeri uguali. Alessia V e Pietro B (ognuno per conto proprio?) arrivano in sostanza alla stessa conclusione ma con qualche imprecisione di troppo. C’è anche un Anonimo che manda un commento in cui esprime la stessa formula: nessuna bonus card per lui… o lei.

Guardando l’ultima formula è chiaro che la somma è sempre divisibile per 3, come notano Chiara (seconda B) e  Giulia (prima B).

Sarah e Sophia, le (uniche!!) due terzine che ha risposto hanno ragionato anche con lo zero (scrive Sophia: la formula si può applicare anche con lo zero: (0 + 1) x 3 = 1 x 3 = 3) e con i numeri negativi. Le loro conclusioni sono che le formule funzionano anche con i numeri negativi. Nelle parole di Sarah: se i numeri hanno il segno + non ci fanno né caldo né freddo ma anche se i numeri hanno il segno – la formula resta invariata: il risultato avrà anche esso il segno meno. Basti ragionare sul fatto che se tre numeri consecutivi con il segno meno vengono addizionati il segno non cambia. Ma anche se ragioniamo con la mia formula (3n + 3) è uguale: -1+(-2)+(-3) = -1-2-3 = -6 = -1x3+3.

Un’altra richiesta riguardava la formula per quattro numeri consecutivi.

Gaia C, Naomi R, Mattia C, Sarah T e Stefano P arrivano tutti alla stessa formula.

La spiegazione più chiara mi sembra quella di Stefano: quando ci sono 4 numeri consecutivi il primo numero si ripete 4 volte e, per arrivare alla somma, mancano sempre gli stessi numeri: 1 + 2 + 3 = 6.

Per esempio per trovare la somma di 5 + 6 + 7 + 8 si può fare 5 x 4 + 6.

Sapendo il primo numero N, la formula è:

somma = 4 n + 6

Sophia Z invece, scrive: avendo quattro numeri, noto che la somma dei due centrali [o i due estremi, aggiungo io] della sequenza, moltiplicata per 2, fa il totale dei quattro numeri, ad esempio: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = (2 + 3) x 2 = 5 x 2. Quindi la formula è:

somma = [n + (n + 3)] x 2

Faccio notare che con un paio di passaggi risulta che [n + (n + 3)] x 2 = [2n + 3] x 2 = 4n + 6, che è poi la stessa formula di cui sopra…

Chiara M fa la stessa scoperta ma la racconta in modo diverso:

n₁ + n₂ + n₃ + n₄ = 2(n₂+ n₃) = 2(n₁+ n₄)

Anche Davide C e Nicolò A (sempre lavorando insieme) e Ismaele M sommano i due numeri centrali e poi raddoppiano.

Sarah T fa notare che anche in questo caso, le formule funzionano pure con lo zero e con i negativi.

Chiudiamo con una formula “universale” trovata da Naomi R. Ecco le sue parole:

somma = (n iniziale + n finale) x numero di numeri consecutivi : 2

Il sistema funziona. Anche con più numeri, anche se c’è lo zero, anche con numeri negativi. Volete provare?

Purtroppo Naomi non fornisce altre spiegazioni (un po’ come faceva Ramanujan!). Siamo in cerca di una dimostrazione.

IL SECONDO

Comincio col dire che il quesito è tratto dal libro Matematica senza paura, di Albrecht Beutelspacher (non chiedetemi di pronunciarlo) e Marcus Wagner.

Gli autori dichiarano che solo in una variante sugli spigoli risultano numeri primi richiesti.  Come dire che c’è un’unica soluzione, tutte le altre sono in realtà equivalenti. Nelle parole di Sarah T: basta girare" in più facce" il quadrato.

La figura migliore mi pare quella di Stefano P, eccola

Già che ci siamo, vediamo anche la spiegazione di Stefano:

Ho iniziato mettendo lo zero, poi nei tre vertici che hanno lo spigolo in comune, ho messo tre numeri primi, 3, 5 e 7 (in celeste), perché sommati con zero devono dare numeri primi. Siccome i numeri che ho messo sono dispari, accanto devo mettere dei numeri pari (2, 4 e 6 in arancione) perché altrimenti la somma sarebbe un numero pari e quindi non primo. Nell'ultimo vertice ho messo 1.

Se fossi pignolo noterei che non è detto che se un numero non è pari sia per forza primo. Ma, insomma, la soluzione è buona.

Sophia Z segue una strada in gran parte simile e scrive:

La prima considerazione è che con lo 0, posso accoppiare solamente numeri primi, quindi 2, 3, 5, 7.  

Dato che la somma di due numeri pari è pari, e quindi non è un numero primo, non potrò usare in coppia 0, 2, 4, 6, tranne la somma di 0 e 2 in quanto il risultato 2 è un numero primo.

Anche la somma di due numeri dispari è pari, quindi non un numero primo, per cui non accoppio 1, 3, 5, 7.

Quindi potrò accoppiare solamente cifre pari con cifre dispari.

In totale le somme possibili sono 13, ma escludendo la somma tra 0 e 2, trovo che le 12 somme sono il numero degli spigoli del cubo:

0 + 3 = 3

0 + 5 = 5

0 + 7 = 7

1 + 2 = 3

1 + 4 = 5

1 + 6 = 7

2 + 3 = 5

2 + 5 = 7

3 + 4 = 7

4 + 7 = 11

5 + 6 = 11

6 + 7 = 13

Anche Davide C e Nicolò A (anche stavolta in coppia) e Ismaele M percorrono circa la stessa via:  prima lo zero, cui si collegano per forza i tre numeri primi a disposizione, 3, 5 e 7. Poi si sistemano gli altri numeri in modo da far tornare i conti.

Luca T scrive: un numero primo è sempre dispari [con l’eccezione del 2, preciso io] e, visto che la somma di due pari è sempre pari, non possiamo mettere dei numeri pari vicini, quindi li ho inseriti in 4 spigoli opposti. Poi ho completato la figura con i rimanenti numeri dispari.

Più spiccio (forse un po’ troppo…) Mattia G: ho provato a sommare i numeri pari con i dispari e mi sono usciti numeri primi.

La già citata Sarah T prova tutte le coppie di numeri che sommati danno un numero primo. Scopre che il numero primo più grande tra i risultati è 13, cioè la somma tra i due numeri più grandi. Ho notato, anche, che da 0 a 3 i risultati sono 3,5,7; da 4 a 5 i risultati sono 5,7,11; da 6 a 7 i risultati sono 7,11,13. Poi ho cercato di incastrare questi numeri al meglio possibile.

Trovare tutte le coppie che danno numeri primi e poi sistemarle nel cubo è la strada scelta anche da Naomi R e da Chiara M, la quale ha la buona idea di costruire una tabella a doppia entrata che la aiuta a individuare gli abbinamenti.

Altri trovano la soluzione corretta ma non riescono a spiegare compiutamente come ci sono arrivati (“ci sono riuscito facendo i calcoli” non si può considerare una buona spiegazione, mi spiace). O forse, in alcuni casi, sono io che proprio non riesco a comprendere le loro esposizioni.

I nomi: Alessia V,  Gaia C, Giulia A, Leonardo R, Marco V, Mattia C e Pietro B.

Bene, con questo è tutto, credo (se ho dimenticato qualcuno o qualcosa battete un colpo, come al solito). Complimenti a tutti quelli che ci hanno provato di persona personalmente, come dice Catarella.

Da diversi giorni la prof Giovanna ha pubblicato le soluzioni dei suoi ragazzi e sta aspettando le nostre per pubblicare i nuovi giochi. Adesso ha finalmente la strada libera. Ci vediamo là!