Sarà mica matematica 27, le soluzioni

Come sia possibile che il tempo cambi marcia, fino a far sembrare due settimane un paio di giorni, è un mistero. Andrebbe inserito nel lungo elenco delle cose da scoprire, insieme alla materia oscura, alle origini della vita e altre quisquilie del genere.
Fatto sta che un paio di giorni fa pubblicavo i due quesiti di Sarà mica mate 27 e improvvisamente scopro che sono passate due settimane!

È tempo di tuffarsi nel pacco di fogli, foglietti, mail e messaggi che sono arrivati dai ragazzi e scoprire cosa contengono. In un certo senso restiamo in tema: anche qui si tratta di materia oscura!

Prima di vedere le risposte, mi preme una precisazione: le risposte "giuste" sono state parecchie. Purtroppo però una risposta non può essere un numerino senza spiegazione. Evito di usare il verbo "dimostrare" ma i ragionamenti vanno illustrati, i passaggi vanno giustificati.
Quasi quasi mi spingo ad affermare che preferisco una risposta sbagliata ma spiegata piuttosto che una giusta ma senza spiegazione.

È difficile? Sì. È utile? Di più.

Tutto ciò per dire che i tra i solutori verranno citati solo coloro che hanno spiegato le loro risposte.

Ecco, possiamo cominciare con le risposte ai due quesiti.

Il primo
La prima domanda era: Qual è il più piccolo numero palindromo divisibile per 15?
Stefano S. nota che "potrebbe essere 0,30 se consideriamo un numero decimale". Non ha tutti i torti (a parte quella virgola che rovina un po' le cose): non era precisato che si maneggiano qui solo numeri interi. Ancora nelle parole di Stefano: "se ne consideriamo uno intero è 525".

Vediamo qualche spiegazione.
Più di qualcuno sceglie l'approccio più diretto, come Marco A., che scrive: "ho fatto la tabellina del 15 fino a trovare il primo numero palindromo".
Molti seguono un ragionamento simile a quello espresso nelle parole di Alessia S.: "Ho ragionato considerando che essendo multiplo di 15 doveva per forza finire per 5 o per 0. Ma zero non sarebbe stato possibile. Quindi doveva finire per 5 perciò anche iniziare per 5".
Federica S. precisa anche che il numero da cercare deve essere "di almeno tre cifre perché di palindromo a due cifre che finiscano per 5 c'è solo 55 che non é divisibile per 15".
Da qui a scoprire il 525 il passo è abbastanza breve. Può bastare qualche tentativo.

Però non è ben chiaro perché i multipli di 15 finiscano sempre per 5 o 0.

Cerchiamo di capirlo prendendo qualche pezzo delle risposte di Davide C. e di Sophia Z.:

• Un  numero è divisibile per 15, se è anche multiplo sia di 3 sia di 5 (infatti 15=3 x 5).
• Seguendo il criterio di divisibilità per 5, il numero dovrà avere come ultima e, di conseguenza, come prima una cifra uguale a 0 o 5; ma, siccome non esiste nessun numero (tranne 0) che inizi per 0, il numero dovrà cominciare e finire con 5.
• Secondo il criterio di divisibilità per 3, la somma delle cifre deve essere multiplo di 3.

Un paio di tentativi e si arriva a 525.

La seconda domanda era: qual è il più grande tra i numeri di 4 cifre che sia palindromo e divisibile per 15?

Il ragionamento è simile: il numero deve iniziare e finire con la cifra 5. Le due cifre centrali devono essere uguali tra loro. La somma delle cifre deve essere un multiplo di 3.
Pochi tentativi e si scopre che il numero che cerchiamo è 5775.

I solutori che hanno dato una spiegazione (magari parziale, magari non del tutto corretta ma insomma si hanno provato davvero) sono:

• i primini:  Alessia S., Andrea G., Davide C., Lorenzo B., Lorenzo D, Mattia C. e Viola Q.
• i secondini: Alessandro N., Ismaele M., Marco T., Sharon C., Sophia Z. e Stefano S.
• i terzini: Fabio P., Marika M., Pietro G., Rosa D.M.

All'elenco si aggiunge un fuori quota (ma potrei ben chiamarlo fuoriclasse): Matteo C., direttamente dalla prima Liceo! È un graditissimo ritorno: un saluto e una gran pacca sulla spalla a lui!


Si limitano al 525:

• i primini:  Luca N., Marco A. e Tommaso S.
• i secondini: Amanda P.  e Matteo Ch.
• i terzini: Federica S., Leonardo e Marcella D.C., Noemi C. e Rosa D.M.

Per qualche motivo non hanno trovato il 525 ma solo il 5775 i due secondini Aman A. e Matteo Ca.

Il secondo
La richiesta era: ordinare le forme secondo il loro peso: dalla più leggera alla più pesante.
La risposta, uguale per tutte e tre le bilance è: A, C, B.  

Qualche spiegazione.

Figura 1: Dalle posizioni dei due bracci secondari risulta che B>A e che B>C. Quindi B è il più pesante. Osservando il braccio principale si nota che B+C > B+A. Quindi C è più pesante di A.
Dal più leggero al più pesante si ha dunque: A, C, B.

 

Figura 2: Dall'osservazione del braccio principale risulta che B+C+A > C+C+A+A. Ciò significa che B > C+A. Quindi B è il più pesante. Osservando il braccio secondario, a destra, si vede che C+C > A+A. Quindi C è più pesante di A.
Dal più leggero al più pesante si ha dunque: A, C, B.

Figura 3: Osserviamo il braccio secondario, a destra. Risulta che B > C+A. Quindi B è il più pesante. Osserviamo ora il braccio principale. Si ha B+A+C > B+A+A. Quindi C è più pesante di A.
Dal più leggero al più pesante si ha dunque: A, C, B.

I solutori di almeno una delle tre bilance (anche qui vige la regola: o spiegazione o niente) sono: 

• i primini:  Alessia S., Davide C., Marco A., Morgana M.  e Tommaso S.
• i secondini: Alessandro N., Ismaele M., Marco T., Matteo Ca., Nicolas A., Sophia Z., Stefano S. e Valentina V.
• i terzini: Fabio P. e Federica S.

Anche in questo caso si aggiunge il fuori quota fuoriclasse Matteo C..

Come sempre temo di dimenticare qualcuno. Nel caso gli interessati mi avvisino e provvederò.
Come sempre faccio i miei complimenti a tutti quelli che ci hanno provato davvero.
Come sempre passo la palla alla prof Giovanna per un'altra puntata  di Due alla settimana. Buoni ragionamenti (e spiegazioni!) a tutti.