Sarà mica matematica 34

È sempre così.

Ogni volta mi riprometto di mettere a punto per tempo i giochi della puntata successiva. E quasi ogni volta mi riduco a scrivere all’ultimo momento.

Prima che il ritardo diventi esagerato, dunque, ecco i due quesiti che ho scelto stavolta.

Il primo

Nell'ultima puntata di Due a settimana...  abbiamo cercato di "scoprire la formula" per calcolare la somma di n numeri triangolari (qui le nostre soluzioni, qui quelle dei ragazzi della prof Giovanna).

Ammetto che mi è piaciuto. Abbiamo messo insieme dei buoni ragionamenti e, anche se pochi sono arrivati fino in fondo, siamo riusciti a costruire delle formule valide seguendo strade originali.

Siccome questo gioco mi pare utile e interessante, propongo una nuova manche di Dai forma alla formula.

Stavolta la richiesta è: trovare una formula che consenta di determinare la somma di tre numeri interi consecutivi qualunque. Senza dover effettuare il calcolo della somma, si intende.

Occhio: cerchiamo la formula migliore, quella più semplice ed elegante, quella che permette di sapere qual è la somma con il minor numero di calcoli possibile.

Temo sia fin troppo facile. Quindi do perfino un aiutino, che nei quiz non manca mai!

Scegliete tre numeri a caso, interi e consecutivi. Sommateli. Riprovate con altri tre numeri. Magari ancora con altri tre. Notate qualcosa?

Per i terzini in particolare: la formula che avete trovato vale anche per i numeri negativi? Vale anche se c'è lo zero?

Vi sembra davvero troppo facile? Allora provate a cercare anche la formula per la somma di quattro numeri interi consecutivi.

Il secondo

Viaggiamo a cavallo tra l'aritmetica e la geometria.

Prendete un cubo con un pallino ad ogni vertice. Se proprio in casa non ne avete, non preoccupatevi, ve ne ho preparato uno io, eccolo qui.

Adesso prendete i numeri (interi) da 0 a 7. Dovete inserirne uno in ciascuno dei pallini. Sono 8 vertici, 8 pallini, 8 numeri. In altre parole, ogni numero va usato una volta sola.

Fino a qui è facile.

Adesso dovete fare in modo che la somma dei due numeri ai vertici di ogni spigolo sia un numero primo.

La risposta ideale non è frutto di tentativi casuali. Sarà quindi corredata da un ragionamento e una spiegazione adeguata e precisa.

Anch'io voglio essere preciso, quindi dirò che i numeri primi risultanti si possono ripetere. D'altra parte è inevitabile perché... quanti spigoli ha un cubo? E qual è il numero primo più grande che potete ottenere dalla somma di due dei numeri che avete a disposizione?

Ecco tutto. In chiusura, vorrei consigliarvi il libro da cui ho tratto il secondo quesito. Purtroppo non posso: per rivelare il titolo del libro dovrò aspettare il post con le vostre soluzioni.

Avete tempo per mandarmele fino a mercoledì 1 aprile. Non è uno scherzo! È che poi cominciano le vacanze di Pasqua!

Due a settimana..._11, le nostre soluzioni

I giochi proposti dalla prof Giovanna in Due a settimana..._11 erano stimolanti anzichenò. Vediamo quali risposte siamo riusciti a trovare ai due quesiti.

Il primo

La domanda, in sintesi, era: se l’area della struttura in figura - a quattro scalini - è di 9 cm², quanti cm² misura l’area di una figura a venti scalini?

I più sgamati avrebbero potuto riconoscere nella struttura a scalini un tentativo di camuffare la rappresentazione di un numero triangolare. Qualcuno avrebbe anche potuto chiamare in causa Gauss, il principe della matematica, e le sue scoperte da bambino prodigio. Nessuno è arrivato a tanto. Il che non mi stupisce perché con le tre classi attuali non avevo mai parlato nè di numeri triangolari, nè del grande tedesco.

Vuol dire che coglierò al volo l’occasione per farlo, in classe. Ma significa anche che i ragazzi hanno fatto tutto in autonomia, senza l’aiuto del principe della matematica, al massimo hanno sfruttato qualche mia dritta (e come principe non valgo un granché).
Ognuno ha seguito strade diverse, qui sta il bello.

C’è chi ha scelto di scalare la montagna per la via diretta e più faticosa. Ad esempio Marco A, il quale nota che la struttura a quattro scalini è composta da 10 quadratini, e scrive:

Se l'area di 10 quadratini misura 9 cm², un quadratino misura (9 : 10) = 0,9 cm².

Ho contato i quadratini di 20 scalini e sono 210, quindi l'area sarà (210x0,9) =189cm².

