Sarà mica matematica 51, Christmas Edition

Come promesso la volta scorsa, ecco l'ultima puntata dell'anno (solare!) di Sarà Mica Mate. A tema natalizio, come si conviene. Un'edizione natalizia, o Christmas Edition, per sentirci più al passo coi tempi.
Procediamo con i quesiti.

IL PRIMO: calendario dell'avvento

Il prof di matematica vuole fare un bel dono alla classe. Decide di regalare un calendario dell'avvento (proprio come quelli con i cioccolatini che girano nelle nostre aule ultimamente).
Dunque ci sono 25 caselle, una per giorno, dal primo dicembre al 25, Natale!

Il prof fa due proposte e chiede alla classe di scegliere quella che preferisce.

La prima proposta:
"Il primo giorno  metterò 1 centesimo di euro nella casella. Poi, ogni giorno, raddoppierò il numero di centesimi rispetto al giorno precedente"

La seconda proposta:
"Il primo giorno metterò 1 euro nella casella. Poi, ogni giorno, metterò il numero di euro del giorno precedente... elevato al quadrato!"

Quale proposta scegliete? 
Se preferite, per essere più precisi, la domanda potrebbe essere: quanti soldi deve sganciare IN TOTALE il prof nel primo caso e quanti nel secondo?


IL SECONDO: tutti verso il 25!

A dicembre tutti pensano a un numero. Il numero preferito di Babbo Natale: il 25, naturalmente!
Ecco, riuscite a inserire nelle caselle i numeri da 3 a 11, in modo che la somma dei quattro numeri che circondano ogni Babbo Natale sia sempre 25?
Ho già inserito il 3 per darvi un piccolo aiuto. D'altronde... a Natale siamo tutti più buoni!

IL TERZO: Tangram tree

Per finire in bellezza, torniamo a un classico, che funziona sempre.
Già un paio di volte, in passato, abbiamo sfruttato il tangram per il gioco natalizio. QUI e QUA. Ma se c'è qui e qua, è ovvio, manca...
Provvediamo a completare il trio con un altro albero di Natale da ricostruire con il Tangram.
Posso permettermi perfino di copiare e incollare le mie stesse parole della puntata 9 di Sarà Mica Mate. Un'autocitazione.

Il tangram è un gioco molto famoso. I pezzi del gioco sono sette: cinque triangoli rettangoli isosceli (di diverse dimensioni), un quadrato e un parallelogramma. Sono fatti in modo che si possano riunire a formare un quadrato, proprio come nella figura. Voi potete stampare l’immagine e ritagliare i sette pezzi.

Le regole sono semplici. Si tratta costruire delle figure usando tutti i sette pezzi, senza sovrapporli.
In questo caso la forma da costruire è quella di un abete, anzi di un albero di natale:

Cosa dire per concludere?

BUON NATALE!

Cos'altro?
Ah, la data di chiusura! Direi che possiamo aspettare che passi la Befana; poi, con tutta calma, chiudiamo. Il che significa martedì 7 gennaio 2020.

Sarà mica matematica 50, le soluzioni

Di corsa che si fa tardi, vediamo qui le risposte ai quesiti della puntata 50 di Sarà mica matematica.

IL PRIMO

La risposta del gruppo ChristianJacopoJason è, tra tutte quelle corrette, quella coi colori più belli, su questo non c'è discussione. Quindi la pubblichiamo:

Hanno risposto correttamente anche CarloSimoneTommaso, CristianGiacomoLudovico e CamillaVeraViola. Queste ultime tentano anche una spiegazione del ragionamento:

Il gruppo DiegoLuca ci va vicino ma non generalizza fino in fondo: una X resta 2.
Il gruppo ElisaMargheritaMarta capisce come funziona e lo spiega a parole. Poi però non scrive la funzione in termini matematici.

In coda citerei la risposta della secondina ElisaS (ragionamento chiaro, manca solo la scrittura della funzione con X e Y)

Il primo macchinario funziona cosi: io gli butto dentro x lui lo eleva alla seconda e aggiunge 1.

Quindi:

se butto dentro 2 lui farà 2²+1 = 5

se butto il 3 lui farà 3²+1 = 10

se butto dentro 4 lui fara 4²+1 = 17

se ci butto il 5 lui farà 5²+1 = 26

Il secondo macchinario invece prende il numero che io ci butto dentro, lo eleva alla 2 e lo moltiplica per 2.
Quindi:

Se butto il 2 lui farà 2²x2 = 8

se ci butto il 3 lui farà 3²x2 = 18

se butto dentro 4 lui farà 4²x2 = 32

se butto il 5 lui farà 5²x2 = 50.

