Sarà mica matematica 25, le soluzioni

È domenica sera. Anzi, è quasi lunedì mattina. Tempo di risposte!

Chi cercasse le domande, può trovarle da quest’altra parte.

Come sempre i quesiti erano due.

Il primo

Ognuno ci ha provato a proprio modo.

Chi ha scelto la via diretta, di pura forza: scrivo tutti i numeri e vedo quanti hanno un 8.

Chi ha cercato un ragionamento, non lo ha trovato, allora è passato alle maniere forti (scrivo tutti i numeri…). Poi, siccome sapere il risultato è una bella cosa ma non è quello che conta, ha tentato di nuovo la strada del pensiero sottile.

Chi ha contato due volte il numero 88 poi ne ha tolto uno.

Chi l’88 lo ha contato subito una volta sola.

Chi ha suddiviso in decine.

Chi non ha notato che da 80 a 89 tutti i numeri hanno la cifra 8.

Chi si è dimenticato proprio il numero 8.

Insomma, ognuno ci ha provato a proprio modo e questa è una gran bella notizia.

Ecco, credo di aver creato abbastanza suspence. Possiamo passare alle risposte.

Nei numeri naturali da 1 a 100 ci sono 19 numeri con la cifra 8.

Il mio ragionamento preferito è il seguente.

Ci sono 10 numeri con la cifra 8 come unità (cioè del tipo 8, 18, 28, 38…).

I numeri da 80 a 89 contengono tutti la cifra 8 nella posizione delle decine. Sono altri 10 numeri.

Se adesso sommassi, avrei 20 numeri in tutto. Ma avrei contato due volte il numero 88.

Quindi ci sono, in realtà, 19 numeri con l’8.

I solutori sono: Amanda P., Davide C., Ismaele M., Mattia C., Nicolas A., Sarah T. e Sophia Z.

Un riconoscimento va anche a Matteo C., il quali ha ragionato bene ma si è perso qualche pezzo.

Ora però comincia la salita, la parte più faticosa. Infatti più di qualcuno ha rinunciato. Altri ci hanno provato senza riuscirci. A loro va il mio più grande incoraggiamento: tenete duro ragazzi, vedrete che la prossima salita sarà per voi un pizzico meno faticosa!

Ora, creata di nuovo la giusta suspence, ecco la risposta.

I numeri naturali da 1 a 1000 che contengono la cifra 8 sono 271.

Il modo di ragionare non è molto diverso rispetto a quello seguito in precedenza.

Se nei numeri fino a 100 ce ne sono 19 con l’8, posso moltiplicare per 10 e ottengo i numeri fino a 1000.

In altre parole ho 190 numeri con la cifra 8 nella posizione delle unità e/o delle decine.

Noto poi che da 800 a 899 ci sono 100 numeri con l’8 nella posizione delle centinaia. Da questi devo però togliere i 19 che hanno la cifra 8 nelle decine o nelle unità. Altrimenti li conterei due volte.

Insomma, si ottiene: 100 + 190 – 19 = 271.

I solutori sono: Ismaele M., e Sophia Z.

Si sono avvicinati parecchio alla soluzione anche Davide C., Matteo C. (il quale ha di nuovo ragionato bene ma si è portato dietro l’errore commesso per i numeri fino a 100…) Mattia C., Nicolas A. e Sarah T.

A questo punto devo fermarmi un momento e porgere le mie scuse a Nicolas A., il quale ha sudato su questo quesito per due settimane. Ci ha pensato e ripensato fino a quando ha trovato una risposta che sembrasse soddisfacente. Sembrava soddisfacente. Sembrava a lui e anche a me, tanto che ho commesso la leggerezza di dirgli che la sua risposta era giusta. Solo poi mi sono accorto che in realtà Nicolas si è perso un numero (Nico: da 800 a 899 non sono 99 ma 100 numeri se si contano anche gli estremi).

Così gli ho tolto la soddisfazione di dare la risposta esatta. Ma troverò il modo di premiare l’impegno e la cocciutaggine nel cercarla. È proprio quello che ci vuole! (Solo una piccola cosa, Nico: la prossima volta potresti non riempirmi di messaggi la casella di posta elettronica?) :-D 

Il secondo

A quanto pare è uno di quei problemi in cui la soluzione ti salta subito all’occhio oppure sembra volersi nascondere per sempre.

Poteva essere decisivo sfruttare un particolare: il trapezio è formato da un quadrato cui è attaccato un mezzo quadrato (cioè un triangolo rettangolo isoscele). Se traccio le diagonali del quadrato e i segmenti che uniscono i punti medi dei lati, ottengo questo ragnatela  di linee.

A questo punto sfrutto le parole di Sophia Z.: il trapezio rettangolo maggiore è formato da 12 triangolini rettangoli congruenti che, a 3 a 3, compongono i 4 trapezi rettangoli minori.

I solutori: Davide C. (l’unico che ha mandato una costruzione Geogebra), Ismaele M., Matteo C., Mattia C. Nicolas A., Sarah T. e, come si era intuito, Sophia Z.

Una menzione va anche ad Amanda P., la quale ha proposto una soluzione originale, con uno dei trapezi “smontato” in due pezzi. Un buon tentativo; purtroppo i trapezi ci servivano interi. :-)

Sono davvero contento che Amanda abbia finalmente deciso di provarci. L’ho già detto che il risultato è una bella cosa ma non è quello che conta? Sì, l’ho già detto. Dunque, forza! La strada è quella giusta. Mi chiedo cosa aspettino gli altri a mettersi in cammino!

Bene. Ciò detto, passo la palla alla prof Giovanna per una nuova coppia di quesiti. Deciderà lei se regalarceli come compiti per le vacanze natalizie o se proporceli per il rientro, per iniziare bene il nuovo anno. :-)

Comunque sia, ci si vede su Matematicamedie!