Due a settimana..._12, le nostre soluzioni

Prof, ha corretto i quesiti?

Questa è la domanda più ricorrente degli ultimi giorni. Segno che qualcuno è convinto di aver risposto bene ai quesiti dell’ultimo Due a settimana della prof Giovanna. E conta di guadagnarsi una bonus card per risollevare le sorti del proprio anno scolastico. (D’altronde è ormai maggio e la pagella si avvicina.)
Se così è, temo che non sia una buona strategia!
Comunque sia, andiamo a vedere quali risposte abbiamo dato ai due quesiti. 

IL PRIMO

L’area della parte colorata è 22,5 cm². Questa è la risposta e parecchi ci sono arrivati. Purtroppo non altrettanti hanno dato una spiegazione. Vediamone alcune.

Naomi R sostiene: Ho guardato nella figura colorata quanti sono i triangoli interi (16), i mezzi triangoli (9 = 4,5 cm²) e quattro triangoli che ne formano 2 interi. Dopodiché ho sommato il tutto.

D’accordo, però non mi soddisfano quei “quattro triangoli che ne formano 2 interi”. Ne siamo sicuri? Perché? Percome? Urge qualche spiegazione in più.

Ci prova, ad esempio, Viola Q , che allega una figura e scrive:

1. Conto i triangolini interi che compongono la figura, sono 16;
2. Conto i mezzi triangolini che ci sono sui lati della figura. Sono 9, cioè 4,5 triangolini interi.
3. Osservo i triangolini in alto: sono 4 ma non sono interi. Osservo però che il numero 1 è la parte mancante del 4 mentre il numero 2 si completa con il numero 3. Quindi i triangolini sono 2.
4. Sommo tutti i triangolino trovati e moltiplico per 1 cm², cioè l’area di ogni triangolino. Risultano 22,5 cm²

Per la verità la parola triangolini è una mia traduzione: Viola aveva scritto quadratini. Ma è forse il caso di essere pignolini? Precisini? In fondo questa sarà mica matematica, no?

Anche Sarah T allega una figura e la commenta.

Per calcolare l’area del rettangolo ABCD, conta 16 triangoli interi e 8 metà: ne risulta un’area di 20 cm².

Poi continua: per l'altra parte ho iniziato a calcolare l'area del parallelogramma che ho tracciato. L'area è formata da 4 triangoli interi quindi 1cm² x 4 = 4cm². L'area della parte colorata nel parallelogramma è, però, la metà: quindi 4cm²:2= 2cm². Ci manca ora da calcolare il mezzo triangolo colorato che si trova all'esterno del parallelogramma ed essendo la metà di un triangolo intero, la sua area è 1cm² : 2 = 0,5cm².

Ora l'area totale è 20cm² (area del rettangolo) + 2cm² (area del parallelogramma) + 0,5 cm2 (area del mezzo triangolo) = 22,5 cm².

In sostanza è la stessa spiegazione di Stefano P:

Ogni "piano" della figura arancione è 5 cm² perché è formato da quattro triangoli da 1 cm² più due mezzi. Ci sono 4 "piani" x 5 cm² = 20 cm².

Come si vede dal disegno, il "piano" più in alto è formato da un parallelogrammo da 4 cm² tagliato a metà dalla sua diagonale più un mezzo triangolo, Quindi il piano più alto è di 4 : 2 + 0,5 = 2,5 cm². L'area della figura arancione è 20 cm² + 2,5 cm² = 22,5 cm².

 

SoPHia Z non allega immagini ma la sua spiegazione mi pare ugualmente chiara:

• Noto che la parte colorata è formata da 4 rettangoli congruenti e un triangolo rettangolo che corrisponde proprio alla metà di ciascuno dei rettangoli sottostanti.
• Ognuno dei rettangoli è formato da 4 triangolini equilateri con Area di 1cmq e da 2 metà triangolini che, sommati, compongono un triangolo equilatero congruente agli altri 4.
• Perciò ogni rettangolo ha Area = Area triangolini x 5 = 1cmq x 5 = 5cmq
• Per sapere l'Area del triangolo rettangolo al vertice della figura, devo calcolare: Area rettangolo : 2 = 5cmq : 2 = 2,5cmq
• Quindi l'Area totale è data da: Area rettangolo x 4 + Area triangolo rettangolo = 5cmq x 4 + 2,5cmq = 20cmq + 2,5cmq = 22,5cmq

Come ho accennato prima, qualcuno ha dato una risposta corretta ma non argomentata (non valido, cari amici); oppure con spiegazioni parziali, imprecise, incomplete (ad esempio: ho contato tutti i triangolini, sono 22,5); oppure in un italiano troppo claudicante perché la mia povera mente affaticata lo possa tradurre.