IL SECONDO

Stavolta usiamo la soluzione inviata da ElisaS per cominciare:

Se A, B,C sono dei punti medi vuol dire che sono a metà del lato del cubo blu.
Quindi se vedo 4 cubetti vuole dire che il lato ne misura otto, quindi 8 lato A, 8 lato B e 8 lato C.
Moltiplico 8 x 8 x 8 = 512 cubetti nel cubo grande.
Ne tolgo 4 x 4 x 4 = 64.

512 -64 =448 

ne rimangono 448.

Elisa non lo sottolinea, ma mi pare evidente che  ci sono in gioco due potenze: 8³ e 4³.

Da qui è breve il passo verso la prossima risposta:

La soluzione è quella del gruppo CamillaVeraViola, di prima A.

Mi pare apprezzabile il tentativo di usare le potenze. Cioè: le tre donzelle hanno brillantemente notato che il cubo tolto è formato da 4³ cubetti. Poi commettono l'errore di scrivere quell'uguale tra 4³ e il resto dell'espressione, ma pazienza.
Apprezzabile anche lo sforzo di fare un buon uso delle espressioni, su cui abbiamo lavorato ultimamente (anche se la parentesi tonda non è strettamente necessaria...).

Il filo logico seguito è in sostanza lo stesso per tutti i gruppi di prima A che sono giunti a una soluzione: buona la spiegazione del gruppo CristianGiacomoLudovico, anche se non considera le potenze; Accettabili, ma troppo generiche, le motivazioni del gruppo CarloSimoneTommaso.
Infine: il gruppo ElisaMargheritaMarta espone un valido ragionamento:

Poi però non dichiara quale sia il risultato!


IL TERZO

La risposta corretta è, nella versione di DiegoLuca (non ho ben capito se le due faccine sono degli autoritratti o meno, ad ogni modo, mi sembrano abbastanza somiglianti e meritano la pubblicazione):

Peccato solo che i due delle faccine non spieghino come sono arrivati alla risposta.
 
ChristianJacopoJason, invece, si lanciano in una lunga dissertazione. Se fossero riusciti anche a metterla in bella copia, probabilmente, l'avrei pubblicata.
CarloSimoneTommaso danno una risposta corretta e la scrivono con una accettabile simbologia matematica. Ma saltano troppi passaggi perché la loro spiegazione funzioni.
ElisaMargheritaMarta, invece, trascurano quasi completamente il linguaggio matematico e si affidano all'italiano. Arrivano a una risposta valida, raccontando a parole il loro percorso.

Anche CristianGiacomoLudovico scrivono un lungo racconto, poi però cercano di sintetizzare:

Non tutti i passaggi sono chiari ma il tentativo è di buona qualità :-)
Chiuderei incollando la risposta di Elisa S:

Se la somma di cane e gatto è 25kg e la somma di cane e coniglio è 23kg, vuol dire che tra gatto e coniglio ci sono 2 kg di differenza, perché 25-23=2 visto che cane pesa sempre uguale.Se gatto e coniglio pesano 8kg, tolgo 2kg, che è la differenza, e ottengo 6kg; divido per 2 e ottengo 3 kg che è il peso del coniglio perché è più piccolo.
Aggiungo la differenza di 2kg e ottengo peso gatto = 5kg.
Se alla somma di cane e gatto tolgo il peso del gatto 5kg ottengo 20kg che è peso cane.
Provo anche con kg 23 che è peso cane e coniglio 23-3 =20.
Quindi cane 20kg gatto 5kg e coniglio 3kg.

Elisa dimentica di concludere con l'effettiva risposta alla domanda del quesito, ma direi che la somma dei tre pesi possiamo farla da noi.

Bene.
Mi complimento con tutti quelli che ci hanno provato seriamente e do appuntamento a mercoledì prossimo per una tornata di quesiti natalizi: Sarà mica matematica 51, Christmas Edition!

Sarà mica matematica 50

Vorrei scrivere una bella frase introduttiva...
Ma non mi viene in mente niente di buono, quindi passiamo ai quesiti e via!

IL PRIMO

Facciamo finta di avere un macchinario misterioso. Tanto per il gusto di dare un nome ad ogni cosa, potremmo chiamarlo "funzione". Oppure chiamiamolo "macchinario". Oppure chiamiamolo come preferite.
Fatto sta che questo macchinario è un trasformatore di numeri: tu gli butti dentro un numero qualunque, lui lo trasforma in un altro numero!

Gli butti dentro un 2, ne esce un 4.
Gli butti un 3,  lo trasforma in 6.
Gli butti un 4, ne tira fuori un 8...

