giovedì 9 marzo 2017

Due a settimana..._19

Sostiene la prof Giovanna che lei ed io fingiamo di essere in ritardo per concedere più tempo di riposo tra una puntata e l'altra.

Bella idea!

Mi piace tanto che ormai io ritardo non solo con le soluzioni ma perfino con i nuovi giochi: già da lunedì la prof ha pubblicato la nuova puntata di Due a settimana... e solo ora io arrivo con questo post di rimando.

Ecco qui un paio di immagini che, appunto, vi rimandano all'articolo originale.


http://matematicamedie.blogspot.it/2017/03/due-settimana-19.html
http://matematicamedie.blogspot.it/2017/03/due-settimana-19.html
Come al solito non sto a ripetere qui le domande. Cliccate sopra una qualunque delle due immagini e potrete leggere (con attenzione, mi raccomando!) le parole della prof stessa.

Aggiungo solo tre precisazioni:

  1. i quesiti sono belli e difficili il giusto, chi non prova a risolverli e un vero babbano;
  2. leggete BENE le domande, curate le spiegazioni, prestate attenzione al linguaggio che usate, quello matematico e quello italiano;
  3. le risposte vanno consegnate (via mail, via foglio cartaceo, via strillèttera, vedete voi) entro lunedì 20 marzo 2017.
Buoni ragionamenti a tutti e GRAZIE! alla prof Giovanna.


domenica 5 marzo 2017

Sarà mica matematica 43, le soluzioni

Da una settimana cerco una buona frase per iniziare questo post. Un incipit che catturi il lettore e lo invogli a continuare a leggere.
Ma morire se mi viene in mente qualcosa di valido. Quindi ci rinuncio, lascio le ciance e passo subito alle risposte, che è quello che ci interessa qui.
Le domande a cui rispondiamo sono quelle di Sarà mica matematica 43.
I quesiti erano tre (anzi quattro).

IL PRIMO

Le soluzioni possibili sono parecchie, vediamo quelle che sono arrivate, in ordine sparso.
Si tratta di risposte con poche parole - spesso nessuna - e tante immagini. Non male quelle un po' sbilenche, evidentemente costruite con sistemi artigianali, per così dire.

Stefano P invia la figura qui sotto e precisa che "si può anche ruotare la figura ottenendo altre 3 combinazioni più altre 4 speculari."



Naomi R propone altre due soluzioni, che in effetti sono una sola cui è stata applicata una riflessione.



Rachele C. Bello l'effetto artistico dato dall'irregolarità di cerchi e linee: un po' come un incrocio tra un'opera di Mirò e una di Mondrian, con un'interessante suggestione di mal di mare. :-D


Nicole M. Come non apprezzare lo sfondo rosso e i dischetti litici ed ellittici con tanto di ombreggiatura?


Andrea G. Anche qui, apprezzabili i dischetti a forma di quadrato smangiato. La disposizione "a freccia" è stata quella più gettonata in assoluto.


Giada A è stata la prima a inviare una soluzione valida.

Le soluzioni buone sono ancora di più. Per dare un'idea delle possibilità ne pubblico almeno una scelta tra quelle arrivate su carta.

Quella di Nelson R.


Gli altri che hanno consegnato soluzioni su carta sono: Alice D, Alunno Ignoto (almeno uno c'è sempre), Alunno Ignoto (un altro!), Alessia P, Anes K, Christian L, Daniele S, Dennis A, Edoardo D & Christian G, Edoardo O, Gaia B, Giorgia M, Irene T, Lisa S, Leonardo R, Lorenzo Z, Matilde e Paolo D, Mattia G, Michele P (il quale azzarda anche alcuni ragionamenti generali: bene così, Michele, anche se le tue affermazioni non sono del tutto corrette), Nihad K, Noemi N, Rebecca T, Simone S che trova ben otto soluzioni! (anche se a ben vedere sono due diverse, con rotazioni di 90°).


IL SECONDO

Cominciamo con una sequenza di risposte dei primini.

Ecco quella di Andrea G, ad esempio.

l triangolo BCE è un triangolo isoscele, quindi l'angolo CEB è uguale a CBE che è uguale a 70°.
L'angolo BCE è uguale a 180°- (70°+70°) = 40°.
Tutti gli angoli di un quadrato sono di 90°.
BCE=ECG=90°
DCE è uguale ha 360° meno la somma degli angoli BCD,ECG,BCE.
DCE=360°- (90°+90°+40°) = 140°


Oppure la risposta sintetica ma abbastanza chiara di Rachele C.

L’angolo DCG misura 140°.
Sono riuscita a calcolarlo trovando prima l’angolo BCE che misura 40° (180°-70°-70°=40°).
Sapendo che gli angoli DCB e GCE misurano ognuno 90° ho calcolato DCG facendo 360°-90°-90°-40°=140°

Oppure ancora quella di Giada A.