Anche Morgana M fa la stessa scelta.

Puntare dritti alla vetta può funzionare se la montagna non è troppo alta. In questo caso si trattava di una salita di 20 scalini. Ma se fossero stati 100 scalini? Oppure 1000? Invece della via diretta (contare i quadratini) forse è meglio cercare qualche strada alternativa, magari con qualche tornante. Infatti la prof Giovanna chiedeva esplicitamente un ragionamento.

Pietro B non ha solo fatto un ragionamento, lo ha anche rappresentato con bella abbondanza di disegni e colori. In effetti si è affidato più alla grafica che alle parole. Io ho tolto anche le poche frasi che lui aveva scritto. Tutto sommato il risultato mi pare abbastanza chiaro.

 

 

Nella struttura a 20 scalini ci stanno 10 quadrati  da 16 quadratini e 5 "triangoli" da 10 quadratini. Per un totale di 160 + 50 = 210 quadratini.

C'è del buono, non solo dal punto di vista estetico. Ma ci sono anche due punti deboli. Pietro si è fatto prendere dall’essenza del quesito (scoprire il numero di quadratini) e si è dimenticato che la richiesta ufficiale è l’area della struttura a venti scalini! (Lo capisco, anch’io stavo per dimenticarmene.) Inoltre ha comunque dovuto costruire la struttura per trovare la risposta.

  
Lorenzo B ha notato che la figura con quattro scalini ha 10 quadretti e quella da cinque ne ha 15, cioè i 10 di quella da quattro + 5. Quella da sei scalini avrà 6 quadratini in più e così via. Ho continuato con questo procedimento fino ad arrivare a 210 quadretti (della figura da venti scalini). Poi ho fatto 210 x 0,9, cioè l’area di ogni quadretto, ed è uscito 189 cm².

Per dirla con le parole di Mirko G oppure di Leonardo R, si tratta di sommare:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 = 210

Si tratta cioè di una progressione aritmetica o, meglio, di una serie aritmetica: calcolare la somma dei numeri interi da 1 a 20.

Matteo C, per gli amici Teo, ha ragionato in modo simile ma al contrario, per così dire. Ecco il suo disegno e le sue parole:

Per sapere da quanti quadratini fosse formata la figura da 20 scalini, ho pensato che ogni colonna (dall' alto al basso), guardando da sinistra verso destra, sia formata da un quadratino in meno rispetto alla sua precedente (quella alla sua sinistra). Perciò ho sommato il numero dei quadratini di ogni colonna:

        20+19+18+17... = 210 quadratini.

Ma c'è un modo per scoprire il risultato senza fare tutti i calcoli? Se avete letto con attenzione i link che trovate più sopra, dove si parla di Gauss giovane prodigio, dovreste già sapere la risposta. In alternativa procedete per sapere le risposte di alcuni novelli Gauss (sembra già di sentire il re della matematica che si agita nella tomba).
Procediamo, dunque.

Le due figure qui sotto sono quelle realizzate, rispettivamente, da Sarah T e da Naomi R.

 

Potrebbero sembrare copiate ma ho ottime ragioni per credere il contrario. A volte non serve copiare, basta fare attenzione durante le lezioni. Ecco le parole di Sarah:

Il primo quesito mi è sembrato facile dopo i suoi suggerimenti in classe, quindi spero che sia decentemente corretto: ho ragionato facendo riferimento alla scala a 4 e poi ho riportato ragionamenti e calcoli alla scala a 20.
1_ il primo passaggio è stato quello di formare un triangolo in modo da poter calcolare l'area (con i quadrati).   (q=quadrati) 
2_ L'area di ABC è quindi: 4q x 4q:2= 16q:2=8q 
3_ Poi, però, rimane da calcolare la parte sporgente della scala: visto che l'ipotenusa taglia perfettamente a metà i quadrati laterali ho proceduto così: se è una scala a 4 anche il  "lato" è a quattro e, visto che l'ipotenusa taglia i quadrati a metà basta fare 4q:2=2q.  
4_ Quindi 8q (quelli del triangolo)+2q (quelli tagliati dall'ipotenusa) =10q (quadrati di tutta la scala).

5_  Infine ho rifatto questi passaggi ragionando con la scala a 20:  20q(base) x20q(altezza) : 2= 400q:2=200q (questa è l'area del triangolo). Poi ho calcolato i mezzi quadrati sporgenti: 20q:2=10q. Quindi 200q+10q= 210q che sono i quadrati che formano la scala a 20.

6_Quindi l'area della scala a 20 è 210q  x 0.9cm²=189cm².        