L'obiettivo di questo quesito è smontare il macchinario. O almeno intuire come girano gli ingranaggi. Cioè: cosa FA il macchinario al numero che gli diamo in pasto? Perché, questo è certo, il macchinario ripete sempre e solo una certa sequenza di operazioni.

Nell'esempio che ho fatto qui sopra avrete forse notato che il macchinario prende il numero e lo moltiplica per 2.
Gli butti dentro un numero x, ne esce un numero - che potremmo chiamare y - che è 2x.
Il lavoro fatto dal macchinario - la funzione- si può riassumere così:

y = 2x

Vediamo se ci siamo capiti: se il numero che gli butto - il numero x - è 5, quale sarà il numero che esce (il numero y)?
Bravi! Sarà 10.

Ora, ho qui altri due macchinari simili. Fanno operazioni un po' diverse, un pizzico più complicate... Buttiamo dentro un po' di numeri, vediamo cosa viene fuori e cerchiamo di capire quali operazioni fa il macchinario. Poi cerchiamo di scriverle in linguaggio matematichese.
Piccolo suggerimento: c'è sempre di mezzo una potenza...

Il primo macchinario:

se x = 2, y = 5

se x = 3, y = 10

se x = 4, y = 17

se x = 5, y = 26

Qual è la funzione?

Il secondo macchinari:

se x = 2, y = 8

se x = 3, y = 18

se x = 4, y = 32

se x = 5, y = 50

Qual è la funzione?


IL SECONDO

Ho costruito un grosso cubo con tanti piccoli cubetti arancioni, tutti uguali.
Poi ho verniciato di azzurro le pareti esterne del cubo grande.
Poi ho indicato con A, B e C i punti medi di tre spigoli del cubo azzurro e li ho usati come riferimento per togliere un cubo più piccolo.
Adesso si vedono le facce non verniciate dei cubetti arancioni interni.
Quanti cubetti sono rimasti?

IL TERZO

Poche parole, quasi nessuna. Si tratta di osservare bene: tutte le informazioni (anche la domanda) è già nell'immagine.
Al massimo posso dare un suggerimento: ci è capitato più volte di risolvere problemi (magari con i segmenti...). Dovrebbe essere chiaro, ormai, che se sai la somma e sai la differenza... è fatta!

Avvertenza conclusiva: quesiti da consumare preferibilmente tassativamente entro martedì 10 dicembre.

Sara mica matematica 49, le soluzioni

Siamo pronti con le soluzioni ai quesiti della puntata 49 di Sarà mica mate.
Pronti... via!


IL PRIMO


In prima A hanno risposto correttamente i gruppi: CamillaJacopoMargherita, CarloLudovico, CristianElisaNicole, JasonSimoneTommaso e MartaVeraViola.
Tutti hanno fatto un disegno dello schema. Più o meno ben riuscito, più o meno ordinato...
Ci ho pensato a lungo e, alla fine, ho scelto di pubblicare quello di CarloLudovico. Non è il meglio riuscito, non è certo il più ordinato, però è bello colorato e mi mette una certa allegria! In effetti non è ben chiaro il senso della faccina allegata: dicono sia il logo del gruppo... mah!

Buone risposte via mail arrivano:
Dalla secondina Elisa:

 

 Dal terzino Ivan:

 Dalla terzina Greta:

Quest'ultima è l'unica che si cimenta in una spiegazione della strada percorsa per arrivare alla soluzione. C'è da faticare un po' per seguire il discorso, ma ne vale la pena:

I numeri che posso inserire sono da 1 a 9 e devo ricordare le regole delle espressioni, quindi prima moltiplico o divido e poi sommo o sottraggo.

Per risolverlo sono partita dalla colonna centrale verticale poiché, essendoci moltiplicazione e divisione, 10 può essere solo il risultato di una divisione con dividendo multiplo di 10, e quindi 5 moltiplicato per un numero pari. Così ho provato a inserire nella casella centrale il 5, ricordando che quella sopra deve essere un numero pari. E inizio a provare... 2x5=10 : ...non posso 10, quindi escludo il 2, 4 x 5 = 20:2 = 10, ma nell'ultima riga orizzontale il risultato è 7 e potrei solo fare 2 : 1; però per arrivare a 7 dovrei sommare il 5, che ho già inserito nella casella centrale, quindi non si può. Allora provo 6 x5= 30 : 3 =10 e nell'ultima riga potrei fare solo 3: 1 = 3 e per arrivare a 7 devo aggiungere 4 nella prima casella. 

