Sarà mica matematica 24, le soluzioni

Stavolta forse ho mirato troppo alto.

Sono stati pochi quelli che hanno tentato una riposta e ancora meno quelli che ne hanno trovata una buona. Se prima di vedere le risposte volete sapere le domande potete guardare qui.

Ecco, adesso possiamo dare un’occhiata alle soluzioni ai due quesiti.

Il primo

Le pagine da 1 a 9 hanno una sola cifra. Fanno 9 pagine e 9 cifre.

Le pagine da 10 a 99 hanno due cifre. Fanno 90 pagine e 180 cifre.

Fin qui abbiamo contato 99 pagine e 189 cifre.

Ci restano ancora 1890 – 189 = 1701 cifre

Le pagine da 100 a 999 hanno tre cifre. Sono 900 pagine, cioè 2700 cifre. Dal momento che ce ne restano solo 1701 siamo certi che il libro non raggiunge le1000 pagine. Significa che tutte le pagine che ci restano hanno tre cifre.

Per sapere quante pagine sono basta dividere per tre il numero di cifre: 1701 : 3 = 567 pagine.

In totale abbiamo  

99 + 567 = 666 pagine 

Hanno dato una risposta corretta o giù di lì: Davide C., Federico D.M. (anche se ha dimenticato l’ultimo calcolo…) e Lorenzo B. tra i primini, Sophia Z. tra i secondini. La risposta di Lorenzo (333 pagine) è buona: ha solo considerato una pagina composta da due facciate. Cioè 666 facciate = 333 pagine.

Una piccola menzione e una pacca sulla spalla per Sarah, di seconda B, che ci è andata molto vicina ma ha un po’ pasticciato coi calcoli delle pagine a due cifre.

Il secondo

Era senz’altro più difficile. Una delle difficoltà stava nel non perdersi qualche quadrilatero nel grande intreccio di segmenti. Oppure nel non contarne qualcuno due volte.

Meglio allora andare con ordine. Vediamo i quadrilateri intrecciati con due lati paralleli.

Partiamo da uno qualsiasi dei lati dell’ex esagono. È possibile costruirci quattro quadrilateri intrecciati.

Di questi, uno (il primo) coinvolge un altro dei lati dell’ex esagono, quindi dovrò fare attenzione a non contarlo due volte.

Se ripeto il ragionamento per ciascuno dei 6 lati dell’esagono otterrò:

6  x 3 + 6 : 2 = 18 + 3 = 21 quadrilateri.

A ben vedere, però, ci sono altri 3 quadrilateri intrecciati, i quali non coinvolgono nessuno dei lati dell’ex esagono:

Ora, qui mi devo fermare un momento per ringraziare la prof Giovanna e Bachisio, un suo allievo: senza il loro intervento mi sarei clamorosamente perso questi ultimi tre quadrilateri. Lo dico con un pizzico di vergogna ma quel che è giusto è giusto :-)

Fatto sta, insomma, che ci sono 24 quadrilateri con due lati paralleli.

I solutori sono pochi pochissimi: Davide C. (prima B) ha trovato il numero e ha spiegato con una buona costruzione Geogebra; Sarah T. (seconda B) ha trovato lo stesso numero e ha usato Geogebra per illustrare la sua risposta, il suo disegno però è un tale groviglio di linee che rinuncio a districarle :-D

Anche Federico D.M. ha trovato 24 quadrilateri ma la sua spiegazione non funziona. Peccato.

Una menzione per Alessandro R. e Lorenzo B., che si sono persi (solo) 2 o 3 quadrilateri. Sophia invece se ne è fatta sfuggire parecchi, però merita una citazione per due motivi: è stata l’unica che non si è limitata a contare ma ha tentato alcuni buoni ragionamenti; è stata l’unica a tentare di scoprire anche i quadrilateri intrecciati a lati non paralleli. Il fatto che non li abbia individuati tutti è secondario :-)

Eccoli, dunque, i quadrilateri intrecciati a lati non paralleli.

Su ogni lato dell’ex esagono se ne possono costruire quattro. Di questi, 2 “appartengono” solo a quel lato e 2 sono “in condivisione” con un altro lato dell’esagono.

Ripetendo per i sei lati dell’esagono si ha:

6 x 2 + (6 x 2) : 2  =  12 + 6  =  18 quadrilateri.

IN TOTALE,  24 + 18 = 42 quadrilateri intrecciati.

Ecco. Questo è tutto. Resta solo da complimentarmi con tutti quelli che ci hanno provato. Ho la sensazione di essermi dimenticato di citare qualcuno. Nel caso, fatemelo sapere!

Il prossimo appuntamento è dalla prof Giovanna. Lei saprà prendere meglio la mira!