2 a settimana... 7, le nostre soluzioni

Gioghi matematici.

Questo il titolo che Stefano scrive sul foglio delle soluzioni che mi consegna. Dunque è così che i ragazzi sentono questi quesiti: come un obbligo ingiusto, una costrizione. Un giogo! Non ho dubbi che Stefano abbia voluto mandare un messaggio.

Sono cose che danno da pensare, sì.

Ma sono convinto che i gioghi matematici siano un passo verso una  particolare forma di libertà.

Dunque, con grande grandissimo ritardo, pubblico le nostre risposte ai gioghi proposti  dalla prof Giovanna. 

Il primo

Si è rivelato parecchio ostico. In prima B la maggioranza ci ha rinunciato. In seconda B molti si sono lasciati ingannare da alcuni dettagli importanti (ad esempio, il perimetro del rombo non è il doppio del perimetro del triangolo…). Non moltissimi sono arrivati  a una soluzione corretta. Vediamoli.

I secondini Stefano S. (proprio lui, che evidentemente, costretto sotto i gioghi matematici, riesce a far lavorare bene i propri neuroni!) e Davide C. seguono lo stesso ragionamento. Lo avranno fatto insieme? Cerco di esprimerlo con un collage delle loro frasi:

Il perimetro del parallelogramma è fatto da due basi più due lati obliqui del triangolo, ed è 3 cm più lungo di quello del triangolo, ne consegue che i 3 cm sono la lunghezza della base del triangolo.

Il perimetro del rombo è costruito con 4 lati obliqui del triangolo e non ha “la base”. Il suo perimetro è 7 cm più lungo di quello del triangolo. Quindi se sommo i 7 cm ai 3 cm trovo 10 cm, che sono la misura della somma di due lati obliqui. Quindi ciascun lato obliquo misura 5 cm. Il perimetro del triangolo è 5 cm + 5 cm + 3 cm = 13 cm

Sembra essere la stessa strada percorsa da Alessandro N., il quale però cerca di essere sintetico e, per spiegare come ha trovato la base del triangolo, dichiara solo di aver fatto “un ragionamento di confronto”, il resto è lasciato all’intuizione del lettore. Lo ringrazio molto per la fiducia :-)

Valentina V., che gioca in seconda B, segue in sostanza la stessa via ma aggiunge una sfumatura di differenza. “Apre” i triangoli, ne distende i contorni e confronta i segmenti così ottenuti.

Le due sorelle Federica e Alessia S., rispettivamente in terza e prima B, forniscono una soluzione famigliare (una cosa fatta in famiglia, sarebbe a dire). Copio/incollo le loro parole:

Abbiamo tracciato il parallelogramma ed identificato i i suoi vertici ABCD. Considerando che 2pABCD = 2pACD+3cm, è evidente che AB è lungo 3 cm. A questo punto la base di ogni triangolo è pari a 3 cm

Con i dati del rombo possiamo ora calcolare i lati obliqui di ogni triangolo.

Sapendo che la differenza dei vari perimetri è pari a 7 cm e avendo già la base, dobbiamo sottrarre a 7cm i 3 cm della base. Quindi la differenza, di 4 cm, è da dividere sui due lati; il risultato pari a 2 cm lo sommiamo alla misura della base del triangolo e otteniamo che ogni lato del triangolo è pari a 5 cm.

Quindi ogni triangolo ha come perimetro (5+5+3)cm =13 cm

Forse non è proprio chiarissimo perché quei 2 cm vadano poi sommati ai 3 cm della base. Però il ragionamento funziona, direi.

Davide C. (prima B) risolve con disegno e un sistema di equazioni e ammette: “i disegni e le equazioni sono state fatte da me poi mi sono fatto spiegare come risolverle.”

Le equazioni sono: 

2a + 2b = 2a + b + 3cm      da cui si ottiene b = 3 cm

e

4a = 2a + b + 7 cm          da cui, sostitito b con 3 cm, si ha a = 5 cm

Fin qui tutto bene, purtroppo Davide, come altri, va detto, non legge con attenzione la domanda e calcola il perimetro del rombo, quello del parallelogramma e dimentica proprio quello del triangolo!

Gli altri solutori sembrano essere andati per tentativi. Si tratta dei secondini  Matteo Ca. e Sharon C. e di Francesco A. (prima B), il quale fa un disegno con alcune misure. Sono le misure corrette, purtroppo non c’è alcuna spiegazione su come ci sia arrivato.

Il secondo

Diamo subito la risposta: le strette di mano sono 29.

