"Due a settimana", le nostre soluzioni

La prof Giovanna ha proposto un paio di quesiti. Vediamo quali risposte siamo riusciti a dare.

Quesito 1

Si è rivelato il più ostico, come si poteva prevedere.

Qualcuno (Lucrezia I., Valentina V. …) ha continuato la sequenza fino alla 15° riga e ha calcolato la somma. Il risultato, giusto, è 3375.

Però la prof aveva detto che si trattava di scoprire la regolarità, qualcosa che permetta di trovare la somma della riga 15 ma anche, in maniera rapida, anche della riga 100, ad esempio.

Dove cercare questa regolarità? Proviamo a calcolare le somme dei numeri delle righe date. Lo schemino usato da Sarah T. (prima B) mi sembra piuttosto chiaro:

1

3 + 5 = 8

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17+ 19 = 64

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125

A questo punto entra in gioco quel po’ di occhio (o orecchio, o naso, scegliete voi) che si acquisisce con l’esperienza. Quando hai giocato per qualche anno con certi numeri li riconosci come qualcosa di familiare. Altrimenti farai più fatica. Infatti i primini hanno cominciato a maneggiare i numeri con gli strumenti per loro più consueti: divisori, multipli, scomposizione in fattori primi… Altri hanno fatto la scoperta per via più diretta.

La scoperta è:  1 = 1³;  8 = 2³;  27 = 3³;  64 = 4³;  125 = 5³

Quindi, completando lo schema:

1 = 1³

3 + 5 = 8 = 2³

7 + 9 + 11 = 27 = 3³

13 + 15 + 17+ 19 = 64 = 4³

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5³

Cioè, per usare le parole di Pietro G. (seconda B): la somma di ogni riga è uguale al cubo del numero della riga. 
Perciò per la riga 15 si avrà 15³ = 3375

Sono arrivati a questa conclusione:

Ismaele M., Sarah T. e Sophia Z., (prima B); Pietro G. e Federica S. (seconda B).

Matteo C. e Matteo N., di terza B, hanno dato una risposta diversa.

Copio e incollo le parole di Matteo N.:

mi sono accorto che la differenza tra il primo numero di ogni fila è un multiplo di 2 ( tra la prima fila e la seconda 2, tra la seconda e la terza 4 etc.). Per essere pignoli è dovuto al fatto che tra il primo numero di una fila e il primo numero della successiva c'è una differenza di 2 [moltiplicato per la quantità di] numeri della fila stessa.

A questo punto ho fatto questo "schemino" (ogni numero scritto è il primo numero di una fila):

1+2=3

3+4=7

7+6=13

13+8=21

21+10=31 etc...

continuando con questi calcoli sono arrivato a scoprire che il primo numero della quindicesima fila era 211. [Ho notato che la riga 15 deve essere composta da 15 numeri e,] aggiungendo progressivamente 2 ho scoperto che i numeri della quindicesima fila erano:

211, 213,  215, 217, 219, 221, 223, 225, 227, 229, 231, 233, 235, 237, 239 la cui somma è 3375.

Certo, è meno elegante dell’altra soluzione, è un po’ macchinosa ma, insomma.

  

Quesito 2

Le soluzioni sono state più numerose e hanno seguito parecchie strade differenti. Nel tentativo di riassumere direi che possiamo individuare due scuole di pensiero: c’è chi ha diviso il quadrato grande in quadratini uguali più piccoli e c’è chi ha diviso il quadratone in triangolini.

Cominciamo dalla seconda. Completiamo le diagonali del quadrato e uniamo i punti medi dei lati come nella figura qui sotto.

Si nota che il quadrato colorato è formato da due triangolini uguali (congruenti) tra loro.

Area di ciascun triangolino = metà area del quadrato colorato = 2 cm² : 2 = 1 cm²

Il quadratone è formato da 16 triangolini. Quindi

area quadratone = 16cm²

Hanno seguito questa strada (o qualcosa di molto simile): Ismaele M., Nicolas A., Sarah T., Sophia Z. e Valentina V. (che però poi sbaglia i conti! Aaargh!), di prima B; Federica S. e Pietro G. di seconda B; Matteo C. e Matteo N. di terza B. 

Ismaele M., si è (giustamente) preoccupato di dimostrare che i triangolini sono davvero tutti uguali (congruenti) tra loro. Non riporto la sua spiegazione perché si farebbe troppo lunga ma credo si meriti una piccola menzione d’onore.

