Sarà mica matematica 30, le soluzioni

Con il consueto ritardo, vanno ora in onda le soluzioni ai quesiti di Sarà Mica Matematica 30, per gli amici SMM30.

Come al solito i quesiti erano due.

Il primo

Mi pare giusto distinguere tra chi, come richiesto, ha usato solo parentesi necessarie e chi ne ha usata qualcuna in più.

Prima quelli che hanno gestito al meglio le parentesi.

Stefano P. e Luca T. (entrambi di prima B), Alessia S., Aurora R., Damanjot S., Tommaso S., Viola Q. (di seconda B) e Aman A. (terza B) riescono a trovare un modo per arrivare a zero senza usare parentesi: 

18+12+18-16-1-4-23+7-11=0

In particolare Luca spiega: "Ho pensato che per arrivare a 0 devo avere gli stessi numeri sia con il + che con il -, quindi ho sommato tutti i numeri e ho ottenuto 110, ho fatto 110:2=55 e ho cercato i numeri che dessero una somma di 55 a cui ho messo davanti il +, agli altri ho messo il segno -." Una spiegazione simile ma meno completa viene anche da Andrea G. 

Mirko G. (prima B): 18-12+18-16+1-4-(23-7-11)=0

Riccardo R. (prima B): 18+12+18-16-(1+4+23)+7-11=0

Pietro B. (prima B): 18+12+18-(16+1+4+23)+7-11=0

Ismaele M. (seconda B): 18+12+18-16+1-4-(23-7-11)=0

Nicholas A. e Marco T. (terza B) lavorano in coppia e propongono due soluzioni, una a testa, verrebbe da dire:

18-12+18-16+1-(4+23-7-11)=0

18+12+18-16-1-(4+23-7+11)=0

Un riconoscimento anche a chi ha costruito una (o più) espressioni con il risultato richiesto ma utilizzando qualche parentesi non necessaria.

Sophia Z. (terza B): 18 + 12 + (18-16) - (1 + 4) - (23 - 7) - 11 = 0 (inutile la prima tonda)

Aman A. e Damanjot S.: 18+(12+18)-16-1-4-(23-7)-11=0 (inutile la prima tonda)

Alessia V. (prima B): (18+12+18)-(16+1+4+23)+7-11=0 (inutile la prima tonda)

I fratelli Federico e Carolina D.M. propongono le stesse soluzioni (anche se per onestà dovrei dire che Carolina ha inserito una tonda in più nella prima soluzione...:

[(18+12+18-16)]-[1+4+(23-7)+11]=0 (inutili entrambe le tonde e la prima quadra)

(18+12)+18-[(16+1+4)+(23-7)+11]=0 (inutili tutte le tonde)

Lorenzo B. (seconda B): (18+12+18)-16-(1+4+23)+7-11=0 (inutile la prima tonda)

Tommaso S. (seconda B): (18+12)+(18-16)-(1+4)-(23-7)-11=0 (inutili le prime due tonde)

Ismaele M. (seconda B): (18-12+18)-(16+1+4)-(23+7-11)=0

Stefano S. (terza B): (18+12+18)-16-[(1+4)+(23-7)]-11=0 (inutili tutte le tonde)

e (18+12+18)-(16+1+4)-(23-7)-11=0 (inutile la prima tonda)

Sarah T. e Valentina V. (entrambe in terza B), ciascuna per proprio conto, fanno un ragionamento simile a quello esposto sopra: dividono i numeri in due gruppi e cercano di sottrarre l'uno all'altro per ottenere zero. Poi però non riescono a seguire il ragionamento fino in fondo e costruiscono espressioni con alcune parentesi che si potevano evitare.

Quelle proposte da Valentina sono

(18+12+18)-(16+1+4+23)+7-11=0 (inutile la prima tonda)

(18-12)+(18-16)+1-4-[23-(7+11)]=0 (inutili le prime due tonde).

