Sarà mica matematica 33, le soluzioni

Nel pieno rispetto della tradizione, pubblico in ritardo le soluzioni ai quesiti di Sarà mica matematica 33.

Per la verità, stavolta il ritardo ha una ragione in più. I primini stanno facendo i primi, timidi (fin troppo timidi...) passi con Geogebra e ho concesso loro un paio di giorni in più perché il software poteva davvero aiutare nella risoluzione del problema geometrico. Ma evidentemente è ancora troppo presto: qualcuno ci ha provato ma per il momento le risposte viaggiano ancora via foglio di carta. Vedremo gli sviluppi futuri.

Per ora vediamo invece le risposte ai due quesiti.

Il primo
Partiamo subito con la soluzione: la lunghezza dei due percorsi è uguale.
Intuito il fatto, bisognerebbe dare una spiegazione. Non voglio usare la parola "dimostrazione", diciamo che è necessario raccontare un ragionamento.
Ecco, mi sono arrivati racconti di due tipi.

Il più frequente sfutta i triangoli equilateri. è il caso, ad esempio della risposta di Naomi R (prima B), che allega questa immagine e scrive:

Ho disegnato un esagono regolare con il metodo imparato in Tecnologia e ho visto che l'esagono è costituito da 6 triangoli equilateri. A questo punto vedo che:
FA = AE
FO = ED
OB = DE
Ho concluso che i percorsi sono uguali.

Qualcosa del genere fa anche Stefano P (prima B). Ecco le sue parole e la sua immagine.

Ho diviso l'esagono in 6 triangoli equilateri e ho provato a misurare la distanza dei due percorsi.

Il percorso blu è lungo 2 lati e mezzo di questi triangoli: AE è il mezzo lato e EF, FB sono gli altri due. 

Anche il percorso arancione è lungo 2 lati e mezzo: AC è il mezzo lato e CD, DB sono gli altri due. 

Il punto debole di queste risposte è proprio il fatto che danno per scontato che i triangoli in questione siano equilateri. Come sappiamo che lo sono davvero?

Per saperlo, suggerisco di dare un’occhiata a quello che scrivono (e disegnano) gli alunni della prof Giovanna. Le loro argomentazioni sfruttano l’ampiezza degli angoli interni del triangolo. Roba che è al momento fuori portata per i ragazzi di prima media.

Proprio coi primini si era discusso in classe – con generosi suggerimenti! :-) – del metodo per costruire l’esagono. Quello “imparato in tecnologia”, che cita Naomi nella sua risposta. È una costruzione con riga e compasso, praticamente uguale a quella proposta dal grande Euclide circa 2300 anni fa. L’animazione qui sotto, che ho preso in prestito da Wikipedia, ne illustra i passaggi.

La costruzione dell'esagono regolare secondo Euclide (Fonte dell'immagine)

Risulta che i lati dell’esagono e i segmenti che uniscono il centro dell’esagono con i suoi vertici sono raggi dello stesso arco di circonferenza, quindi hanno la stessa lunghezza. Da qui a concludere che i triangoli in questione sono equilateri il passo è breve.

L’altro racconto è quello che scrive Sophia Z (terza B):

• Tracciando dal centro dell'esagono la mezza diagonale CF, osservo che il trapezio BDEF, formato dalla divisione a metà dell'esagono, è composto dal parallelogramma CDEF e dal triangolo equilatero BCF.
• Dato che i segmenti AD e AE sono uguali tra loro, come i lati CD e EF del parallelogramma, si annullano.
• La differenza tra un percorso e l'altro, perciò, è data dai due lati BC e BF del triangolo equilatero BCF. 
• Siccome i lati del triangolo equilatero sono ovviamente uguali, i due percorsi sono identici, quindi non ce n'è uno più breve dell'altro.

Mi sembra un ragionamento interessante e originale. Ma anche qui si dà per scontato che il triangolo sia equilatero e che il parallelogramma sia davvero un parallelogramma…

Ad ogni modo, ecco l'elenco dei solutori che hanno almeno abbozzato una spiegazione:

Alessia V, Federico M, Gaia C, Ismaele M, Leonardo R, Luca T, Marco A, Mattia G, Mirko G, Mirko P, Naomi R, Riccardo R, Sophia Z, Stefano A, Stefano P.

Il secondo

Sarah T risponde con uno schema:

e spiega:

Poi ho contato tutti i miei passaggi che sono:

1 zucchina + 2 melanzane + 4pomodori + 6 fagioli = 13.

Poi ho fatto 117 (tutti i semi piantati ) : 13 = 9 che sono i semi di zucchine.

Poi ho fatto i procedimenti:

• 9x2=18 che sono i semi di melanzane, 
• 18x2= 36 che sono i semi di pomodoro, 
• 36+18= 54 che sono i semi di fagiolo.                                                                

Per verificare di aver fatto giusto ho sommato il tutto: 9+18+36+54=117.

Qualcosa di molto simile propone Stefano P (copio e incollo, ho solo dato un tocco di colore alle bustine di semi perché l'orto deve essere una cosa allegra, si sa):

Ho immaginato di avere bustine con lo stesso numero di semi.

Partendo da una bustina di zucchine (Z), ne avrò 2 di melanzane (M),4 di pomodori (P) e 6 di fagioli (F).

Le ho sommate: 13, e ho fatto 117 : 13 = 9 (i semi delle zucchine).

Le quantità dei semi delle altre specie sono: 9 x 2 = 18 (melanzane), 18 x 2 = 36 (pomodori), 18 + 36 = 54 (fagioli).

Insomma, tutte le spiegazioni seguono la stessa strada, in sostanza.

Passiamo allora all'elenco dei solutori

Alessia V, Davide M, Federico M, Gaia C, Giulia A, Ismaele M, Leonardo R, Luca N, Luca T, Marco A, Mattia G, Mirko G, Naomi R, Nouha A, Pietro B, Riccardo R, Sarah T, Sophia Z, Stefano P, Tommaso G.

Per onestà e per precisione: alcuni dei sunnominati hanno dato risposte incomplete ("...ho 9 semi di zucchine, li moltiplico per 2" senza dire come sono arrivato a quei nove semi, oppure "...divido per 13" senza raccontare da dove salta fuori quel 13, cose così) oppure che tradiscono un eccesso di aiuto da parte di qualche adulto. Per citare la prof Giovanna: ognuno si assume le proprie responsabilità.

Io mi limito a inserire i nomi di coloro che hanno fornito una risposta esatta. Aggiungo anche i miei complimenti a chi ha fatto girare i propri neuroni.

Poi non dite che non ho un cuore grande :-) 

Ecco, siamo arrivati alla fine della puntata. La prof Giovanna ha già pronti i nuovi quesiti, quindi l'appuntamento è a tra poco su Matematicamedie!