Una quantità sorprendentemente alta di persone ha frainteso il senso della domanda oppure ha commesso qualche errore nei conti. Insomma ha dato una risposta sbagliata, fatto che testimonia la soggettività del confine tra “facile” e “difficile”.

Tra i molti che danno la risposta giusta, qualcuno limita la spiegazione a un disegno con le “strette di mano”, i più forniscono un commento più articolato: banco per banco contano le strette di mano, facendo attenzione a evitare le ripetizioni.

Come esempio, riporto le parole di Marco A. (prima B): “sono partito dal banco in alto a sinistra che
ha stretto le mani a 3 compagni, il secondo a 4, il terzo a 2, il quarto a 3, il quinto a 4, il sesto a 2, il settimo a 3, l'ottavo a 4, il nono a 2, il decimo a 1, l'undicesimo a 1 e l'ultimo a 0.”

Oppure, c’è un approccio più “per categorie”. Usato, ad esempio, da Sophia Z. (seconda B):

- Ognuno degli alunni seduti ai 4 angoli della classe dà 3 strette di mano ai compagni seduti ai banchi adiacenti, quindi per loro in totale ci saranno 12 strette di mano.
- Non considerando più i 4 studenti agli angoli, conto le strette di mano che danno gli alunni seduti ai banchi nella fila centrale in verticale, in prima e ultima fila orizzontale: per loro ci saranno 6 strette di mano.
- Sempre escludendo gli alunni considerati precedentemente, ragiono con i 4 ragazzi agli angoli della classe rimanente; per loro ci saranno 10 strette.
- Osservo che i 2 studenti al centro hanno già stretto la mano a tutti gli altri, ma ne manca una tra di loro.
- In totale le strette di mano saranno: 12 + 6 + 10 + 1 = 29.

Nelle altre risposte c’è qualche piccola variante ma la sostanza rimane la stessa.

Rispondono in questo modo, in prima B: Damanjot S., Federico D.M., Lorenzo B., Lorenzo D., Marco A., Mathias D., Mattia C., Nicolò A., Samuele M., Viola Q..

Andrea G. si avventura in una lunga spiegazione… e alla fine si rifugia nel disegno! :-)

Per la seconda B, Alessandro N., Alice D. , Aman A., Carolina D.M., Davide C., Ismaele M., Jelle R., Marco T., Sara R., Sarah T. (la quale ha anche tentato di impostare un’apprezzabile espressione, che però andava sistemata meglio dal punto di vista formale), Stefano S., Valentina V.,

C’è qualcuno, però, che ha (giustamente!) tentato di aggirare la via diretta e faticosa (“faccio i conti….”) e ha abbozzato qualche ragionamento più generale, qualcosa che potesse funzionare anche cambiando il numero di banchi, ad esempio.

Federica S. (terza B) spiega: si creano 48 triangoli che hanno in comune 19 lati (che rappresentano la doppia stretta di mano) quindi 48 meno 19 fa 29, esattamente uguale a quelli  che risultano se contati uno ad uno.  Il disegno allegato:

Matteo C. (seconda B) dichiara: ho seguito uno schema molto semplice (il più delle volte sono i migliori, bisogna solo  scoprirli, aggiungo io). Ho unito tutte le strette di mano “verticali” e sono 9 (cioè 3 x 3, aggiungo io)

Poi ho unito “orizzontalmente” e sono 8 strette (cioè 2 x 4, aggiungo io)

Poi ho tracciato quelle “incrociate” ( che sono 2 x 6 = 12, aggiungo io!)

È la stessa impostazione seguita da Davide C. (prima B) che scrive: “Le strette di mano dovrebbero essere ventinove. 9 in verticale, 8 in orizzontale e 12 in obliquo.”

Alessia S. (prima B) nota che, tracciando tutte le linee delle strette di mano, si vengono a formare 6 quadrati, ciascuno con le due diagonali. Ogni quadrato è composto da 6 strette di mano.

SI può calcolare che 6x6= 36 a cui dobbiamo togliere i 7 lati che i quadrati hanno in comune.

Risulta 36 – 7 = 29

Nicolas A. (seconda B) scopre la stessa strada di Alessia. Imposta un discorso promettente poi purtroppo salta alla risposta finale, senza completare il suo ragionamento.

Sarà per la prossima volta.

Sto parlando, è chiaro, di Sarà mica matematica 29, tra breve, anzi brevissimo su questi schermi. Potrebbe essere perfino oggi stesso.

Ah, dimenticavo una cosa importante! GRAZIE alla prof Giovanna (un ringraziamento che vale ogni volta ma è sempre bene ripetere) e COMPLIMENTI a tutti quelli che ci hanno provato!