È più facile da fare che da dire. Forse allora è meglio non riportare anche le parole di Naomi, la quale ha seguito lo stesso ragionamento, nella sostanza (in più, ha usato Geogebra, yeah!).

Il già citato Leonardo R propone anche un'altra soluzione. Scrive: faccio diventare il triangolo una figura geometrica che conosco: un rettangolo.

Calcolo l'area del rettangolo: 5 x 4 = 20. La figura a quattro scalini ha quindi 20:2= 10 quadretti.

Se gli scalini sono venti si ha 21x20 = 420.   420:2 = 210.   210x0,9 = 189

Fino a qui si sono viste buone idee, senza dubbio. Nessun tentativo di generalizzare, però. Nessuna formula che si possa usare per qualunque numero di gradini.

Sophia Z propone una risposta che è sicuramente frutto di un suo pensiero originale. Infatti è così complicata che secondo me lei stessa ha un po' perso il filo nella spiegazione. Ho tentato di dare una sistemata: ecco cosa ne è uscito.

• Osservando le figure allegate, noto che il numero di scalini è uguale al numero di quadratini sia della base sia dell'altezza di ogni scala. Quindi se una scala ha n gradini, avrà anche n quadretti di base e n di altezza.

• Noto che togliendo una colonna o una riga al quadrato di lato n, si ottiene un rettangolo la cui area è:

A_rettangolo = n² – n

•  Noto che tale rettangolo corrisponde al doppio del numero di quadratini della scala precedente,  quindi:

Nquadratini scala precedente = A_rettangolo : 2=  (n² – n) : 2

• Ad esempio, per trovare il numero di quadratini della figura a tre scalini, divido per 2 l'Area del rettangolo che ottengo nella figura della scala a quattro scalini:

Nquadratini scala a 3 gradini = Arettangolo : 2 = (4²- 4) : 2 = (16 – 4) : 2 = 12 : 2 = 6

 

• Per ottenere il numero di quadretti della scala a 4 gradini posso sottrarre dal quadrato di lato 4, la scala a 3 gradini. Quindi:

Nquadratini scala a 4 gradini = 4² – (4²- 4) : 2 = 16- (16 – 4) : 2 = 16- 12 : 2 = 16 – 6 = 10

• Per ottenere l'Area della scala, moltiplico il numero di quadratini per 0,9 cm², ottenuti dividendo l'Area della scala iniziale (a 4 scalini) per il n° di quadratini (10) della stessa figura.  

• Seguendo l'esempio sopra descritto, compongo la formula che serve per trovare le Aree di ogni scala conoscendo il suo numero di scalini:

  Ascala = [Nscalini² - (Nscalini² - Nscalini) : 2] x Aquadratino

Ringrazio Sophia per avermi fatto scervellare per un paio d'ore (sto meditando di levarle due punti dalla prossima verifica, per vendetta).

La signorina Viola Q, si era appuntata una buona soluzione sul retro del proprio righello (!). Poi però le costava fatica trascriverla in forma comprensibile e inviarmela. Ho dovuto supplicarla, poi sono passato alle minacce e finalmente lei si è degnata di scrivere (anche qui ho fatto qualche piccolo intervento di remise en forme, come direbbe la prof di francese):

PASSAGGIO 1:

Prima di tutto ho trovato l'area di ogni quadratino e ho fatto  9cm²:10 cioè l'area complessiva divisa per il numero dei quadratini. Ho trovato 0,9 cm².

PASSAGGIO 2:

Ho notato che in ogni sequenza, il numero di quadratini diposti un orizzontale erano lo stesso numero di quelli posti in verticale e di quelli posti in obliquo.

PASSAGGIO 3:

Ho cercato di trovare la formula e ho fatto un ragionamento: considero la figura intera, cioè un quadrato, lo ho divido per due [con una diagonale che] taglia il quadrato a metà e taglia l'ultima fila di quadratini in due. Così per trovare l'altra metà di quadratini faccio il numero di essi diviso per due, così questo numero andrà a sommarsi a quello dei quadratini spezzati a metà.

Se N= numero di quadratini, la formula è: 

(N²:2 + N:2) X 0.9cm ²= (20²:2 + 20:2)X 0.9 cm² = (200 + 10) X 0.9cm²= 210X 0.9cm²=189cm²

Anche per Viola sto studiando delle adeguate forme di punizione per combattere la sua vergognosa pigrizia :-)

Infine ecco il testo e le figure della mail di Stefano P, classe prima B:

Per trovare quanto misura l'area della scala da 20 gradini, devo prima sapere quanto è l'area di un quadratino e poi moltiplicarla per il numero di quadratini che ci sono nella scala da 20 gradini.