Ora per risolvere la seconda riga orizzontale devo trovare un numero tra i rimanenti (9, 8, 2 e 7) che moltiplicato per 5 si avvicini a 43, ricordandomi che poi devo anche sommare un numero: 9 x 5=45 supera 43, 8 x 5=40, ma poi dovrei aggiungere 3 che ho già usato, quindi scartato; 7x5=35 sommo 8 per arrivare a 43. 

E ora devo solo completare la prima colonna, dove ho già 8 : 4 = 2 + 9 = 11. Resta il 2 che è perfetto per la prima riga: 6:2+9=12 e la terza colonna: 2+7-1=8.



IL SECONDO

La risposta esatta è:
Costruzione 1: 1 spostamento
Costruzione 2: 1 spostamento
Costruzione 3: 2 spostamenti
Costruzione 4: 2 spostamenti
Costruzione 5: 1 spostamento

In prima A rispondono correttamente: i gruppi: CristianElisaNicole, MartaVeraViola e CamillaJacopoMargherita. Questi ultimi danno anche una descrizione degli spostamenti, rappresentandoli con un codice di loro creazione.

Il sistema non è proprio di comprensione immediata ma funziona.
Solo la rappresentazione del caso 5 mi pare un tantino incoerente con il codice inventato. Ma tant’è: riesco a capire il senso della cosa. E se ci riesco io ci può riuscire chiunque :-)

Tra le risposte arrivate via mail sono corrette quella della secondina Elisa (senza spiegazioni) e della terzina Greta, che invece spiega a lungo:

Per la prima combinazione di mattoncini, è stato necessario un solo spostamento: prendere il mattoncino lego situato più avanti rispetto agli altri e metterlo sopra al mattoncino di destra.

Anche per la seconda costruzione serve uno spostamento: bastava semplicemente spostare il mattoncino centrale che si trova sopra gli altri e spostarlo sulla destra.

Per la terza costruzione di mattoncini occorrono due spostamenti:mettere il mattonino sulla destra e quello più avanti degli altri sopra a quello centrale che si trova più in alto rispetto agli altri.

Per la quarta combinazione occorrono anche qui due spostamenti: bisogna spostare il mattoncino centrale al di sopra degli altri e metterlo sulla destra, mentre quello in basso in avanti, metterlo sopra gli altri, ma sulla sinistra.

Per il quinto e ultimo passaggio occorre solo uno spostamento: mettere il lego più a destra sopra a quello in avanti.


IL TERZO

Nelle due ore di lezione in prima A nessuno è riuscito a rispondere esattamente. La risposta più frequente è "blu rosso giallo VERDE". Ma il verde è da escludere, come stiamo per chiarire.

Un paio di risposte esatte arrivano via mail. Sono entrambe di ragazzi di terza.

Si tratta di Ivan, il quale abbozza una spiegazione - Ho trovato la soluzione che secondo me può andar bene, considerando i colori giusti e poi andando ad esclusione - ma soprattutto allega un'immagine chiara.

E si tratta di Greta, la quale non allega immagini ma si lancia ancora una volta in una dettagliata spiegazione:

La combinazione corretta è, partendo dalla sx del  (del... ? aggiungo io :-) ): azzurro, rosso, giallo e giallo.

Azzurro perchè nella prima e seconda combinazione è il colore giusto al posto sbagliato, nella terza non c'è e nell'ultima ci sono due azzurri, dove uno solo è al posto corretto e non c'è l'altro azzurro al posto sbagliato.

Nella prima combinazione solo un colore è al posto giusto ed è il giallo perchè nella seconda combinazione non c'è e nemmeno un colore è al posto giusto, mentre ricompare nella terza combinazione, con un solo colore giusto al posto giusto. Quindi la terza casella è GIALLA.

Sapendo che la terza casella è gialla e il verde, spostato in tutte le tre postazioni, nelle 3 combinazioni, non risulta mai al posto giusto è da escludere.

Nella seconda combinazione 2 colori al posto sbagliato e non è il rosso della terza casella, poiché quella è gialla, quindi escludendo il verde, sono il rosso da spostare al posto giuso nella seconda casella e l 'azzurro da mettere nella prima casella al posto del rosso (anche perché se fosse stato al posto giusto ci sarebbe stato un piolino nero!). 

Resta l 'ultima postazione che è gialla, poiché nella terza combinazione il 3° giallo è al posto giusto, il verde è da escludere e i 2 colori giusti rimanenti al posto sbagliato sono il giallo e il rosso, ma visto che il rosso è nella seconda postazione, il giallo si guadagna l 'ultima postazione!

Ecco fatto.
Per me è ora di andare a lezione. Nel frattempo raccolgo le idee per i prossimi giochi. Se tutto va bene, troverò qualcosa di buono entro mercoledì prossimo.
Ci diamo appuntamento per quella data?