L' angolo DCG misura 140° perché l'angolo BCE misura 40° (spiegazione un po' incompleta, preciso io). Gli angoli GCE e DCB misurano tutti e due 90° perché la misura complessiva degli angoli dei quadrati è 360° (e i quattro angoli sono congruenti, aggiungo io). Quindi 40° + 90°+ 90° fa 220° . Se si sottrae 220° da 360° (la misura dell'angolo C) fa 140°.

Più articolata, ma identica nella sostanza, la risposta di Serena G (sempre di prima B):

L'angolo DCG misura 140° perché, sapendo che [gli angoli interni di] un triangolo misura[no] in totale 180° e l'angolo CBE misura 70°, l'angolo CEB è congruente all'angolo CBE (perciò misura anche lui 70°), quindi l'angolo BCE misura 40°.
Ora, sapendo che ogni angolo del quadrato misura 90°, bisogna sommare l'angolo BCE, l'angolo DCB e l'angolo GCE, cioè 220° in totale.
Sapendo anche che l'angolo giro misura 360°, facendo 360°-220°, si ottiene 140°, cioè la misura dell'angolo DCG.

Passiamo al secondino Mattia C, che scrive:

Sapendo che l' angolo B è 70 gradi, l'angolo E è 70 gradi. Calcolando che la somma degli angoli interni è 180 gradi, l'angolo C interno misurerà 40 gradi, infatti (180-70 x 2)= 40.
Visto che la somma degli angoli opposti adiacenti è 180, l'angolo DCG si ottiene facendo (180-40)=140
Quindi DCG è uguale a 140 gradi.

Chiudo tutti gli occhi che ho a disposizione sulla terminologia (angoli opposti adiacenti?), sulla mancanza quasi assoluta di unità di misura, sulla scarsa precisione nell'indicazione degli angoli (qual è l'angolo C, ad esempio?)... Mi accontento del fatto che il ragionamento si capisce e sta in piedi.

Concludo la rassegna delle risposte arrivate via mail con un paio di terzini. Tutto sommato mi resta la sensazione che tre anni di insistenza lascino qualche buona traccia. A volte.

Naomi R imposta e risolve il problema come se fosse... un vero problema, con tanto di dati e passaggi risolutivi

Angolo CBE= 70°
Angolo DCG=?

Angolo DCB=90°
Angolo DCB+Angolo GCE+BCE+DCG=360°
Angolo BCE=180°- (Angolo CBE X 2)= 180°-(70° X 2)= 40°
Angolo DCG=360°- (GCE+DCB+BCE)=360°- (90°+90°+40°)=140°

Stefano P sceglie un'impostazione più narrativa ma riesce ad essere ugualmente preciso e rigoroso. 

Se l'angolo CBE è 70° anche l'angolo CEB è 70° perché il triangolo BEC è isoscele dato che due lati sono anche lati di due quadrati congruenti, quindi l'angolo BCE è 40° (180° - 70° - 70° = 40°). Adesso posso calcolare l'angolo DCG togliendo all'angolo giro in C i due angoli dei quadrati e l'angolo BCE (360° - 90° - 90° - 40° = 140°). L'angolo DCG misura quindi 140°.

Hanno consegnato fogli di carta con soluzioni accettabili (alcune decisamente buona, altre meno): Alessia P, Alice D, Alunno Ignoto (uno dei due di cui sopra ma non so più quale), Anes K, Edoardo O, Edoardo D & Christian G (che però potrebbero fare lo sforzo di scrivere la risposta oltre a fare il disegno), Gaia B, Giorgia M, Irene T, Matilde e Paolo D, Mattia G, Nelson R (che per la verità sbaglia l’ordine dei termini e arriverebbe a uno strano angolo ampio -140°), Nihad K, Noemi N.


IL TERZO

Stefano P (di terza B) è stato l'unico a scoprire sia l'area che il perimetro complessivo delle parti rosse. Ecco cosa scrive: Ho diviso il rettangolo ABCD in 40 rettangolini uguali passando per i vertici delle figure.
Con questo si capisce che il lato corto dei parallelogrammi colorati è metà del lato lungo perché il lato corto è metà della diagonale dei rettangolini mentre il lato lungo è uguale alla diagonale intera. Si capisce anche che la figura evidenziata in giallo è un rombo, perché ha i lati uguali (sono tutti diagonali di rettangolini uguali) e paralleli a due a due. I 3 parallelogrammi rossi sono metà dei rombi (come quello in giallo) perché li tagliano a metà di due lati opposti. L'area rossa rimanente è uguale a 1 parallelogrammo rosso perché nella prima figura rossa a sinistra manca il triangolo rosso a destra per completare un altro parallelogrammo.