Lucrezia I. (prima B) propone la soluzione con i quadratini. Non è poi molto diversa, si tratta ancora di dividere il quadratone sfruttando diagonali e punti medi; stavolta ne risulta la figura qui sotto. Con una rotazione dei triangoli verdi si costruiscono i quadratini.

Sono 8 quadratini, tutti uguali a quello colorato, di partenza.

L’area del quadratone è allora 8 x 2 cm² = 16 cm².

Ecco. Questo è quel che siamo riusciti a fare. I miei complimenti, come sempre, a tutti quelli che ci hanno provato. I vostri neuroni (e anche i miei) ringraziano per l’allenamento: si sono fatti più robusti.

Io invece ringrazio la prof Giovanna e i suoi allievi. Chissà come se la sono cavata? :-)

Nei prossimi giorni ci riproviamo qui da noi con la prossima puntata di Sarà mica matematica.

Sarà mica matematica 19, le soluzioni

Avevo detto venerdì ed eccomi qui: un po’ tardi ma è ancora venerdì.

I due quesiti sono pubblicati in quest’altro articolo. Qui vediamo le soluzioni che abbiamo trovato. Pronti? Via.

Il primo

Sono state scoperte tre soluzioni diverse. Le riassumiamo tutte in tre disegni.

Soluzione individuata da Ismaele M., Sophia Z. (di prima B) e da Matteo C. di terza B

Soluzione proposta da Sarah T. di prima B, da Federica S. di seconda B e da Nicholas S di terza B.

Soluzione trovata da Stefano S. di prima B. 

La maggior parte si è accontentata di fare il disegno. Non molti hanno  cercato di dare spiegazioni un po’ più precise. Per darne un esempio, userò le parole di Sophia Z.:

Per trovare i tre pezzi traccio un segmento che parte dalla metà [cioè il punto medio, preciso io] di AC e arriva alla metà di BC e lo indico con DE. Traccio poi l’altezza del triangolo CDE che corrisponderà all’altezza del trapezio isoscele e a quella del rettangolo.

La spiegazione riguarda la soluzione 1, per le altre soluzioni si seguono passi simili che lascio trovare a voi.

Ci sarebbe tutta una serie di dettagli da approfondire. Ad esempio, nel trapezio qui sotto, l’angolo evidenziato deve essere piatto. Posso essere sicuro che lo sia davvero? Dire che “si vede” non basta. Tante cose si vedono – sembrano - ma non sono.

Ora, non è il caso di continuare qui questa discussione . Ne abbiamo parlato un po’ in classe (coi primini ne discuteremo martedì). L’importante, mi pare, è che rimanga il seme di un dubbio. Ne riparleremo poi e vedremo se dal seme nascerà qualcosa.

Il secondo

Anche in questo caso è stata trovata più di una soluzione. Due, per l’esattezza.

 

Traccio il quadrato ABCD, che ha per vertici i centri dei cerchi. (a proposito: posso essere sicuro che unendo i centri si formi proprio un quadrato? …d’accordo, lasciamo stare).

Il lato del quadrato è uguale  due raggi, quindi misura 20 cm. L’area del quadrato è (20 cm)²= 400cm².

Noto che con i “pezzi” del quadrato si può costruire proprio la figura che mi interessava (i colori dovrebbero aiutare a capire).

In altre parole: quadrato e figura richiesta sono equiscomponibili, quindi anche equivalenti (hanno la stessa area).

Allora l’area della figura è 400 cm².

Questa soluzione è stata data da Matteo C. e Nicholas S. (terza B)

L’altra soluzione è molto simile. Lascerei parlare il disegno.

Questa soluzione è stata fornita da Ismaele M., Sarah T., Sophia Z. e Stefano S.. La constatazione  che siano tutti di prima B può far nascere alcuni sospetti… :-) Mi conforta il fatto che abbiano dato spiegazioni piuttosto diverse l’uno dall’altro.

Quindi complimenti a loro e, come sempre, a tutti quelli che ci hanno provato.

A proposito: più di uno ci è andato vicino. Non scoraggiatevi! Provarci aiuta a imparare e a riuscirci le prossime volte.

PS: per la prossima settimana non darò quesiti: siamo tutti invitati dalla Prof. Giovanna sul suo blog Matematicamedie. Ci vediamo là! Sono curioso di vedere quali giochi ci proporrà (speriamo di riuscire a risolverli). Vediamo di non fare brutta figura, eh :-)