Siccome nella scala da 4 gradini è formata da 10 quadratini, calcolo l'area di un quadratino:

9 cm² : 10 = 0,9 cm².

Per trovare il numero di quadratini di una scala, per esempio quella da 4, ho visto che potevo fare la somma 1+2+3+4 = 10.

Così per trovare il numero di quadratini della scala da 20 ho fatto 1+2+3+4+5+...+20 = 210.

L'area della figura formata da 20 gradini è: 210 x 0,9 cm² = 189 cm².

Dopo, dato che la Prof. Giovanna ha parlato di una formula, ho provato a trovarla.

Ho disegnato delle scale di 3, 4, e 5 gradini per trovare una formula che andasse bene per tutte.

Disegnando le varie scale si vede che il numero di quadratini della figura è quasi uguale alla metà (parte arancione del disegno) di quelli del quadrato che la contiene: 

N è il numero di gradini ed è anche il lato del quadrato.

La formula per trovare i quadratini nella parte arancione è quindi N x N : 2.

Manca la parte blu, che per la scala da 3 è di 3 mezzi quadratini, per quella da 4 è di 4 mezzi quadratini, e così via.

Il numero di quadratini della parte blu è quindi la metà del numero di gradini, cioè  N : 2.

La formula per trovare i quadratini di tutta la parte colorata, cioè della figura che ci interessa, è quindi:  

N x N : 2 + N : 2.

Per la scala da 20 gradini è: 20 x 20 : 2 + 20 : 2 = 400 : 2 + 10 = 210.

Bene.È stata una lunga carrellata di risposte (spero di non aver dimenticato nessuno). Per chiudere vorrei solo far notare che le formule proposte,

quella di Sophia: Nq= [n² - (n² - n) : 2]

quella di Viola: Nq = (n²:2 +n:2)

quella di Stefano: Nq = n x n : 2 + n : 2

sono tutte equivalenti tra loro. Per passare da una all'altra basta qualche semplice passaggio algebrico. Che  vi risparmierò per umana pietà.

Il secondo

Qui dovremmo cavarcela più rapidamente.

Cominciamo da Stefano P:

Ho fatto una tabella dei 5 candidati, poi ho messo i voti che conoscevo (primo e ultimo).

La tabella risultava così:

1° = 12     2° = ?     3° = ?     4° = ?     5° = 4

Ho trovato che la somma dei voti del primo e del secondo candidato era 16 e ho distribuito i 20 voti degli altri candidati (36 - 16 = 20) rispettando le regole.

Ho trovato queste due soluzioni:

1° = 12     2° = 9     3° = 6     4° = 5     5° = 4

e

1° = 12     2° = 8     3° = 7     4° = 5     5° = 4

Quindi il candidato che si è piazzato al secondo posto può aver preso 9 oppure 8 voti.

Per maggiore chiarezza riporto le parole di Sarah T, la quale precisa:

il quarto classificato può aver ricevuto solo 5 voti : se proviamo a supporre che abbia ricevuto 6 voti il secondo e il terzo devono avere una somma di 14 voti (20-6). Supponiamo che il terzo abbia almeno 7 voti il secondo ne deve avere 7 (14-7) e i candidati non possono avere lo stesso numero di voti.  Anche se supponiamo che il quarto abbia 7 voti, i conti non tornano...

Chiarito questo punto, possiamo concludere sfuttando le parole di Sophia Z:

rimangono 15 voti che posso assegnare ai due restanti candidati in una delle seguenti combinazioni:

• 9 al secondo e 6 al terzo
• 8 al secondo e 7 al terzo

Hanno trovato le stesse due soluzioni anche Davide M, Leonardo R, Marco A, Mattia G, Mirko G, Mirko P, Mirko S, Pietro B.

Hanno individuato solo una delle due soluzioni: Alessia V, Federico M, Lorenzo B, Marco G, Marco V, Morgana M, Naomi R, Nouha A, Riccardo R, Tommaso G.

È a malapena il caso di precisare che una soluzione è valida se accompagnata da una spiegazione adeguata, almeno parziale. Un numerino buttato lì senza spiegare oppure con una spiegazione che non sta in piedi, non si può proprio considerare una risposta giusta.

Ciò detto, faccio i soliti complimenti a tutti coloro che hanno fatto lavorare i propri neuroni (non solo quelli di un parente disponibile). Si faccia attenzione: i complimenti vanno anche a chi non è riuscito a trovare risposte corrette.

Posso chiudere il post con la sensazione che, cari ragazzi, abbiamo fatto matematica.

Prima di mettere il punto finale, però, devo dare l'appuntamento a... prossimamente (meglio non essere troppo precisi) con la nuova puntata di Sarà mica matematica.