L'elenco completo dei solutori è questo: Gaia B, Gaia C, Giulia A, Mattia G, Mirko G, Morgana M, Naomi R, Nouha A, Pietro B, Sarah T, SoPHia Z, Stefano P, Viola Q.

IL SECONDO

Anche in questo caso le risposte "giuste" sono più di quelle argomentate con cura. 
Ne scelgo alcune tra le più chiare e complete.

SoPHia Z:
- Dato che la somma di due facce opposte è sempre 7, la faccia interna del primo cubo da
  destra è 3 perché di fronte c'è 4.
- Del cubo in centro, dato che le due facce che combaciano con gli altri due cubi sono opposte, la loro somma sarà in ogni caso 7.
- Il terzo cubo è nella stessa posizione del primo quindi la faccia interna è 4.
- Perciò: 3 + 7 + 4 = 14

Stefano P allega un'immagine e scrive:

Il primo e il terzo dado sono messi allo stesso modo, quindi la faccia che combacia del primo dado [da sinistra, ndp (cioè nota del prof)] ha il 4 come si vede sul terzo dado.

La faccia che combacia del terzo dado (cioè quello più a destra, ndp) ha il numero 3 perché è opposta al 4 e la somma deve dare 7. Per lo stesso motivo la faccia dietro è 6 e quella sotto è 5.

Per sapere come sono i numeri del dado centrale ho immaginato di far girare uno degli altri due, prima per mettere il 3 davanti e poi per far andare il 6 sopra.

In questo modo si vede che il dado centrale ha il 5 e il 2 sulle facce che combaciano.

La somma dei punti sulle facce che combaciano è 4 + 3 + 5 + 2 = 14.

Dopo aver fatto questo ragionamento, mi sono accorto che non c'era bisogno di sapere come era messo il dado centrale, perché la somma delle due facce che combaciano con gli altri due dadi, che sono opposte, doveva essere 7.

Sarah T:

Visto che la somma delle facciate opposte è 7 ed i cubi laterali sono posizionati allo stesso modo , la faccia del  primo cubo (a destra, ndp) che combacia con quella del cubo centrale conta 3 puntini perchè è opposta alla faccia che conta 4 puntini (7-4=3); la faccia del terzo cubo (a sinistra, ndp) che combacia con quella del cubo centrale conta 4 puntini (che corrispondono a quelli che si vedono nel terzo cubo a destra).Le due facce del cubo centrale contano 2 e 5 puntini perché se la faccia in alto ha 6 puntini quella opposta ne ha 1, se quella di fronte ha 3 puntini quella opposta ne ha 4; e quindi quelli che rimangono sono le facce con 2 e 5 puntini. Quindi la somma dei puntini che stanno sulle facce che combaciano è 4 punti (1° cubo) + 3 punti (3° cubo) + 2 + 5 punti (2° cubo) = 14 punti.

Uguali nella sostanza, e altrettanto buone, la spiegazione di Viola Q e quella di Tommaso S e Cristian C (che lavorano in due per dimezzare la fatica), Leonardo R, Luca T (il quale risponde con un interessante mistura di parole e disegni). Però sono tutte scritte su un foglietto e stavolta non posso proprio mettermi a trascriverle.

Corrette ma con argomentazioni un po' così e un po' cosà le risposte di Gaia C, Giulia A (la quale fa tutto un lungo discorso e dimentica di dare la risposta finale!), Mirko G (anche lui fa un buon ragionamento ma dimentica la risposta conclusiva), Morgana M, Nouha A, Pietro B.

E con questo abbiamo finito, spero di non aver dimenticato nessuno. Certamente non dimentico di complimentarmi con tutti quelli che ci hanno provato. Nemmeno dimentico di ringraziare la prof Giovanna (a proposito, date un'occhiata anche alle soluzioni su Matematicamedie).

Infine devo dare l'appuntamento per la prossima puntata di Sarà mica mate. Non ho il coraggio di azzardare una data precisa. Al più presto, nei prossimi giorni. Può andare bene?
Quello che è sicuro, però, è che sarà l'ultima puntata della stagione. È deciso. I cacciatori di bonus card sono avvisati :-)