Per trovare l'area delle parti in rosso inizio a calcolare l'area di un rombo,trovando prima le due diagonali. La diagonale minore è uguale a due lati corti dei rettangolini, che misurano AB : 8 = 5cm. 
La diagonale minore è lunga quindi 5cm X 2 = 10cm. Se divido BC in 5 parti trovo metà della diagonale maggiore 60cm : 5 = 12cm; la diagonale maggiore misura quindi 12cm X 2 = 24cm. Adesso trovo l'area di un rombo facendo il prodotto delle due diagonali diviso 2 (10cm X 24cm) : 2 = 120cm2.

L'area dei quattro parallelogrammi rossi è uguale a 4 mezzi rombi oppure a due rombi interi, cioè 120cm2 X 2 = 240cm2.

Adesso trovo il perimetro delle parti colorate in rosso.
Per trovare il lato lungo del parallelogrammo rosso uso il teorema di Pitagora applicato alle semi diagonali del rombo: radice quadrata di 12cm al quadrato X 5cm al quadrato = radice quadrata di 144cm2 + 25cm2 = 13cm. Il lato corto dei parallelogrammi è 13cm : 2 = 6,5cm. Il perimetro di un parallelogrammo rosso è quindi 13cm x 2 + 6,5cm x 2 = 39cm. Il perimetro del quadrilatero rosso a sinistra è 12cm + 13 cm + 6,5cm + 6,5cm = 38cm, mentre quella del triangolo rosso a destra è 6,5cm + 6,5cm + 12cm = 25cm.


Il perimetro delle parti colorate in rosso è 3 x 39cm + 38cm + 25cm = 180cm.

Alcuni altri fanno tutto per bene con l'area e arrivano a un passo dal perimetro. Ma i poligoni all'estrema sinistra e all'estrema destra hanno un tratto di contorno in più, che va calcolato nel perimetro e molti se ne dimenticano.

Così, ad esempio Naomi R (di terza B):
Quelli con lo stesso numero sono i pezzi da abbinare per fare un rombo.
$$A_{rettangolo}=AB\cdot BC=40cm\cdot60cm=2400cm^2$$
$$A_{rombo}=A_{rettangolo}:n°rombi=2400cm^2:20=120cm^2$$
$$A_{rosso}=A_{rombo}:2=120cm^2:2=60cm^2$$
$$A_{tot rosso}=A_{rosso}\cdot n°rossi=60cm^2\cdot4=240cm^2$$

$$AO=AB:4=40cm:4=10cm$$
$$OZ=AD:2,5(2 diagonali+metà diagonale)=60cm:2,5=24cm$$
$$OX=\sqrt{CX^2+OC^2}=\sqrt{(5cm)^2+(12cm)^2}=\sqrt{169cm^2}=13cm$$
$$XP=OX:2=13cm:2=6,5cm$$
$$2p_{rosso}=[(OX+XP)\cdot 2]\cdot 4(3 rombi interi+1da comporre)=$$
$$=[(13cm+6,5cm)\cdot 2]\cdot 4=156cm$$

(Spero che Naomi apprezzi il mio sforzo di trascrivere tutto in LaTex).

Anche Edoardo OGiorgia M, entrambi di seconda B, seguono nella sostanza la strada percorsa da Naomi. Compreso l'ultimo passo mancante.

Allo stesso modo Nicole M, ancora di seconda B, calcola bene l'area e prova con il perimetro ma pasticcia un po', arriva a un risultato corretto ma per sentieri sbagliati. Copio e incollo la sua risposta per l'area, con piccole correzioni grammaticali.
E anche in questo caso faccio uno sforzo immane e scrivo le formule in LaTEx!

Calcolo inizialmente la misura di ABCD, faccio quindi 
$$AB\cdot BC= 40cm\cdot 60cm=2400 cm^2$$Conto ora quanti rombi ci sono totalmente; sono 20, per trovare quindi l'area di un rombo faccio 
$$A_{rombo}=2400cm^2:20=120cm^2$$
Per trovare invece uno dei due parallelepipedi che formano il rombo faccio
$$120cm^2:2=60cm^2$$
Le parti rosse sono quattro, faccio quindi 
$$A_{rossa}=60cm^2\cdot4=240cm^2$$

Tutti gli altri che si sono cimentati con il quesito non sono andati oltre il calcolo dell'area. Si tratta di Anes K, Gaia B, Irene T, Mattia G, Noemi N, Nelson R, Nihad K, Rachele C (che però non mi convince quando parla di "dividere l'area totale del rettangolo per il numero di colori") e Simone S.


Per concludere ci sarebbe da fare un lungo e serio discorso sul senso di questi giochi matematici e sulla scarsa lungimiranza del copiare le risposte, nonché sulla sua scorrettezza. Soprattutto tra i secondini (e le secondine). Ma ne abbiamo già parlato in classe e ancora ne parleremo.

Qui preferisco fare i complimenti a tutti quelli che hanno ben usato le proprie giovani sinapsi. Si sente l'enfasi sulla parola proprie?

Dopodiché lascio la parola alla prof Giovanna che prossimamente pubblicherà una nuova puntata di Due a settimana....

Sono certo che lei troverà anche una buona frase per iniziare.