La soluzione di Sarah è invece:

18+(12+18)-16-1-[4+(23-7)]+11=0 (inutili entrambe le tonde).

Infine, forse qualcuno si chiede qual era l'espressione originale, quella che avevo trovato su un libro (e nemmeno io ricordo più quale libro). Bene, eccola:

18 - [12 - (18 - 16 + 1) + 4] - (23 - 7 - 11).

Il secondo

Riveliamo subito la risposta: il quadrato e il parallelogramma sono equivalenti, cioè hanno la stessa area: 1 cm^2.

Più di uno è arrivato alla conclusione corretta, ma quello che fa la differenza è come ci sono arrivati.

I terzini, almeno alcuni tra loro, si sono buttati sul teorema di Pitagora.

Ad esempio Valentina V. scrive: Osservando il paralellogramma, il lato più lungo è anche la diagonale del quadrato ABCD. Per trovare la diagonale devo fare: lato√2 = 1cm√2 = 1,4 cm

L'altezza del parallelogramma è BD/2 = 1,4 cm/2 = 0,7 cm

L'area del parallelogramma è base per altezza, cioè 1,4cm * 0,7cm = 0,98 cm^2, cioè circa 1 cm^2

Identico ragionamento segue Sophia Z. e anche Stefano S.. Quest'ultimo però aggiunge qualche cifra decimale in più prima di arrotondare il risultato finale a 1.

Qualcosa del genere fa anche Aman A., la quale ammette di essere stata aiutata da un amico geometra (complimenti per l'onestà).

Anche Ismaele M., in una delle sue due soluzioni, chiama in causa Pitagora. Nell'altra invece sceglie di ritagliare un pezzo del paralleogramma e spostarlo in modo da costruire un rettangolo. Tale rettangolo è formato da quattro triangoli congruenti. "Posso notare così che il parallelogramma e il quadrato hanno la setssa area perché tracciando le diagonali del quadrato ottengo ancora quattro triangoli congruenti, e due sono in comune con il parallelogramma."

In buona sostanza è questa la soluzione che hanno trovato anche Alessia V. (prima B), Davide C. (seconda B) e di nuovo Sophia Z. (terza B). Il disegno di Sophia, la quale me lo ha inviato in pdf, mi pare abbastanza esplicativo.

Lorenzo B. (seconda B)

Stefano P., di prima B, scrive: "Ho notato che con i triangoli BEC e CFD posso formare un triangolo uguale a BCD. L’area del parallelogrammo BEFD è quindi uguale al doppio di BCD così come l’area del quadrato che misura 1 cm x 1 cm =1 cm²."

Piuttosto chiaro, direi, ma ancora più chiaro mi pare il suo gioco di sovrapposizioni.

Qualcosa di simile hanno escogitato anche Carolina e Federico D.M., anche se la loro spiegazione e il loro disegno sono meno precisi.
 Lorenzo B. (seconda B) arriva a una conclusione simile ma cerca di spiegarla solo a parole e alcune sue affermazioni sono un po' oscure. O forse sono io che non riesco a capirle?


Infine Luca T., un altro di prima B., gioca con le sovrapposizioni. Il suo puzzle è più complicato e forse richiederebbe qualche spiegazione più dettagliata. Ma perché essere troppo pignoli?

Molto bene, complimenti a tutti. Soprattutto a chi ci ha pensato davvero e in autonomia: per loro che questi "giochi" saranno serviti a qualcosa, per gli altri... chissà.


Concludo invitando tutti a dare almeno un'occhiata (meglio due o tre) alle soluzioni che hanno trovato i ragazzi della prof Giovanna. Ah, soprattutto la risposta di Gianfranco e di Gabriele G. al secondo quesito: è esattamente quella che avevo in mente io!

L'appuntamento per i prossimi quesiti è proprio dalla prof Giovanna, prossimissimamente. Ci vediamo là!